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Voy a intentar explicar en forma sencilla pero completa como se resuelve un circuito de corriente continua por el método de Kirchhoff (o método de las corrientes nodales) y por el método de Maxwell (o método de las corrientes de malla). Usemos para la explicación el siguiente circuito sencillo:
Definiciones y nomenclatura a usar
Todo circuito por complicado que sea se puede considerar formado por una serie de ramas (o ramales) unidos entre si para formar uno o mas caminos cerrados que llamaremos mallas. Entenderemos por rama a cualquier camino sin bifurcaciones. Por una rama, al no existir bifurcaciones, circula una única corriente la cual atravieza todos los elementos que forman la rama en el mismo sentido. Entonces en todo circuito existirán tantas corrientes (potencialmente) diferentes como ramas tenga el circuito.
En nuestro circuito de ejemplo existen tres ramas, a saber, las trayectorias efab, be y bcde.
Las ramas se interconectan en los nodos. Entenderemos por nodo la unión de tres o mas ramas. En nuestro ejemplo existen dos nodos, el nodo b y el nodo e.
La interconexión de las ramas produce uno o mas caminos cerrados que llamamos mallas. Consideramos malla a cualquier recorrido cerrado que no se intersecte a si mismo y no distinguimos entre las dos direcciones posibles para recorrer una malla.
Nuestro circuito de ejemplo contiene tres mallas: abefa, bcdeb y acdfa.
Bases físicas para la solución del circuito
La solución del circuito, lo cual usualmente implica determinar las corrientes a partir de los valores conocidos de los elementos interconectados, se fundamenta en dos principios físicos:
- Principio de conservación de la carga
- Principio de conservación de la energía
Principio de conservación de la carga: Puesto que un nodo es simplemente un punto en el circuito, no puede haber acumulación de carga en el nodo. Esto implica que toda la carga transportada hasta un nodo por unas corrientes debe ser removida del mismo nodo por otras corrientes, de modo que en cada instante toda la carga que llega al nodo iguala a la carga que lo abandona.
Principio de conservación de la energía: Las fuerzas eléctricas son conservativas, lo que implica que el trabajo realizado por un agente para mover una carga eléctrica en una trayectoria cerrada es cero. Recordando que el trabajo empleado para mover una carga a través de una diferencia de potencial es el producto , se sigue que si se transporta una carga a través de sucesivas diferencias de potencial , , ... , , se realizará un trabajo . Si la trayectoria seguida es cerrada, se tiene entonces que .
El método de Kirchhoff
El método de Kirchhoff para la solución de un circuito es la aplicación directa de los dos principios mencionados arriba. Puestos en forma práctica se enuncian como las leyes de Kirchhoff:
- Ley de los nodos: La suma algebráica de las corrientes que concurren en un nodo es cero.
- Ley de las mallas: La suma de las variaciones de potencial a lo largo de una malla es cero.
Lo primero que hacemos al momento de resolver un circuito por este método es identificar los ramales y asignar a cada uno de ellos una corriente de nombre y sentido arbitrario. Para la continuación de nuestro ejemplo, digamos que nombramos nuestras corrientes y asignamos sus sentidos como en la siguiente figura:
La selección del nombre y el sentido de cada corriente es completamente arbitraria. A menos que el circuito contenga una sola fuente o sea sumamente sencillo, en general no es posible anticipar cual será el sentido real de cada corriente. Ni debe preocuparnos; en el caso muy probable de que el sentido elegido para alguna corriente no sea el real, la solución que se obtenga tendrá signo negativo.
Se aplica la ley de los nodos a todos los nodos de la malla menos uno. Si existen nodos, la enésima ecuación será combinación lineal de las precedentes y como tal no nos es útil para la solución del circuito. En nuestro ejemplo elegimos cualquiera de los dos nodos b o e:
Nodo b:
Nótese que la elección del signo de las corrientes que llegan es arbitrario. Por supuesto que las que salen tienen el signo contrario.
Las ecuaciones restantes para completar el sistema de ecuaciones se obtienes de la ley de las mallas. De todas las mallas existentes podemos seleccionar las necesarias para completar nuestro sistema de ecuaciones. La elección de las mallas es un tanto arbitraria y la práctica será nuestra mejor guía. Como regla general, trataremos que cada nueva malla incluya nueva información, que no haya sido incluída en mallas anteriores.
