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  • Ecuaciones de Hamilton a partir del principio de mínima acción

    Buenas, en este hilo deduciremos las ecuaciones de Hamilton para sistemas holónomos mediante principios variacionales.

    La acción se define como , donde N es el número de partículas del sistema.

    Es decir, a cada trayectoria concreta del espacio de fases le asigna un número real:



    Esto nos permite etiquetar cada trayectoria posible del espacio de fases mediante la forma funcional de .

    Principio de Hamilton

    El principio de hamilton asegura que de todas las trayectorias posibles que puede seguir el sistema, la que se dará en la realidad es aquella en la que es un extremal, es decir

    Deducción

    Consideramos una variación lineal desde una trayectoria de referencia :



    Además debemos imponer la condición de que tanto como tengan extremos fijos (mismo valor en y ), para garantizar que, independientemente de cómo se produzca la variación, empiezan y acaban en el mismo punto.



    Antes de introducirnos en el desarrollo también es necesario aclarar que la variación cumple lo siguiente, teniendo en cuenta el principio de Hamilton.



    Una vez visto esto, solamente hay que aclarar como es la integral de acción que vamos a emplear:



    Dado que el hamiltoniano se define como:



    Despejando de aquí el lagrangiano e introduciéndolo en
    la integral de acción nos queda:



    Primero debemos calcular:



    De las variaciones lineales introducidas al principio,
    podemos ver que:



    Por lo que:



    Integrando por partes el segundo termino de la primera integral se obtiene:



    Sustituyendo en la expresión de arriba y reordenando, se tiene:



    Sustituyendo
    en y definiendo y , se tiene:



    Cuando el sistema es holónomo y son independientes y por tanto podemos aplicar el Lema Fundamental del Cálculo de Variaciones, que dice :

    Sea , con y y en , con , entonces en .

    Por este motivo vemos que los coeficientes deben anularse, lo cuál hace que lleguemos a la siguiente conclusión:



    La implicación opuesta, se resuelve de manera bastante trivial introduciendo estos resultados en:



    De modo que en realidad:



    Cualquier cosa que veáis conveniente o si me he equivocado en alguna cosa, por favor decídmela.

    Un saludo.
    [FONT=times new roman]"An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."
    [/FONT]

    [FONT=times new roman]"When one teaches, two learn."[/FONT]

    \dst\mathcal{L}_{\text{QED}}=\bar{\Psi}\left(i\gamma_{\mu}D^{\mu}-m\right)\Psi

  • #2
    Hola Lorentz, interesante desarrollo

    Simplemente te quería comentar que en cuanto a la forma, no se si sabes que escribiendo el comando \dst delante de las expresiones en LaTeX la ecuación se ve más grande, por ejemplo:

    \int_{t_a}^{t_b} p_j \frac{d\eta_j}{dt} \hspace{0,06 cm} dt = - \int_{t_a}^{t_b} \eta_j \dot{p_j} \hspace{0,06 cm} dt

    Se ve

    Mientras que si se escribe \dst \int_{t_a}^{t_b} p_j \frac{d\eta_j}{dt} \hspace{0,06 cm} dt = - \int_{t_a}^{t_b} \eta_j \dot{p_j} \hspace{0,06 cm} dt \hspace{0,06 cm}dt

    Se ve

    Si esto ya lo sabías perdona y olvida el comentario, saludos.
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

    Comentario


    • #3
      Muchas gracias Alriga, no conocía ese comando, ya lo he modificado para que sea más fácilmente legible.
      [FONT=times new roman]"An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."
      [/FONT]

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      \dst\mathcal{L}_{\text{QED}}=\bar{\Psi}\left(i\gamma_{\mu}D^{\mu}-m\right)\Psi

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      Acerca este grupo

      La idea es que sea un lugar en donde aquellos que consideramos casi una necesidad el poder fundamentar de forma teórica las predicciones físicas basándose lo menos posible en la confianza hacia otras personas, podamos ir exponiendo las demostraciones que conocemos -o mejor aun, que podemos deducir- de las formulas que se implementan, y de esa forma poder ir aprendiendo unos de los otros.
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