1r ciclo Problema con Teorema de Stokes

[arreldepi]

Hola, estoy de nuevo con un problema de cálculo vectorial, en este caso se trata de aplicar el teorema de Stockes pero no sé cómo cojer el camino a la hora de integrar.

El campo del que tengo que calcular la circulación es

$$\vec a = y^2\hat \imath + z^2\hat \jmath$$

a lo largo de la línea cerrada $x^2+y^2=9$; $3y+4z = 5$


La superfície que queda es un cilindro cortado oblicuamente por el plano, es decir, una elipse.

Entonces, aplico el teorema de Stokes

$$\oint_\gamma \vec a \cdot\dd\vec r =\iint_\mathcal S (\vec\nabla\times \vec a)\dd\vec S$$

El rotacional

$$\vec\nabla\times\vec a = -2z\hat\imath - 2y\hat k$$

Ahora, lo que yo haría para calcular la integral sería hacer las proyecciones del área en cada plano:

$$\iint _\mathcal S (\vec\nabla\times \vec a)\dd\vec S = \iint_{S_{xy}}(\vec\nabla\times\vec a) \dd x\dd y + \iint_{S_{yz}} (\vec\nabla\times\vec a) \dd y \dd z + \iint_{S_{xz}}(\vec\nabla\times\vec a) \dd x\dd z$$

Pero no sé si esto así está bien... además, $\dd z = 0$? En cuanto a las proyecciones:

- $S_{xy}$ = círculo de radio 3?
- $S_{xz}$ = No sé bien qué sería... pero creo que también un círculo de radio 3.

-$S_{yz}$ = Una recta (no contribuye a la integral ya que la sup. es 0).


A ver si alguien me puede corregir o ayudarme a seguir.

Muchas gracias!

[Metaleer]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Hola, arreldepi.

En efecto, se trata de la intersección de un cilindro y un plano oblicuo. Lo único que te interesa es la proyección sobre el plano $XY$ de la intersección, que es la propia proyección del cilindro. La situación es esta:

No he comprobado si el rotacional da eso que dices, te tocaría ti.

La superficie sobre la que tienes que integrar es el plano, y utilizando la parametrización trivial, esta superficie es

$\displaystyle r(x, y) = \left (x, y, \overbrace{\frac{5 - 3y}{4}}^z\right),$

y si $\displaystyle r(x, y) = (r_1(x,y), r_2(x, y), r_3(x, y))$, entonces

$\displaystyle \text{Flujo~de~F} = \iint_\mathcal{D} F(r_1(x,y), r_2(x, y), r_3(x, y)) \cdot \left ( \frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial y} \right) dxdy.$

En este caso, $\displaystyle F(r_1(x,y), r_2(x, y), r_3(x, y)) = \left (- \frac{1}{2}(5 - 3y), 0, -2y \right)$, y salvo error, $\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial y} = \left (0, \frac{3}{4}, 1 \right).$ Así:

$\displaystyle \text{Flujo~de~F} = \iint_\mathcal{D} \left (- \frac{1}{2}(5 - 3y), 0, -2y \right) \cdot \left (0, \frac{3}{4}, 1 \right) dxdy = -2 \iint_\mathcal{D} ydxdy,$

donde

$\displaystyle \mathcal{D} \equiv \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 9 \}$

y donde es fundamental en que te fijes que el producto vectorial fundamental $\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial y}$ debe darte el vector normal que apunta en el sentido de tal manera que induzca la orientación positiva al recorrer la frontera, es decir, dejando a izquierda la superficie.

Cambiando a coordenadas polares en la integral no creo que tengas problemas, el recinto de integración lo pide a grites.

Saludos.

[arreldepi]

Re: Problema con Teorema de Stokes

De nuevo, muchas gracias Metaleer!

Normalmente no los resolvíamos de esta forma, pero creo que, si consigo ser capaz de recordar lo de la parametrización del recinto es un poco más sencillo. Termino de resolver el problema, ok?

