Fundamentos de la matematica I

[^Cuervo^]

Podría uno preguntarse en primer lugar, por qué ha sido un interés de los matemáticos y filósofos de principios del siglo XX, en particular de figuras como Cantor, Russell, Hilbert, Zermelo, Gödel o Von Neumann por citar algunos de los más notables, el dotar a las matemáticas de una sólida base axiomática en la que poder fundamentarse. La respuesta básicamente sería la de poder enfrentarse al concepto de infinito. En matemáticas, el infinito abunda por doquier, infinitos son los elementos de N, Z, Q, R o C, por no decir los de los espacios R^n o C^n, sin ir más lejos. El infinito se enfrenta muchas veces con lo que podriamos denominar, nuestro sentido común. Por ejemplo, el conjunto de los números pares, es decir, de los múltiplos de 2, es un subconjunto propio de N. Dicho de otra forma, todo número par, es un elemento de N, pero no todo elemento de N, es un número par. Sin embargo, la sucesión a_n=2*n, nos permite establecer una aplicación biyectiva entre ambos conjuntos, de forma que a cada número par le corresponde un elemento de N y solo uno, y viceversa. Dicho de otra forma, tenemos un subconjunto propio que tiene la misma cantidad de elementos, que el conjunto que lo contiene. Nuestro sentido común se mueve casi siempre en términos que podriamos denominar finitos, y obviamente, para un conjunto finito, un subconjunto propio siempre tiene una cantidad de elementos menor que el conjunto que lo contiene. Hechos parecidos, hicieron ver, que era necesaria una fundamentación rigurosa de la matemática, para no caer en contradicciones, cuando de hablar del infinito se trataba.De hecho, no es exagerado el afirmar, que si en las matemáticas no se tratara sobre el infinito, los sistemas axiomáticos, no solo estarían de más, sino que sería mucho más práctico usar el sentido común sin más, toda demostración sería obvia una vez realizada.
Otro concepto que está en la base misma de las matemáticas, és el de conjunto. En realidad, podría decirse que un objeto pertenece al campo de las matemáticas, sí y solamente sí, es un conjunto. De las dos teorías axiomáticas en las que se fundamentan las matemáticas en la actualidad, a saber las de Zermelo-Fraenkel, y la de Gödel-Von Neumann, en la primera, conjunto es precisamente el objeto primitivo y no definido de la teoría. En la segunda, el concepto primitivo es el de clase. Russell objetó a la teoría de Cantor, que ésta presuponía que al igual que todo conjunto tiene una propiedad asociada, la inversa, es decir que toda propiedad tenía un conjunto asociado, también era cierta. Sin embargo Russell propuso el conjunto que tenía por elementos a aquellos conjuntos que no eran elementos de si mismos, llamando a este conjunto R. La pregunta era, ¿es R elemento de si mismo?. La respuesta afirmativa o negativa a esta pregunta conducía siempre a una contradicción. Ya que si R no era elemento de si mismo, entonces pertenecía a R, y si era elemento de si mismo, entonces no podía serlo.
Dicho de otra forma, Russell dió un ejemplo de una propiedad, que no tenía ningún conjunto asociado, ya que para que un conjunto esté bién definido, es imprescindible que dado otro conjunto cualesquiera, podamos decir sin ambigüedad alguna, si es o no elemento de nuestro conjunto.
Pues bien, entonces la extensión de una propiedad no era siempre un conjunto, por lo que a partir de entonces, la extensión de una propiedad, pasó a denominarse una clase.
Esta era el objeto primitivo de la teoría axiomática de Gödel-Von Neumann. En dicha teoría, el concepto de conjunto, se definía a partir del concepto primitivo de clase, de forma que un conjunto era una clase que pertenecía a otra clase, mientras que una clase que no pertenecía a ninguna otra clase, era una clase propia.
En lo que sí que coinciden ambas teorías, es en que la relación primitiva no definida, es la relación de pertenencia. Dicho sea de paso, es conveniente poner de manifiesto que cuando decimos que x€A, lo que enrealidad decimos es que el conjunto x es elemento del conjunto A, pero no que x y A sean objetos de distinta naturaleza, ambos son conjuntos.
Bien, lo que se pretendía a principios del siglo XX, era encontrar un sistema axiomático en el que todas las propiedades de los conjuntos y solo ellas, pudieran derivarse de un conjunto finito de axiomas, y las reglas de inferencia asociadas al sistema. La importancia de ello radicaba, en que casi todas las ramas de las matemáticas, ya se fundamentaban sobre el concepto de conjunto, luego si se conseguía ese proposito, se tendría una base sólida sobre la que poder fundamentar la verdad matemática. Ese era precisamente uno de los que consideraba Hilbert como retos del milenio.
