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Hay un concepto que siempre me ha parecido impresionante por su simplicidad y por todo lo que esconde y es la función de partición. Voy a tratar de exponer de manera sencilla como se llega a ese concepto y poner un ejemplo de su uso básico en mecánica estadística. Para seguir este post hay que conocer un poco la terminología de colectivos, el canónico, el microcanónico y esas cosillas pero espero que poco más.
En el colectivo canónico un estado macroscópico se define al conocer el número de partículas (numero de moles en términos químicos y esas cosas), el volumen V donde vamos a realizar nuestras perrerías a las moléculas y la temperatura T a la que sometemos al sistema. Esto es, no fijamos la energía E (a nivel microscópico) de nuestro sistema.
Las funciones termodinámicas macroscópicas, como la energía interna U, dependerán de los anteriores parámetros: U=U(N,V,T).
Como es bien conocido, a nivel fundamental, las energías microscópicas de los sistemas no tienen dependencia con la temperatura (esto es lógico considerando que la temperatura es un concepto estadístico que involucra múltiples componentes en un sistema). Los microestados (su energía) en general dependen del número N de partículas que consideremos y el volumen V que ocupan: E=E(N,V).
La energía interna por otro lado, en el colectivo canónico se puede calcular mediante la siguiente expresión:
Es decir, es un promedio estadístico de la probailidad que tiene el sistema de estar en el estado de energía .
¿Cómo determinar la forma de ?
Podemos empezar diciendo que la relación entre la probabilidad de ocupar el estado j frente a la de ocupar el estado i ha de depender de las energías de cada uno de ellos de alguna forma:
Esta relación funcional entre las energías ha de ser independiente del origen de energía elegido para estudiar el sistema. Para conseguir eso la opción inmediata es que la dependencia sea a través de la diferencia de energías.
Para poder decir algo más de la función Gamma hemos de introducir un nuevo nivel k y calcular el cociente de probabilidades de ocupación.
; ; .
Pero es evidente que se ha de cumplir: , lo que se traduce en:
Parece que la dependencia de argumentos es directa:
Por lo visto, hemos de relacionar un producto de funciones con una suma de argumentos... esto suena mucho al comportamiento de las exponenciales. Por lo tanto podemos proponer:
Así que de forma genérica la probabilidad de ocupar el nivel j vendrá dada por:
donde K es claramente un factor de normalizacion ya que la suma de que el sistema esté en “algún” nivel i ha de ser la unidad.
lo que quiere decir que por lo tanto tenemos:
Lo que es muy impresionante es que la cantidad contiene toda la información necesaria para determinar las funciones termodinámicas del sistema bajo estudio. A esta cantidad se la denomina función de partición que se suele representar por Z (o bien por Q).
Esta Z es función de N y V (a través de las energías microscópicas) y de la temperatura (a través de , demostrar que está relacionada con la temperatura en la forma 1/T es casi directo.)
Por lo tanto, la energía interna de un sistema se puede escribir como:
Esto es interesante porque el numerador anterior se puede escribir como una derivada:
Con lo que podemos decir: .
Esto nos deja:
Pero como está claro: esto significa:
(manteniendo N y V contantes).
Siguiendo este procedimiento se puede calcular todos los potenciales termodinámicos a partir del conocimiento de la función de partición del sistema. Para ello lo único que hace falta es identificar que energías tienen los microestados. Se resuelve la ecuación de Schrödinger correspondiente con el potencial pertinenete, ya sea en la caja, el oscilador, la barrera, 1/r, etc... y se construye la función de partición.
Este objeto, que no es más que un factor de normalización, contiene una cantidad de información asombrosa y el concepto ha trascendido de la mecánica estadística a cuestiones como las teorías cuánticas de campos o las mismísimas teorías de cuerdas. En esos contextos las funciones de partición contienen la información necesaria para calcular los correladores de la teoría (o funciones de n-puntos), mostrando dependencias con la topología del espacio soporte, con el número de loops de los procesos perturbativos, etc... lo cual es una fuente increible de información y de sorpresas.
En el colectivo canónico un estado macroscópico se define al conocer el número de partículas (numero de moles en términos químicos y esas cosas), el volumen V donde vamos a realizar nuestras perrerías a las moléculas y la temperatura T a la que sometemos al sistema. Esto es, no fijamos la energía E (a nivel microscópico) de nuestro sistema.
Las funciones termodinámicas macroscópicas, como la energía interna U, dependerán de los anteriores parámetros: U=U(N,V,T).
Como es bien conocido, a nivel fundamental, las energías microscópicas de los sistemas no tienen dependencia con la temperatura (esto es lógico considerando que la temperatura es un concepto estadístico que involucra múltiples componentes en un sistema). Los microestados (su energía) en general dependen del número N de partículas que consideremos y el volumen V que ocupan: E=E(N,V).
La energía interna por otro lado, en el colectivo canónico se puede calcular mediante la siguiente expresión:
Es decir, es un promedio estadístico de la probailidad que tiene el sistema de estar en el estado de energía .
¿Cómo determinar la forma de ?
Podemos empezar diciendo que la relación entre la probabilidad de ocupar el estado j frente a la de ocupar el estado i ha de depender de las energías de cada uno de ellos de alguna forma:
Esta relación funcional entre las energías ha de ser independiente del origen de energía elegido para estudiar el sistema. Para conseguir eso la opción inmediata es que la dependencia sea a través de la diferencia de energías.
Para poder decir algo más de la función Gamma hemos de introducir un nuevo nivel k y calcular el cociente de probabilidades de ocupación.
; ; .
Pero es evidente que se ha de cumplir: , lo que se traduce en:
Parece que la dependencia de argumentos es directa:
Por lo visto, hemos de relacionar un producto de funciones con una suma de argumentos... esto suena mucho al comportamiento de las exponenciales. Por lo tanto podemos proponer:
Así que de forma genérica la probabilidad de ocupar el nivel j vendrá dada por:
donde K es claramente un factor de normalizacion ya que la suma de que el sistema esté en “algún” nivel i ha de ser la unidad.
lo que quiere decir que por lo tanto tenemos:
Lo que es muy impresionante es que la cantidad contiene toda la información necesaria para determinar las funciones termodinámicas del sistema bajo estudio. A esta cantidad se la denomina función de partición que se suele representar por Z (o bien por Q).
Esta Z es función de N y V (a través de las energías microscópicas) y de la temperatura (a través de , demostrar que está relacionada con la temperatura en la forma 1/T es casi directo.)
Por lo tanto, la energía interna de un sistema se puede escribir como:
Esto es interesante porque el numerador anterior se puede escribir como una derivada:
Con lo que podemos decir: .
Esto nos deja:
Pero como está claro: esto significa:
(manteniendo N y V contantes).
Siguiendo este procedimiento se puede calcular todos los potenciales termodinámicos a partir del conocimiento de la función de partición del sistema. Para ello lo único que hace falta es identificar que energías tienen los microestados. Se resuelve la ecuación de Schrödinger correspondiente con el potencial pertinenete, ya sea en la caja, el oscilador, la barrera, 1/r, etc... y se construye la función de partición.
Este objeto, que no es más que un factor de normalización, contiene una cantidad de información asombrosa y el concepto ha trascendido de la mecánica estadística a cuestiones como las teorías cuánticas de campos o las mismísimas teorías de cuerdas. En esos contextos las funciones de partición contienen la información necesaria para calcular los correladores de la teoría (o funciones de n-puntos), mostrando dependencias con la topología del espacio soporte, con el número de loops de los procesos perturbativos, etc... lo cual es una fuente increible de información y de sorpresas.