Tenemos

$$\vec a = y^2\hat\imath + z^2\hat\jmath;\qquad\qquad \begin{Bmatrix}{x^2+y^2=9\\3y+4z=5}\end{matrix}$$

Entonces

$$\oint_\gamma\vec a\cdot\dd\vec r = \iint_\mathcal S(\vec\nabla\times \vec a)\cdot\dd\vec S$$

1. El rotacional

$$\vec F\equiv\vec\nabla\times\vec a = \begin{vmatrix}\hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y^2&z^2&0\end{vmatrix} = -2z\hat\imath - 2y\hat k$$

2. Parametrización de la región de integración

$$3y+4z=5 \qquad\to\qquad r(x,y,z) = \left({x,y,\frac{5-3y}{4}}\right)$$

3. Poner el rotacional en función del recinto.

$$\vec F(\vec r(x,y)) = \left(-2\left[{\frac{5-3y}{4}}\right],0,-2(y)\right) = \left(-\frac{5-3y}{2}, 0, -2y\right)$$

4. Calcular el vector normal de manera que se recorra la región dejando el dominio siempre a la izquierda:

$$\hat n = \left({\frac{\partial \vec r}{\partial x}\times\frac{\partial \vec r}{\partial y}}\right)= \begin{vmatrix}\hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\ 1&0&0 \\ 0&1&-\frac 34 \end{vmatrix} = \left(0,\frac 34,1\right)$$

Entonces

$$\Phi_F = \iint_\mathcal D \vec F\cdot\dd\vec S = \iint_\mathcal D \vec F(\vec r(x,y)) \cdot \hat n \dd S = \iint_\mathcal D \left(-\frac{5-3y}{2}, 0, -2y\right)\cdot \left(0,\frac 34,1\right) \dd x\dd y$$

Es decir, se tiene que resolver la integral

$$\iint_\mathcal D -2y\dd x\dd y$$

El recinto $\mathcal D$ viene dado por $x^2+y^2 \leq 9$. En polares $\rho^2 = 9$, así que

$$\Phi_F = -2\int_0^{2\pi}\dd\phi\cdot\sin\phi\int_0^3\rho^2\dd\rho = +2\left[\cos\phi\right]_0^{2\pi}\cdot 9 = 0.$$

No sé si lo de "poner el rotacional en función del recinto" está bien dicho, pero supongo que se entiende .

Muchas Gracias Metaleer!

[Metaleer]

Re: Problema con Teorema de Stokes

De nuevo, muchas gracias Metaleer!

Normalmente no los resolvíamos de esta forma, pero creo que, si consigo ser capaz de recordar lo de la parametrización del recinto es un poco más sencillo. Termino de resolver el problema, ok?

Tenemos

$$\vec a = y^2\hat\imath + z^2\hat\jmath;\qquad\qquad \begin{Bmatrix}{x^2+y^2=9\\3y+4x=5}\end{matrix}$$

Esto supongo que es una errata. ¿No?

Entonces

$$\oint_\gamma\vec a\cdot\dd\vec r = \iint_\mathcal S(\vec\nabla\times \vec a)\dd\vec S$$

1. El rotacional

$$\vec F\equiv\vec\nabla\times\vec a = \begin{vmatrix}\hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y^2&z^2&0\end{vmatrix} = -2z\hat\imath - 2y\hat k$$

2. Parametrización de la región de integración

$$3y+4z=5 \qquad\to\qquad r(x,y,z) = \left({x,y,\frac{5-3y}{4}}\right)$$

3. Poner el rotacional en función del recinto.

$$\vec F(\vec r(x,y)) = \left(-2\left[{\frac{5-3y}{4}}\right],0,-2(y)\right) = \left(-\frac{5-3y}{2}, 0, -2y\right)$$

