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Calculo densidad de carga como divergencia de D

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  • 1r ciclo Calculo densidad de carga como divergencia de D

    Hola.
    El problema es lo más sencillo del mundo: calcular la densidad de carga (p) en una esfera de radio a que tiene una carga distribuida uniformemente.

    La solución más sencilla es (teniendo en cuenta que p va a ser constante):

    Luego:


    Vale, la cosa es que ahora intento calcular aplicando el teorema de la divergencia y que :


    Y aqui lo más gracioso:
    Teniendo en cuenta que
    Y que la divergencia en esféricas es



    Es evidente que en la ultima parte hay algo mal. Lo más curioso es que los tipicos campos eléctricos (y por tanto D), son de la forma dependiendo solo de r. Y si hacemos se anula...

    Un salu2

  • #2
    Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

    Bueno revisando el calculo el primer problema que veo es que la integral doble no es sobre la diergencia de D es sobre D, es decir es integral triple de divergencia de D y aplicanto Th. Gauss integral doble de D.
    Ademas el operador Nabla en esfericas no es ese, ese es el operador Laplaciano....

    Comentario


    • #3
      Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

      Vale, es que me he comido el paso intermedio xD. Seria asi:


      Sobre el laplaciano, no. En el laplaciano derivas 2 veces, y yo solo derivo una. En cualquier caso te pongo el del laplaciano en esfericas:


      El de la divergencia es:

      Salu2

      Comentario


      • #4
        Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

        A ver el operador que tu pones es el laplaciano en esfericas...... para ayar la divergencia debes aplicar el operador Nabla a tu campo vectorial no el Laplaciano o biendolo mejor lo que pones es algo intermedio el operador nabla no lleva ese r^2 dentro de la derivada eso lo lleva el Laplaciano
        Puedes consultar esta pagina para ver la expresión correcta del operador Nabla http://es.wikipedia.org/wiki/Nabla

        Comentario


        • #5
          Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

          Hola.

          A ver, el primer error que veo es que el campo eléctrico "típico" no varía de la forma en la región que nos interesa, es decir, los puntos de la esfera. Desde r=0 hasta r=a el campo eléctrico creado por la distribución uniforme es lineal en r y tiene dirección radial:



          por lo que sólo dependen de la componente radial.

          El operador es el que has puesto, ya que el laplaciano incluiría una derivada adicional de ; únicamente te falta ponerlo bien en LATEX con algún paréntesis más.

          La divergencia en esféricas para el vector que sólo tiene componente radial será:


          Con este resultado ya podemos comprobar que está bien hecho así:

          [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

          Y ahora con el Tª divergencia:

          [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


          Saludos
          Quo Plus Habent Eo Plus Cupiunt

          Comentario


          • #6
            Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

            Escrito por woodyalex Ver mensaje
            A ver el operador que tu pones es el laplaciano en esfericas...... para ayar la divergencia debes aplicar el operador Nabla a tu campo vectorial no el Laplaciano o biendolo mejor lo que pones es algo intermedio el operador nabla no lleva ese r^2 dentro de la derivada eso lo lleva el Laplaciano
            Puedes consultar esta pagina para ver la expresión correcta del operador Nabla http://es.wikipedia.org/wiki/Nabla
            La expresión de DarkXer0x es correcta, mira por ejemplo aquí: http://es.wikipedia.org/wiki/Diverge...%C3%A1ticas%29

            Poner la divergencia como un producto escalar es un truco nemotécnico, pero estrictamente sólo es cierto en coordenadas cartesianas.
            La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
            @lwdFisica

            Comentario


            • #7
              Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

              Cierto error mio lo siento

              Comentario


              • #8
                Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

                Muchas gracias electr0n. Mi cálculo era para puntos exteriores de la esfera, no interiores jeje.

                Escrito por electr0n Ver mensaje
                Hola.

                A ver, el primer error que veo es que el campo eléctrico "típico" no varía de la forma en la región que nos interesa, es decir, los puntos de la esfera. Desde r=0 hasta r=a el campo eléctrico creado por la distribución uniforme es lineal en r y tiene dirección radial:

                ¿Como has sacado el campo eléctrico en el interior?
                Yo lo saco pero a partir de la densidad de carga p..., que es lo que hay que calcular
                Última edición por darkxer0x; 24/01/2010, 23:39:40.

                Comentario


                • #9
                  Re: Calculo densidad de carga como divergencia de D

                  Se puede hacer mediante integración directa:


                  donde es el vector unitario en la dirección desde cada de la esfera hasta un punto genérico del espacio y es la densidad volumétrica de carga, que en este caso puede salir de la integral. Es recomendable escribir en coordenadas esféricas, y luego comprobar que se hacen 0 las componentes angular y azimutal.

                  Saludos!
                  Quo Plus Habent Eo Plus Cupiunt

                  Comentario

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