Demostración de la Ecuación de la Conservación de la Enegía Mecánica

[Laron]

La Energía Mecánica se define como la suma de la Energía Cinética mas la Energía Potencial, esto es:

$$E_m = E_c + E_p$$

Para demostrarlo partimos de la Segunda Ley de Newton:

$$F = ma$$

También debemos saber la cinemática relacionada con la posición del cuerpo y su aceleración:

$$V^2_f = V^2_o + 2a\Delta x$$

(La ecuación 1.3 se aplica sólo a cuerpos moviendose con aceleración constante.)

Si un cuerpo desciende por una rampa, la Fuerza que hace descender a éste es la Fuerza Gravitatoria. La componente que va a tener relación con esta fuerza va a hacer $P_x$

Si aplicamos la Ley de Newton tenemos que:

$\sum F_x = ma$

$$mgsen\phi = ma$$

La relación entre las velocidades $V_f$ y $V_o$ del cuerpo cuando estan en las alturas $h_f$ y $h_o$ es:

$V^2_f = V^2_o + 2a\Delta x\rightarrow a =\frac{V^2_f - V^2_o}{2 \Delta x}$

Introduciendo esto en 1.4 tenemos:

$m\frac{V^2_f - V^2_o}{2 \Delta x} = mgsen\phi$

Como $h_o - h_f = \Delta x sen\phi$

$m\frac{V^2_f - V^2_o}{2} = mg(h_o - h_f)$

y separando los momentos iniciales y finales llegamos a que:

$$\frac{1}{2}mV^2_o + mgh_o = \frac{1}{2}mV^2_f + mgh_f$$

y esto no es más que:

$E_m = E_c + E_p$

Con esto podemos afirmar que la Energía Mecánica en un punto inicial será igual en otro. La Energía Mecánica se mantiene constante o sea se conserva.

Las posibles demostraciones que continuen en éste hilo son:

• Demostración del Teorema de las Fuerzas Viva
• Demostración de la Ecuación de la Energía Cinética
• Demostración de la Ecuación de la Energía Potencial
• Demostración de la Ecuación de MRUA que relaciona: Velocidad, Aceleración y Desplazamiento

$V^2_f = V^2_o + 2a \Delta x$

NaClu2

[ser humano]

Teorema de las fuerzas vivas (subdemostracion de la ecuacion de la conservacion de la energia mecanica, item uno)
Ecuacion de la teoria cinetica (subdemostracion de la ecuacion de la conservacion de la energia mecanica, item dos)

Supongamos una particula de masa $m$ moviendose a una velocidad $v_i$ de forma horizontal. Este requisito solo implica que la particula se mueve en linea recta, ya que en un movimiento de este tipo, la horizontalidad solo depende del sistema de referencia. A ésta (la particula) se le aplica una fuerza horizontal $F$ (en direccion y sentido de $v_i$) cuando esta en la posicion $x_i$. Como consecuencia de esta fuerza, en la posicion $x_f$ la particula adquirio una velocidad $v_f$.

Calculemos el trabajo realizado por dicha fuerza:

$W=\int_{x_i}^{x_f} F \mathrm{d}x$

siendo que $F=ma$ (por la segunda ley de Newton), y $a=\frac {\mathrm {d}v}{\mathrm{d}t}$:

$W=\int_{x_i}^{x_f} m\dfrac {\mathrm {d}v}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}x=\int_{v_i}^{v_f} m\dfrac {\mathrm {d}x}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}v$

y como $v=\frac {\mathrm {d}x}{\mathrm{d}t}$

$W=\int_{v_i}^{v_f} mv \mathrm{d}v= m(\dfrac 1 2 {v_f}^2 -\dfrac 1 2 {v_i}^2)=\dfrac 1 2 m {v_f}^2 - \dfrac 1 2 m {v_i}^2$

De esta manera queda demostrado el teorema de las fuerzas vivas, el cual indica la diferencia de energia entre particulas de igual masa y velocidades diferentes, o lo que es lo mismo, el trabajo que realiza una fuerza al hacer que una particula cambie su velocidad.
Si implementando el teorema de las fuerzas vivas, comparamos la energia de una particula con una determinada velocidad con una que esta en reposo, y por lo tanto tiene una energia cinetica nula:

$E=\dfrac 1 2 m v^2$

Que es la energia cinetica neta de la particula (es decir la energia que tiene con respecto a una energia cero)

[Saplaya]

Obtención de la relación entre los cuadrados de las velocidades y el espacio recorrido, ecuación (1.3) (subdemostración de la ecuación de la conservación de la energía mecánica, ítem cuatro)

Partiendo de la definición de aceleración

$$a=\frac{\dd v}{\dd t}$$

$$\dd v=a\dd t$$

multiplicando por $v$ a ambos lados

$$v\dd v=va\dd t$$

y como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] entonces

$$v\dd v=a\dd x$$

integrando ahora entre las posiciones inicial y final

$$\int_{V_o}^{V_f}v\dd v=\int_{x_o}^{x_f}a\dd x$$

como el movimiento es uniformemente acelerado $a=constante$ y puede salir de la integral

$$\int_{V_o}^{V_f}v\dd v=a\int_{x_o}^{x_f}\dd x$$

$$\frac{{V_f}^2}{2}-\frac{{V_o}^2}{2}=a(x_f-x_o)$$

llamando $\Delta{x}=(x_f-x_o)$ llegamos a la expresión buscada

$$\boxed{V_f^2=V_o^2+2a\Delta{x}}$$

[ser humano]

[FONT=Arial]Aproximacion a la ecuacion de la energia potencial gravitatoria
[/FONT]

subdemostracion de la conservacion de la energia, item tres

[FONT=Arial]
Partiendo de que
[/FONT]

[FONT=Arial]$E_p=-GMm(\frac1{r_2} - \frac 1 {r_1})$[/FONT]

[FONT=Arial]
como se demostro en la subdemostracion de la primera ley de kepler, item dos.

Supongamos un cuerpo masivo y esferico de radio $s$, y coloquemos el cero de la energia potencial en la superficie de este. Comparemos la energia en este punto con la de cualquier otro punto sobre la superficie :

[/FONT]

[FONT=Arial]$E_p=-GMm({\frac1{s+h} - \frac 1 {s}})=-GMm(\frac {s-s-h}{s(s+h)})=-GMm(\frac {-h} {s(s+h)})$ (1)
[/FONT] [FONT=Arial]
[/FONT]

[FONT=Arial] Llamamos $g$ a la aceleracion que se le imprime a un cuerpo como consecuencia de la interaccion gravitatoria en $s+h$, sabemos que :

[/FONT]

[FONT=Arial]$g=\frac{GM}{(s+h)^2} \Longrightarrow GM=g(s+h)^2$[/FONT]

[FONT=Arial]
Sustituyendo esto en (1):

[/FONT]

[FONT=Arial]$E_p=\frac{g(s+h)^2hm}{s(s+h)}=\frac {(s+h)}s mgh$
[/FONT]

[FONT=Arial]
Para valores de $h$ relativamente bajos con respecto a $s$, $s+h \approx s$ y por lo tanto $\frac {s+h}{s} \approx 1$. Por esto podemos concluir que

[/FONT]

[FONT=Arial]$E_p \approx mgh$

[/FONT]