1r ciclo Cosmología: Newton, ¿me echas una mano?

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Nuestro universo viene descrito por un conjunto de ecuaciones conocidas como las ecuaciones de Friedmann (Robertson-Walker):

$$(\frac{\dot{a}}{a})^2=\frac{8\pi G}{3}\rho(t)-\frac{K c^2}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho+\frac{3p}{c^2})$$

$$\dot{\rho}+3(\rho+\frac{p}{c^2})\frac{\dot{a}}{a}=0$$

Donde (1) y (2) dan la dinámica del universo y (3) es una ecuación de conservación. En estas ecuaciones $\rho(t)$ es la densidad de materia-energía del universo. $p$ es la presión ejercida por esa materia-energía. $K$ nos da la curvatura de las hojas tridimensionales espaciales en las que describimos el universo a un tiempo dado [tex]t[tex].

Dado que el universo es homogéneo e isótropo, podemos afirmar que podemos saber en qué epoca del universo estamos conociendo el estado del mismo. Es decir, que en cada época el universo aparecerá igual en todas las direcciones y en todos los puntos, por ejemplo teniendo la misma temperatura. Eso nos permite estudiar el universo en vez de en cuatro dimensiones como sería natural en relatividad general, en 3 dimensiones espaciales y una temporal (Ver cuantización canónica de la relatividad general donde se explica la descomposición 3+1 o descomposición ADM).

Para recuperar estas ecuaciones uno ha de hacer uso de la relatividad general, resolver las ecuaciones de Einstein, bla bla bla....

Sin embargo, de forma asombrosa, podemos extraer muchas muchas cosas de la teoría newtonianan, lo que no puede hacer la teoría de Newton es darle sentido a $K$ y además en algunos pasos hay que meter razonamientos relativistas (bien justificados y coherentes con el esquema).

Elementos Newtonianos:

1.- $F=ma$

2.- $F=-G\frac{m_1 m_2}{r^2}$

3.- El campo gravitatorio en el interior de una capa esférica (hueca) de materia es nulo. (Tma de Gauss).


Situación incial:

1.- Nos metemos en el interior de una esfera de materia de densidad $\rho$ de radio r.

2.- Tomemos un punto A alejado una distancia r del centro. Una partícula de masa m en el punto A sufrirá una atracción gravitatoria:

$F=ma=m\frac{d^2r}{dt}=-\frac{G M m}{r^2}$

La masa M de la esfera de radio r, que es la que puede contribuir a la atracción gravitatoria que siente m, se expresa en términos de la densidad como:

$M=\frac{4}{3}\pi r^3\rho$

Por lo tanto la fuerza queda:

$F=-\frac{4\pi G m \rho r}{3}$.

Eso se traduce en:

$\frac{\ddot{r}}{r}=-\frac{4}{3}\pi G \rho$

Pero sabiendo la ley de Hubble, eso se puede escribir como:

$\frac{\ddot{a}}{a}= -\frac{4}{3}\pi G \rho$

Un punto importante:

Consideramos que el universo se expande. Esto implica que nuestro punto A se mueve en el tiempo, pero la materia en su interior (y en el exterior) también se mueve solidariamente. La consecuencia es que aunque la densidad cambie con el tiempo la masa total de la esfera permanece constante...

Por lo tanto la historia queda: $\ddot{a}=-\frac{GM}{a^2}$....

Bonita ecuación diferencial cuya solución (se puede comprobar), es:

$(\dot{a}/a)^2=\frac{8\pi G}{3}\rho(t)-\frac{Kc^2}{a^2}$

Con lo que queda la Ecuación de F(RW)....

El factor que va con K y con c, viene de una constante de integración... evidentemente aquí como ya sabemos lo que sale en RG podemos simplemente decir que K es la curvatura del espacio tridimensional y c es la velocidad de la luz en el vacío...

Este post es continuación de este Cosmología

[Ulises7]

Re: Cosmología: Newton, ¿me echas una mano?

Muy interesantes tus artículos aunque no entiendo ni la mitad , pero creo haber encontrado un pequeño descuido, en la 6ª expresión donde pone $\dfrac{\dd^2 r}{\dd t}$ ¿no seria $\dfrac{\dd^2 r}{\dd t^2}$ ?.

También por motivos estéticos quedaria mejor que utilizarás los paréntesis grandes cuando no te cabe, \left ( y \right ) , y por último utilizar el comando \displaystyle o su abreviatura para las fracciones. Pero como quieras.


A ver si no pierdes el ritmo de publicación .

saludos