Fue el gran lógico Kurt Gödel, quién dió respuesta al problema, pero de la manera más sorprendente posible. La respuesta era que simplemente era imposible hacer tal cosa. El motivo era que en todo sistema axiomático recursivo, lo suficientemente complejo para contener a N (y por lo tanto al concepto de infinito), aparecían proposiciones indecidibles, es decir, enunciados de los que no se podía demostrar su veracidad ni falsedad a partir de los axiomas. Otra consecuencia de esta indecidibilidad y que en cierta forma era todavía más preocupante que la indecidibilidad en si misma, es que no podía demostrarse la consistencia del sistema, desde dentro del propio sistema, ya que tal demostración nos conduce a una contradicción. Dicho de otra forma más comprensible, no había forma de probar desde dentro del propio sistema, que dicho sistema no era contradictorio.
Ahora bien, en un sentido absoluto, el intento de fundamentar las matemáticas sobre una base sólida había fracasado. Pero ello no quería decir que no se pudiera hacer nada al respecto, sino simplemente, que el absoluto y la perfección no existen.
El hecho curioso, es que a pesar de todo, aparecieron dos sistemas, los mencionados anteriormente, extraordinariamente potentes, y sobre los cuales se podía fundamentar casi toda la matemática conocida. En dichos sistemas, aparecieron ejemplos famosos de esas proposiciones indecidibles que mencionara Gödel, como es el caso del axioma de elección, del cual ya se ha hablado en el foro, o de la hipótesis del continuo.
Hagamos una aproximación al que por ser más conocido, y más sencillo de comprender para el profano, puede dar una mejor idea de por donde andamos en la actualidad en lo que a fundamentación de las matemáticas se refiere.
Cuando alguien que es profano en la materia, observa por primera vez los axiomas de Zermelo-Fraenkel, puede tener dos sensaciones. La primera es que parece extraño que de unos pocos axiomas, a lo sumo unos 8, se pueda construir toda la matemática conocida. La segunda, es que es muy probable que esperara unas verdades que por obvias brillaran más que el Sol a plena luz del día, y se sorprende de que los axiomas no sean lo "evidentes" e "irrefutables" que pudiera haber esperado.
Veamos lo que quiero decir.
Podriamos dividir los axiomas en 3 categorías.
En la primera pondriamos el axioma de extensión, que en este caso, sí parece una verdad bastante obvia, ya que simplemente lo que afirma es que dos conjuntos cualesquiera A y B son iguales, si y solamente si, contienen a los mismos elementos. Este como se ve, es un axioma que nos servirá para determinar cuando dos conjuntos son o no el mismo.
En la segunda categoría, estarían aquellos axiomas que nos permiten construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos conocidos. En esta categoría estarían por ejemplo, el axioma de la gran unión que afirma que dado un conjunto cualesquiera A, existe un conjunto al que llamamos UA , que tiene por elementos a todos los elementos, de los elementos de A. No me negaran ustedes, que eso ya no parece tan obvio como lo anterior. Otro ejemplo importante sería el axioma del conjunto de las partes. Digamos antes que un conjunto B decimos que es subconjunto de otro conjunto A, si y solo si, todo elemento de B también lo es de A.
Pues bien el axioma en cuestión lo que afirma, es que dado un conjunto cualesquiera A, existe un conjunto que llamaremos P(A) que tiene por elementos a todos aquellos conjuntos que son subconjuntos de A. Aquí la obviedad tampoco luce por su presencia. Dentro de esta categoría estarían la casi totalidad de los axiomas restantes ( a escepción tal vez del axioma de regularidad, que entre otras cosas más complejas, evita la existencia de conjuntos patológicos como un cierto conjunto A que fuera elemento de si mismo y cosas similares, dicho axioma, lo que simplemente afirma, es que todo conjunto no vacío contiene algún elemento con el que no comparte ningún elemento), como el axioma de especificación, el del reemplazo, o el de elección (el del par no lo menciono, ya que en realidad es un teorema que puede deducirse del resto de los axiomas, y que afirma que si tenemos dos conjuntos cualesquiera A y B existe el conjunto C={A,B})
Notemos, que por el momento, hemos hablado de igualdad entre conjuntos, de como crear nuevos conjuntos a partir de los ya existentes, pero todavía no hemos afirmado que exista algún conjunto. Para resolver esto, los matemáticos lo hacen con axiomas de la tercera categoría, de hecho, les basta un solo axioma, y van a lo grande. Así en nuestra tercera categoría de axiomas solo hay uno que simplemente dice: Existe un conjunto que tiene infinitos elementos.
Y poco más o menos, una teoría en la que se fundamentan las matemáticas, viene a ser esto.