En nuestro ejemplo hay tres mallas posibles, de las cuales solo necesitamos dos para completar nuestro sistema de ecuaciones. Nótese que las tres mallas no son independientes: la malla acdfa es simplemente la suma de las mallas abefa y bcdeb. Tomaremos cualesquiera dos de las tres posibles.
Una vez elegida la malla, la recorremos en el sentido que deseemos (es arbitrario) sumando cada variación de potencial que vayamos consiguiendo a lo largo del recorrido. Aquí recordaremos que la corriente se define como el movimiento de cargas positivas y que fluye de mayor a menor potencial, de modo que al atravesar un resistor en el sentido de la corriente estamos disminuyendo de potencial. Con respecto a las fuentes estas mantienen una diferencia de potencial entre sus bornes producto de su estructura interna. Se produce un aumento del potencial cuando se atravieza una fuente desde el borne negativo al positivo, es decir, en el sentido de su fuerza electromotriz.
Prosiguiendo con el ejemplo, digamos que seleccionamos para nuestro sistema de ecuaciones las dos mallas que forman los dos cuadros adyacentes.
Malla abefa:
Malla bcdeb:
(La práctica permitirá factorizar sobre la marcha, ahorrando tiempo y esfuerzo en la elaboración del sistema de ecuaciones)
Agrupando las ecuaciones (1)-(3), tenemos el sistema de ecuaciones
cuya solución es
El método de Maxwell
Cuando el número de ramas aumenta, el sistema de ecuaciones conseguido con el método de Kirchhoff crece rápidamente, produciendo un gran sistema de ecuaciones muy raleado. Corrientemente cada ecuación contiene solo tres incognitas. Una forma mas eficiente de analizar el circuito se consigue si se observa que cada ecuación de nodo establece una relación entre corrientes de mallas adyacentes. Usemos nuestro circuito para ilustrar el punto.
Nótese que la ecuación (1), conseguda en el nodo b, se puede escribir
que puede ser interpretada como una indicación de que por la rama be circulan simultáneamente las corrientes e en sentidos opuestos. Nuestro circuito podría ser considerado como sl siguiente:
Nótese que el circuito queda modelado como el flujo de dos corrientes independientes en las mallas abefa y bcdeb. Estas corrientes fluyen simultáneamente en la rama común a ambas mallas. En cada nodo la ley de los nodos queda automáticamente satisfecha pues cada corriente que llega al nodo sale de él. Resta entonces aplicar solamente la ley de las mallas, tomando en cuenta todas las corrientes que circulen en las ramas comunes a dos o mas mallas.
Entonces empezamos el análisis de nuestro circuito identificando las posibles mallas y seleccionando las mallas que nos permitan recorrer todos los conductores al menos una vez. En nuestro ejemplo seleccionemos de nuevo las mismas mallas. Asignamos a cada malla una corriente de nombre y sentido arbitrario:
Malla abefa:
Malla bcdeb:
Nótese que he factorizado sobre la marcha la corriente de la malla, que multiplica a todas las resistencias, por razones de eficiencia.
Nuestro sistema de ecuaciones es ahora
cuya solución es
Una vez obtenidas las corrientes de malla solo resta el trabajo de conseguir la corriente neta en cada rama común a dos o mas mallas. En nuestro ejemplo, en la rama be circularía la corriente
que por supuesto coincide con la corriente obtenida anteriormente.
Tips adicionales
- Algún lector podría encontrar que los signos de las variaciones de potencial indicadas en este mensaje son justo las opuestas a la que dice el libro, o su profesor. Ciertamente lo apegado a los principios físicos es lo señalado en este mensaje, mas sin embargo, al estar igualadas las ecuaciones a cero, tomar las variaciones de potencial con el signo contrario no altera para nada la ecuación resultante.
- En el método de Maxwell la elección del sentido de cada corriente y la elección del sentido en el cual se recorre cada malla es absolutamente arbitraria. Sin embargo, si se toman todas las corrientes en el mismo sentido y se recorren todas la mallas en el mismo sentido, el sistema de ecuaciones resultante será simétrico respecto a la diagonal principal. Este pequeño detalle puede ayudar a detectar un error en la determinación del sistema de ecuaciones.
