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Hilo: Esfera y círculo

  1. #1
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    Predeterminado Esfera y círculo

    Volumen de la esfera=4/3*pi* r^3; 
  
(Volumen de la esfera)' = 4*pi*r^2= Area de la esfera

    (Area de la esfera)' =8*pi*r



    Area del circulo =pi*r^2

    (Area del circulo)'=2*pi*r = Longitud de la circunferencia.

    4 * Longitud circunferencia =( Area de la esfera)'

    Area de la esfera =4*Integral(Longitud circunferencia)

    Pero la integral de la longitud de la circunferencia es el area bajo la curva, o sea el area del círculo.

    Es decir ¿el area de una esfera de radio r es el cuádruplo del area del circulo de radio r?

    A mi me resulta muy curioso esto. ¿Algun razonamiento matemático que explique esto?

    Gracias.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Esfera y círculo

    Cita Escrito por Buscon Ver mensaje
    Volumen de la esfera=4/3*pi* r^3; 
  
(Volumen de la esfera)' = 4*pi*r^2= Area de la esfera

    (Area de la esfera)' =8*pi*r



    Area del circulo =pi*r^2

    (Area del circulo)'=2*pi*r = Longitud de la circunferencia.

    4 * Longitud circunferencia =( Area de la esfera)'

    Area de la esfera =4*Integral(Longitud circunferencia)

    Pero la integral de la longitud de la circunferencia es el area bajo la curva, o sea el area del círculo.

    Es decir ¿el area de una esfera de radio r es el cuádruplo del area del circulo de radio r?

    A mi me resulta muy curioso esto. ¿Algun razonamiento matemático que explique esto?

    Gracias.
    Vaya lio , si te pregunta es si el área de una esfera es cuatro veces el área de uno de los círculos que contiene pues sí, es correcto.

    Y una cosa no puedes poner que que el área de la esfera es 8 \pi r porque no es correcto, y hay más de un error de éste tipo que has hecho, de hecho la cuestión es ésta.

    -La longitud de una circunferencia es:

    L_c = 2\pi r

    Se puede demostrar fácilmente conociendo el significado del número pi.

    -El área de un círculo es:

    A_c = \pi r^2

    Se puede demostrar fácilmente basándote en la misma demostración del pentágono, hexágono...

    -El área de una esfera es:

    A_e = 4\pi r^2

    -Y el volumen:

    V = \dfrac{4}{3}\pi r^3




    Y si integramos sucesivamente pues van saliendo, lo haré con integrales definidas.

    -Si partimos del número 'mágico' 2\pi y integramos tenemos:

     \displaystyle \int_{r_0}^r 2\pi \dd r = 2\pi r

    Que es la longitud de circunferencia del círculo.

    -Si volvemos a integrar tenemos:

     \displaystyle \int_{r_0}^r 2\pi r \dd r = \pi r^2

    Que es el área de un círculo.


    -Ahora si multiplicamos el número 2\pi por 4 tenemos 8\pi y si integramos:

     \displaystyle \int_{r_0}^r 8\pi \dd r = 4\pi r^2

    Que es el área de un círculo.

    -Si volvemos a integrar:

     \displaystyle \int_{r_0}^r 4\pi r^2 \dd r = \dfrac{4}{3}\pi r^3

    Que es el volumen de la esfera.

    Si te preguntas el significado del porqué de ésta cuestión, pues debes tener en cuenta qué significan las integrales definidas, que mejor que te lo explique otro porque seguramente yo te liaria más que aclararte .


    saludos

  3. #3
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    Predeterminado Re: Esfera y círculo

    La relacion es a todas las dimensiones, de hecho ocurre que  \omega_n= \frac{2\pi^n/2}{\Gamma(n/2)} el area de \mathbb S^{n-1} la esfera de dimension n y en general

    area(\mathbb S_R^{n-1})=(R^{n-1})\omega_n

    y
    Vol(\mathbb D_R^{n})=area(\mathbb  S_R^{n-1})\frac{R}{n}

    pero es una cuestion un tanto tecnica que se basa principalmente en el Th de Fubini y en el hecho de que
    1=\int_{\mathbb R^n} \mathrm{e}^{-\pi \vert x \vert^2} \dd x

    Pd: Probablemente me haya equivocado en el exponente del radio al hacer la homotecia para el area de la n esfera de radio R.

  4. #4
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    Predeterminado Re: Esfera y círculo

    Bueno interesante saber que Fubini se preocupó del tema. No tenía ni idea.

    A mi simplemente me resulta curioso. El cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es justamente 3,1415.... El conciente entre el área de una esfera y el área de su círculo es justamente 4. Simplemente saber si alguien se había preocupado del tema y lo había estudiado y desarrollado sus consecuencias.

    Gracias.

  5. #5
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    Predeterminado Re: Esfera y círculo

    Cita Escrito por Buscon Ver mensaje
    A mi simplemente me resulta curioso. El cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es justamente 3,1415.... El conciente entre el área de una esfera y el área de su círculo es justamente 4.
    ¿Y no te resulta mas curioso que, así como el cociente de la circunferencia a su diámetro es 3.1415927..., el cociente del área de la esfera al cuadrado de su diámetro sea 3.1415927...? Seguramente SO3 tendrá algo que decir...

    Saludos,

    AA

  6. #6
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    Predeterminado Re: Esfera y círculo

    De acuerdo que de las mismas fórmulas se deducen las relaciones pero bueno, a mi ya me resulta curioso que el cociente entre la longitud de la circunferencia y su diámetro sea siempre 3,1415...
    y el tema es que a partir de ahí se desarrolló la trigonometría.

    Por eso me preguntaba si se había desarrollado algo sobre el hecho de que el cociente entre el area de la esfera y el area de su círculo sea 4 o simplemente es una consecuencia más. Yo jamás vi mención alguna. Es decir para mi el area de la esfera siempre fué 4*pi*r^2 hasta antes de ayer que me di cuenta que tambien es 4*area circulo osea 4*pi*r^2.
    En fin, que si se el área de un circulo, se el areá de la esfera que subtiende simplemente multiplicando por 4, o si se el area de una esfera, se el área del circulo de mismo radio simplemente dividiendo por 4.


    Sea como sea es más rápido de calcular.

    Esto y el hecho de que derivando e integrandro salen las fórmulas y tampoco acabo de entender por que es asi. Yo las aprendí directamente de memoria todas por que asi me las enseñaron y no vi mención alguna al respecto en ningun lado.

    Yo supongo que es mas de lo mismo pero desde otro enfoque pero tampoco estoy seguro de ello, asi que por eso lo comento.

    Es que a veces tengo tiempo para perderlo.
    Última edición por Buscon; 05/03/2010 a las 01:54:24.

  7. #7
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    Predeterminado Re: Esfera y círculo

    Cita Escrito por Buscon Ver mensaje
    Es que a veces tengo tiempo para perderlo.
    Así es como el simio se convirtió en hombre

  8. #8
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    Predeterminado Re: Esfera y círculo

    Cita Escrito por Alberto Acedo Ver mensaje
    Así es como el simio se convirtió en hombre
    Jajajaja, para que le sirvió?

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