[^Cuervo^]

Entonces podrían estarse ustedes preguntando, pero si nos basamos en cosas tan "ambiguas", tan poco "obvias", como puede ser que las matemáticas puedan construirse a partir de ellas?. Mi respuesta a dicha pregunta sería, que más que buscar verdades "obvias", la busqueda de los axiomas oportunos, consiste en encontrar cuales son las propiedades esenciales que deben tener los conjuntos para que a partir de ellas y las reglas de inferencia de nuestro sistema, podamos demostrar la mayor cantidad de propiedades ya contrastadas en la realidad física (digo la mayor cantidad, porque como antes dijimos la totalidad es imposible). Sería algo así como un proceso de síntesis, es decir, el proceso no solo va de abajo hacia arriba y es por lo tanto de naturaleza deductiva, sino que se tiene en cuenta a donde queremos llegar, para determinar desde donde empezamos, o sea en cierta forma es un proceso inductivo a su vez. Las matemáticas no pueden en definitiva, prescindir de la realidad física, que de una u otra forma pretenden representar, y es por ello, que un sistema puede ser impecable desde el punto de vista lógico, pero no ser de interés para las matemáticas.
Digamos que a mi forma de ver, una cosa es la verdad lógica, otra el hecho físico, y las matemáticas vendrían a ser el puente entre ambas.
Para poner un ejemplo de lo que quiero decir, consideren un sistema axiomático del que se dedujera que 2+2 no es 4 (dejando bases de numeración aparte), es obvio, que no tendría mucho interés para las matemáticas, por muy impecable que fuera desde un punto de vista lógico.
Por otro lado, piensen que uno de los objetivos de la teoría de conjuntos en su origen, fue definir los números naturales como conjuntos, y a partir de esa definición definir el orden y las operaciones entre ellos, para demostrar las propiedades de dichas operaciones y relaciones a partir de los axiomas mismos. Sin embargo un resultado colateral de dicha construcción, es la aparición de la teoría de ordinales, y de cardinales transfinitos, con axioma de elección e hipótesis del continuo de por medio. Dichos nuevos elementos, no está claro que realidad física tienen en realidad, de ahí que su indecidibilidad en muchos casos sea absoluta, pero si dichos elementos realmente tienen algún contraste o no en la realidad física, es algo que hoy por hoy está por ver, por lo tanto, podría ser, que simplemente nos estemos pasando con los axiomas, para entendernos. Digamos que al menos, hoy por hoy, no hay nada físico que nos permita decir si es una u otra cosa en estos ámbitos.
Y por hoy, ya les pegué suficiente paliza, o sea que me remito a posteriores ocasiones, en que respondiendo a sus opiniones, crucemos unas palabras de nuevo.
Sin más se despide, un pajarraco.

[Adosgel]

¡¡¡Sigue sigue, no pares tio, me encanta!!!

Podrías meterte con los transfinitos, los números reales y la continuidad. Estoy impaciente.

Nota: que pena que sigo sin ser capaz de poner iconos en el texto. Imaginate un aplauso muy grande.

Saludos.

[Lemuel]

Este interesante post tuyo me ha dado la idea de que sería de bastante interés hablar un poco de los ordinales transfinitos. Tanto de la primera teoría cantoriana como de las aportaciones posteriores, al menos las de Von Neumann. Es, desde luego, un asunto algo complicado, que habría que tratar de la manera más clara, didáctica y “elemental” posible. Es decir: sin dar nada como ya sabido por el eventual lector. Habría que explicar en detalle, por ejemplo, cómo funcionan los dos principios de generación de los ordinales (y hablar incluso del tercer principio, de restricción o limitación), por qué no son conmutativas las operaciones de la aritmética ordinal, etc.

Yo mismo me pondría a la tarea, si no no fuese porque, chico, es una temática que tengo, digamos, algo... “olvidada”.

[Adosgel]

Es buena idea, y yo me comprometo a leermelo, a pesar de estar en fiestas.

A ver si se anima alguno.

Saludos.

[^Cuervo^]