Saludos,
Al
PD. Este mensaje continúa en el mensaje Solución de un circuito de corriente continua sencillo por los métodos de Superposición y de los Nodos.
Definiciones y nomenclatura a usar
Todo circuito por complicado que sea se puede considerar formado por una serie de ramas (o ramales) unidos entre si para formar uno o mas caminos cerrados que llamaremos mallas. Entenderemos por rama a cualquier camino sin bifurcaciones. Por una rama, al no existir bifurcaciones, circula una única corriente la cual atravieza todos los elementos que forman la rama en el mismo sentido. Entonces en todo circuito existirán tantas corrientes (potencialmente) diferentes como ramas tenga el circuito.
En nuestro circuito de ejemplo existen tres ramas, a saber, las trayectorias efab, be y bcde.
Las ramas se interconectan en los nodos. Entenderemos por nodo la unión de tres o mas ramas. En nuestro ejemplo existen dos nodos, el nodo b y el nodo e.
La interconexión de las ramas produce uno o mas caminos cerrados que llamamos mallas. Consideramos malla a cualquier recorrido cerrado que no se intersecte a si mismo y no distinguimos entre las dos direcciones posibles para recorrer una malla.
Nuestro circuito de ejemplo contiene tres mallas: abefa, bcdeb y acdfa.
Bases físicas para la solución del circuito
La solución del circuito, lo cual usualmente implica determinar las corrientes a partir de los valores conocidos de los elementos interconectados, se fundamenta en dos principios físicos:
- Principio de conservación de la carga
- Principio de conservación de la energía
Principio de conservación de la carga: Puesto que un nodo es simplemente un punto en el circuito, no puede haber acumulación de carga en el nodo. Esto implica que toda la carga transportada hasta un nodo por unas corrientes debe ser removida del mismo nodo por otras corrientes, de modo que en cada instante toda la carga que llega al nodo iguala a la carga que lo abandona.
Principio de conservación de la energía: Las fuerzas eléctricas son conservativas, lo que implica que el trabajo realizado por un agente para mover una carga eléctrica en una trayectoria cerrada es cero. Recordando que el trabajo empleado para mover una carga a través de una diferencia de potencial es el producto , se sigue que si se transporta una carga a través de sucesivas diferencias de potencial , , ... , , se realizará un trabajo . Si la trayectoria seguida es cerrada, se tiene entonces que .
El método de Kirchhoff
El método de Kirchhoff para la solución de un circuito es la aplicación directa de los dos principios mencionados arriba. Puestos en forma práctica se enuncian como las leyes de Kirchhoff:
- Ley de los nodos: La suma algebráica de las corrientes que concurren en un nodo es cero.
- Ley de las mallas: La suma de las variaciones de potencial a lo largo de una malla es cero.
Lo primero que hacemos al momento de resolver un circuito por este método es identificar los ramales y asignar a cada uno de ellos una corriente de nombre y sentido arbitrario. Para la continuación de nuestro ejemplo, digamos que nombramos nuestras corrientes y asignamos sus sentidos como en la siguiente figura:
La selección del nombre y el sentido de cada corriente es completamente arbitraria. A menos que el circuito contenga una sola fuente o sea sumamente sencillo, en general no es posible anticipar cual será el sentido real de cada corriente. Ni debe preocuparnos; en el caso muy probable de que el sentido elegido para alguna corriente no sea el real, la solución que se obtenga tendrá signo negativo.
Se aplica la ley de los nodos a todos los nodos de la malla menos uno. Si existen nodos, la enésima ecuación será combinación lineal de las precedentes y como tal no nos es útil para la solución del circuito. En nuestro ejemplo elegimos cualquiera de los dos nodos b o e:
Nodo b:
Nótese que la elección del signo de las corrientes que llegan es arbitrario. Por supuesto que las que salen tienen el signo contrario.
Las ecuaciones restantes para completar el sistema de ecuaciones se obtienes de la ley de las mallas. De todas las mallas existentes podemos seleccionar las necesarias para completar nuestro sistema de ecuaciones. La elección de las mallas es un tanto arbitraria y la práctica será nuestra mejor guía. Como regla general, trataremos que cada nueva malla incluya nueva información, que no haya sido incluída en mallas anteriores.