4. Calcular el vector normal de manera que se recorra la región dejando el dominio siempre a la izquierda:

$$\hat n = \left({\frac{\partial \vec r}{\partial x}\times\frac{\partial \vec r}{\partial y}}\right)= \begin{vmatrix}\hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\ 1&0&0 \\ 0&1&-\frac 34 \end{vmatrix} = \left(0,\frac 34,1\right)$$

Entonces

$$\Phi_F = \iint_\mathcal D \vec F\cdot\dd\vec S = \iint_\mathcal D \vec F(\vec r(x,y)) \cdot \hat n \dd S = \iint_\mathcal D \left(-\frac{5-3y}{2}, 0, -2y\right)\cdot \left(0,\frac 34,1\right) \dd x\dd y$$

Es decir, se tiene que resolver la integral

$$\iint_\mathcal D -2y\dd x\dd y$$

El recinto $\mathcal D$ viene dado por $x^2+y^2 = 9$. En polares $\rho^2 = 9$, así que

$$\Phi_F = -2\int_0^{2\pi}\dd\phi\cdot\sin\phi\int_0^3\rho^2\dd\rho = +2\left[\cos\phi\right]_0^{2\pi}\cdot 9 = 0.$$

No sé si lo de "poner el rotacional en función del recinto" está bien dicho, pero supongo que se entiende .

Muchas Gracias Metaleer!

Parece todo correcto, pero un detalle, el recinto es $x^2 + y^2 \leq 9$, no $x^2 + y^2 = 9$.

También recuerda poner los puntos $\cdot$ para la integral de flujo para denotar el producto escalar explícitamente.

Es más correcto decir simplemente "componer el campo vectorial con la parametrización de la superficie".

Saludos.

[arreldepi]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Sí xD, ahora lo cambio.

Gracias por las correcciones, las cambio también, ok?

Saludos y gracias!

[idontknow]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Y una pregunta...

¿Por qué sólo juega $\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial y}$? Por lo que leo aquí sólo se ha de sacar el vector normal a la superfície pero no se tenían que multiplicar por los cosenos que forman con el campo o eso es otra historia?

¿Y por qué sólo le interesa el plano XY? Es que yo entiendo que se tengan que sumar los flujos de cada dirección por el coseno del ángulo que forma con el normal y tal cómo lo habéis resuelto es cómo si el flujo sólo viniese de arriba (o de abajo).

[arreldepi]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Cuando tienes la superficie parametrizada (en este caso $\vec r(x,y)$) el vector normal se calcula

$$\vec n = \frac{\partial \vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y},$$

y el vector normal unitario

$$\hat n = \frac{\vec n}{n} = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y} }{\left|{\frac{\partial \vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y} }\right|}.$$

Luego, sobre la superficie yz sólo se proyecta una linea (no tiene superficie) y el otro diría que es porque la componente z del campo es nula y entonces dz = 0... pero no estoy nada seguro de esta última...

Saludos!


PD: Lo de los cosenos se usa cuando tienes la superficie dada en cartesianas, también para saber qué signo debes poner cuando haces las proyecciones.

[Metaleer]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Y una pregunta...

¿Por qué sólo juega $\displaystyle \frac{\partial r}{\partial x} \times \frac{\partial r}{\partial y}$? Por lo que leo aquí sólo se ha de sacar el vector normal a la superfície pero no se tenían que multiplicar por los cosenos que forman con el campo o eso es otra historia?

Es que el coseno es resultado de hacer el producto escalar del campo vectorial por el campo de vectores normales.

¿Y por qué sólo le interesa el plano XY? Es que yo entiendo que se tengan que sumar los flujos de cada dirección por el coseno del ángulo que forma con el normal y tal cómo lo habéis resuelto es cómo si el flujo sólo viniese de arriba (o de abajo).

Es donde se proyecta para calcular la integral doble, al hacer el producto escalar, el coseno ya se tiene en cuenta de forma implícita.

[arreldepi]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Pero tú puedes hacer la proyección en los 3 planos, no?

