1r ciclo Uno de dinamica con miga

[gaussiano]

Hola al foro. Hoy os traigo un problema que parece facil pero que, para mi, parece que tiene gato encerrado. A ver: tenemos una superficie hemiesferica sin rozamiento, en forma de bol para hacer ensaladas, y dejamos caer una bolita que desliza sin rodar desde el borde (a la altura del centro del bol). Nos dan la masa de la misma, el radio de la hemiesfera y nos preguntan:
velocidad angular de la bola cuando el radio vector forma un angulo \alpha (en el dibujo, la bolita ha recorrido media esfera y sobrepasa la vertical digamos unos 20º (\alpha es todo el angulo, o sea, como si fuesen unos 120º)
y fuerza normal del bol sobre la bolita en ese punto.
La primera cuestion la he resuelto haciendo un balance de energias, y obtengo:
\omega = \sqrt{}((2g\sin \alpha)/r)
Pero para la fuerza normal, obtengo:
N= 3 mg \sin \alpha y segun el Alonso_Finn, ha de salir N= mg (1+ 2 \sin \alpha)
¿Alguna idea?

[lucass]

Re: Uno de dinamica con miga

Gaussiano: no entiendo nada de las ecuaciones que pusiste, porque de hecho no salieron. Sin embargo: teniendo la velocidad angular en este punto, sacás la aceleración centrípeta: $a_c= \omega^2 r$.
Luego haciendo un diagrama de fuerzas, con un eje en la dirección radial y otro tangencial, tendrás que (si alfa es el ángulo que forma la línea que une al centro del bol con la partícula y la vertical que pasa por el centro del bol, osa el ángulo entre la dirección radial y el peso) $N - P cos \alpha = m a_c$ Ahí está N. Probablemente haya elegido distinto el ángulo, porque a mí me da $3mg cos \alpha$. Pero se parce a lo tuyo.
Saludos

[carmelo]

Re: Uno de dinamica con miga

Hola:
He tropezado con este mismo problema alguna vez, para mi está mal la respuesta del libro. Para mi la solución correcta es como tu la planteas $N=3mg\sin\alpha$
Les adjunto un esquema del dibujo que viene en el libro

Saludos
Carmelo

[lucass]

Re: Uno de dinamica con miga

cierto, yo llegué al mismo resultado, usando otro ángulo. Será un pequeño errorcito en un gran libro.
saludos!

[Xel]

Re: Uno de dinamica con miga

... y dejamos caer una bolita que desliza sin rodar desde el borde ...

... si desliza hay rozamiento, no? ... y no rueda? ... qué curioso ... ¿no será ese el error?, ¿no querrá decir el enunciado lo contrario, que rueda sin deslizar?, porque entonces si que podría hacerse el balance de energía, no? ... bueno, tal vez ese deslizamiento sea despreciable.
... y la velocidad angular, ¿respecto a qué punto se mide?, ¿respecto a su centro o al centro de la semiesfera? (si es que rueda, claro).

[carmelo]

Re: Uno de dinamica con miga

Hola:
Si se considera que no existe rozamiento la bolita no puede rotar, asi que no se debería de tener en cuenta el movimiento de rotación de la bolita, cuyo radio tampoco es dato en ese ejercicio.

Comparto que es un buen libro, y puede tener error como todos. Cuesta entenderlo considerando de que generalmente son revisados por varias personas.

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Uno de dinamica con miga

Uno de dinamica con miga

gaussiano, pudistes hacer un ejercicio de síntesis: Uno de dinamiga

Apartando la nota irrelevante , fíjate que la fórmula no se ajusta a los valores extremos. Para $\alpha = 0$ predice que $N = mg$ lo cual es claramente erróneo.

Saludos,

Al

[gaussiano]

Re: Uno de dinamica con miga

Carmelo, ese es el dibujo, diste de pleno! Lucass, es cierto lo q dices, pero el enunciado no querra q metas nada relativo a la rotacion, digo yo, aunque sea un poco raro. Al2000, bueno el chiste, jeje y tambien el razonamiento, pero si damos por bueno el que nos sale a nosotros, N=3mgsen\alpha, tampoco seria logico q en la posicion inicial la N=0 y la cosa es que hace tiempo hice este problema y daba la solucion del libro!! lo que no recuerdo es que consideré para sacar la N

[Al2000]

Re: Uno de dinamica con miga

Carmelo, ese es el dibujo, diste de pleno! Lucass, es cierto lo q dices, pero el enunciado no querra q metas nada relativo a la rotacion, digo yo, aunque sea un poco raro. Al2000, bueno el chiste, jeje y tambien el razonamiento, pero si damos por bueno el que nos sale a nosotros, N=3mgsen\alpha, tampoco seria logico q en la posicion inicial la N=0 y la cosa es que hace tiempo hice este problema y daba la solucion del libro!! lo que no recuerdo es que consideré para sacar la N

Claro que es lógico gaussiano, cuando recién sueltas la bola en el borde de la ponchera el peso, vertical hacia abajo, es tangente a la superficie y por consiguiente no hay reacción normal.

Saludos,

Al

[gaussiano]

Re: Uno de dinamica con miga

mmm Al, ¿no hay contacto entre el recipiente y m, aunque sea leve?

[Joey]

Re: Uno de dinamica con miga

El problema está en que si cojes el ángulo de una esquina, cuando el centro de rotación es el centro de la esfera. Por lo que es mejor desconponer el ángulo en dos, uno hasta que llega al punto más bajo (90º) y otro a partir de que la bola empieza a subir.

Así:

La velocidad en el punto más bajo es:


$\frac{1}{2} {m}{vo}^{2} = mgh$

$vo=\sqrt{2gR}$

Y la velocidad angular (Cuando sube)


$\frac{1}{2} {m}{vo}^{2} = \frac{1}{2} {m}{v}^{2} + {mgR}{\cos \theta}$

${v}^{2} = 2gR (1-\cos \theta)$

$v = \omega R$


Para lo Normal con un sencillo suma de fuerzas.


$N - mg\cos \theta = m\frac{{v}^{ 2} }{ R}$

$N = mg (2 + \cos \theta)$

Si lo quieres en función de tu angulo sumale 90º

[lucass]

Re: Uno de dinamica con miga

No te da lo mismo que al resto Joey. Esto porque parece que tomaste dos ceros distintos para la energía potencial. Primero pusiste el cero en el fondo del recipiente, para calcular la velocidad en el punto más bajo, y después lo tomaste en el centro, o no sé que hiciste, porque pusiste $\frac{1}{2} {m}{vo}^{2} = \frac{1}{2} {m}{v}^{2} + {mgR}{\cos \theta}$, cuando deberías haber puesto $\frac{1}{2} {m}{vo}^{2} = \frac{1}{2} {m}{v}^{2} + {mg}(R-R{\cos \theta})$, (si \theta es el angulo que yo creo, que sería, siguiendo la figura que puso carmelo, $\alpha = 90 + \theta$)
Ese mismo ángulo había usado yo, llegando a $N = 3mg \cos \theta$ que en función de alpha es $N = 3mg \sin \alpha$ ($\cos \theta = \cos (\alpha - 90) = \sin \alpha$)
saludos

[gaussiano]

Re: Uno de dinamica con miga

Joey, entonces segun tu razonamiento, al calcular w, la expresion 1-cos (theta) es equivalente a sen (alfa)? En un principio, quiero estar de acuerdo con la expresion lograda para N= 3mg sen(alfa) pero me cuesta creer que el resultado del libro esté mal, siempre tiendo a pensar que soy yo el que me equivoco, pero...

[Joey]

Re: Uno de dinamica con miga

tienes razón