En nuestro ejemplo hay tres mallas posibles, de las cuales solo necesitamos dos para completar nuestro sistema de ecuaciones. Nótese que las tres mallas no son independientes: la malla acdfa es simplemente la suma de las mallas abefa y bcdeb. Tomaremos cualesquiera dos de las tres posibles.
Una vez elegida la malla, la recorremos en el sentido que deseemos (es arbitrario) sumando cada variación de potencial que vayamos consiguiendo a lo largo del recorrido. Aquí recordaremos que la corriente se define como el movimiento de cargas positivas y que fluye de mayor a menor potencial, de modo que al atravesar un resistor en el sentido de la corriente estamos disminuyendo de potencial. Con respecto a las fuentes estas mantienen una diferencia de potencial entre sus bornes producto de su estructura interna. Se produce un aumento del potencial cuando se atravieza una fuente desde el borne negativo al positivo, es decir, en el sentido de su fuerza electromotriz.
Prosiguiendo con el ejemplo, digamos que seleccionamos para nuestro sistema de ecuaciones las dos mallas que forman los dos cuadros adyacentes.
Malla abefa:
Malla bcdeb:
(La práctica permitirá factorizar sobre la marcha, ahorrando tiempo y esfuerzo en la elaboración del sistema de ecuaciones)
Agrupando las ecuaciones (1)-(3), tenemos el sistema de ecuaciones
cuya solución es
El método de Maxwell
Cuando el número de ramas aumenta, el sistema de ecuaciones conseguido con el método de Kirchhoff crece rápidamente, produciendo un gran sistema de ecuaciones muy raleado. Corrientemente cada ecuación contiene solo tres incognitas. Una forma mas eficiente de analizar el circuito se consigue si se observa que cada ecuación de nodo establece una relación entre corrientes de mallas adyacentes. Usemos nuestro circuito para ilustrar el punto.
Nótese que la ecuación (1), conseguda en el nodo b, se puede escribir
que puede ser interpretada como una indicación de que por la rama be circulan simultáneamente las corrientes e en sentidos opuestos. Nuestro circuito podría ser considerado como sl siguiente:
Nótese que el circuito queda modelado como el flujo de dos corrientes independientes en las mallas abefa y bcdeb. Estas corrientes fluyen simultáneamente en la rama común a ambas mallas. En cada nodo la ley de los nodos queda automáticamente satisfecha pues cada corriente que llega al nodo sale de él. Resta entonces aplicar solamente la ley de las mallas, tomando en cuenta todas las corrientes que circulen en las ramas comunes a dos o mas mallas.
Entonces empezamos el análisis de nuestro circuito identificando las posibles mallas y seleccionando las mallas que nos permitan recorrer todos los conductores al menos una vez. En nuestro ejemplo seleccionemos de nuevo las mismas mallas. Asignamos a cada malla una corriente de nombre y sentido arbitrario:
Malla abefa:
Malla bcdeb:
Nótese que he factorizado sobre la marcha la corriente de la malla, que multiplica a todas las resistencias, por razones de eficiencia.
Nuestro sistema de ecuaciones es ahora
cuya solución es
Una vez obtenidas las corrientes de malla solo resta el trabajo de conseguir la corriente neta en cada rama común a dos o mas mallas. En nuestro ejemplo, en la rama be circularía la corriente
que por supuesto coincide con la corriente obtenida anteriormente.
Tips adicionales
- Algún lector podría encontrar que los signos de las variaciones de potencial indicadas en este mensaje son justo las opuestas a la que dice el libro, o su profesor. Ciertamente lo apegado a los principios físicos es lo señalado en este mensaje, mas sin embargo, al estar igualadas las ecuaciones a cero, tomar las variaciones de potencial con el signo contrario no altera para nada la ecuación resultante.
- En el método de Maxwell la elección del sentido de cada corriente y la elección del sentido en el cual se recorre cada malla es absolutamente arbitraria. Sin embargo, si se toman todas las corrientes en el mismo sentido y se recorren todas la mallas en el mismo sentido, el sistema de ecuaciones resultante será simétrico respecto a la diagonal principal. Este pequeño detalle puede ayudar a detectar un error en la determinación del sistema de ecuaciones.
Saludos,
Al
PD. Este mensaje continúa en el mensaje Solución de un circuito de corriente continua sencillo por los métodos de Superposición y de los Nodos.