[idontknow]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Vale vector normal entendido pero esto de las superfícies me cuesta un poco más. Entiendo lo que me dices que no hay superfície proyectada y que no me había parado a pensar pero es vuelta otra vez a lo mismo: Con un dibujo exacto esto lo ves pero con una aproximación vaga no acabaría de estar seguro. Alguna manera habrá de verlo con números y supongo que conectará quizás en parte con el tercer plano que tampoco logras ver.

Y sobre los cosenos creo que em voy a releer todo otra vez porque lo tengo algo liado.

¡Gracias por la ayuda!

EDIT: Ahora que veo el mensaje de Metaleer ya me ha quedado claro que deje estar a los cosenos. Vale, era hacer el producto escalar pero con los módulos, entendido.

Pero tú puedes hacer la proyección en los 3 planos, no?

Lo mismo opino...

[Metaleer]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Pero tú puedes hacer la proyección en los 3 planos, no?

Puedes proyectar en cualquiera de los tres planos coordenados, claro, lo que pasa es que para este problema en concreta, ya daban del tirón la proyección sobre el plano $XY$. Otro problema por ejemplo sería si tuvieras que integrar sobre un cilindro cuyo eje coincidiera con el eje $Z$. En ese caso, proyectar sobre el plano $XY$ no es una posibilidad, ya que el correspondiente coseno director se anula y tendrías una división por en el integrando.

Tienes que fijarte en qué te interesa para cada integral.

[arreldepi]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Esto me cuesta un poco, nosotros podríamos haber hecho esto, no?

$$\iint_\mathcal S (\vec\nabla\times\vec a)_x \cdot \dd y\dd z + \iint_\mathcal S (\vec\nabla\times\vec a)_y \dd x\dd z + \iint_\mathcal S (\vec\nabla\times\vec a)_z \dd x\dd z$$

donde $\dd y \dd z = \dd S\cos\alpha$

Gracias Metaleer, tus posts están sirviendo de mucho !

[Metaleer]

Re: Problema con Teorema de Stokes

Esto me cuesta un poco, nosotros podríamos haber hecho esto, no?

$$\iint_\mathcal S (\vec\nabla\times\vec a)_x \cdot \dd y\dd z + \iint_\mathcal S (\vec\nabla\times\vec a)_y \dd x\dd z + \iint_\mathcal S (\vec\nabla\times\vec a)_z \dd x\dd z$$

donde $\dd y \dd z = \dd S\cos\alpha$

Gracias Metaleer, tus posts están sirviendo de mucho !

Eso podría servir si es que puedes proyectar sobre los tres planos (en nuestro caso del plano, hay un plano coordenado que no permite eso, el plano $YZ$), pero siendo sincero, yo nunca he visto a nadie calcular un flujo utilizando eso del coseno. Claro, es que también sería más largo, porque así tendrías que hacer 3 integrales, y no una.

La razón de ser de que no se puede proyectar en el plano $YZ$ es que hay otra expresión para el elemento diferencial de superficie si proyectas sobre el plano $YZ$:

$\displaystyle dS = \frac{1}{|\cos \alpha |}dydz$

donde $\cos \alpha$ es el primer coseno director del campo de vectores normales unitarios asociados a la superficie. En este caso, como ves, este coseno es siempre nulo.

En general, el campo de cosenos directores es $(\cos \alpha , \cos \beta , \cos \gamma)$, y existen expresiones análogas para el elemento diferencial de superficie, caso de que proyectemos (y podamos proyectar) sobre los otros planos coordenados:

$\displaystyle dS = \frac{1}{|\cos \beta |}dxdz.$

$\displaystyle dS = \frac{1}{|\cos \gamma |}dxdy.$

En el Apostol tienes todo esto.

Lo del coseno supongo que lo dices porque al explicar la Ley de Gauss en Electromagnetismo se escribe, pero ahí lo importante es poder buscar una superficie Gaussiana de tal manera que el campo electrostático sea paralelo o perpendicular al vector elemento diferencial de superficie.

Saludos.