Bién, respondiendo a tu post, intentaré en unas breves lineas, decir algo que pueda ser de interés para los no iniciados en la teoría de ordinales, sobre los mismos. Sin embargo, protesto ante la idea de que me dejes solo en tan duro empeño, por lo que te sugiero que le quites el polvo a tus apuntes, y me heches una mano en futuros añadidos del post. Al fín y al cabo el matemático eres tú.
Veamos, yo me voy a centrar en lo que podriamos denominar, los ordinales de Von Newman, que son los que conozco mejor. La cosa empezó cuando se pretendía construir los números naturales a partir de la axiomática de conjuntos. Había que definir lo que era un número natural a partir de ella. Como hacerlo?. La primera idea era considerar clases de equivalencia entre conjuntos, es decir, dos conjuntos finitos tenían como ordinal ( o como cardinal si se prefiere, ya que en este caso ambos conceptos coinciden) el mismo número natural, sí y solamente sí, existía alguna aplicación biyectiva entre ellos. Sin embargo esta representación de los números naturales tenía un problema, y es que, estás relaciones de equivalencia se hallaba dentro del conjunto de todos los conjuntos, que precisamente resultó no ser un conjunto sinó una clase propia. Luego se tenía que ir por otro camino.
Von Newman tuvo la siguiente idea, porqué en vez de tomar las clases de equivalencia que deciamos, no se tomaba un representante canónico de cada una ellas?. De esta forma, un conjunto tenía como ordinal a un cierto número natural, sí y solamente sí, podía biyectarse con su representante canónico.
Otra idea fundamental a la hora de definir los naturales, era que debía hacerse, de forma que pudieramos establecer una relación de orden entre ellos de forma que se adaptara a su ordenación usual. Pero si cada número natural tenía como representante a un conjunto, como debiamos hacerlo para establecer una relación de orden entre conjuntos?. De hecho había dos formas, que al final resultaron ser idénticas como podreis comprobar. La idea fundamental que subyace en ambas, es el antiguo principio de que el todo es mayor que las partes, de esta forma podemos decir que dados dos conjuntos A y B decimos que A<B, sí y solamente sí, A está incluido en B o A€B. Ambas formas, al final resultarán ser la misma, como podreis comprobar.
Parecerá mentira, pero con solo estás dos premisas, los números naturales quedaban inequivocamente definidos sin ambigüedad alguna. Porqué?. Veamos, en primer lugar, y debido a la unicidad del conjunto vacío, este era el único conjunto que podía ser el representante del número natural 0. Osea que a partir de ahora 0=vacío. Muy bién, y que pasa con el 1?. El 1 por lo dicho anteriormente, debía ser un conjunto con un solo elemento y que tenía por elemento al 0 ya que este era menor que él. Luego 1={0}. Y el 2?. El 2 debía ser un conjunto con dos elementos y que tenía por elementos al 0 y al 1, entonces 2={0,{0}}. Y así sucesivamente.
Es decir, así un número natural, era un conjunto que tenía por elementos a todos aquellos números naturales menores que él, con lo que dicho conjunto tenía el número de elementos que pediamos, y se podía establecer la relación de orden usual, mediente la relación primitiva de pertenencia.
Una forma más formal de definir los naturales, sería la siguiente. La axiomática de conjuntos nos garantiza que dados 2 conjuntos cualesquiera A y B existe el conjunto {A,B}, sean o no iguales ambos conjuntos. Ello quiere decir que dado un conjunto A exisitirá el conjunto {A,A}={A} y como existen este conjunto y A entonces también existe el conjunto {A,{A}}. Por otro lado, el axioma de la gran unión nos dice que para cualquier conjunto A, existe el conjunto U A, cuyos elementos son los elementos, de los elementos de A. Por lo tanto si existe {A,{A}}, existirá también U {A,{A}}. Dicho conjunto tendrá por elementos a todos los elementos de A y al propio A. Pues bién dado un conjunto A, definimos el conjunto sucesor de A , y lo representaremos por S(A), como el conjunto U {A,{A}}.
Notar que dicha idea aplicada a un número natural nos lleva al siguiente número natural, ya que todo número natural n tiene por elementos a los naturales menores que él, y si a estos le añadimos n, entonces el nuevo conjunto será el natural n+1.
Dicho de otra forma 0=Vacío, 1=S(0)={0}, 2=S(1)=S(S(0))={0,{0}}, y así sucesivamente.
Bién, ya tenemos los números naturales. La demostración de que existe un conjunto N que tiene por elementos a todos los naturales y solo a ellos, no puede hacerse sin suponer, que existe un conjunto que tiene infinitos elementos, y es por ello que la axiomática de conjuntos, incorpora precisamente este curioso axioma.
Hecha esta acalaración, veamos una curiosa propiedad de los conjuntos que hemos construido para crear los números naturales. Sí n es el conjunto representante de un número natural cualesquiera se cumple que para cualquier conjunto x, si x€n entonces x está incluido en n. Y además, como cualquiera de sus elementos, es a su vez un número natural, sus elementos también cumplen la misma propiedad, al igual que los elementos de sus elementos etc....
La pregunta és, son los números naturales los únicos conjuntos con dicha propiedad? La respuesta es no, ya que el propio N también la cumple. Es más, si determinado conjunto A la cumple, entonces S(A) también, por lo que S(N) o S(S(N)) son conjuntos que también han de cumplir la propiedad mencionada.
Porqué es importante el que se cumpla esta propiedad?. Porque todo conjunto que la cumple, puede bién ordenarse con la relación de orden establecida mediante la pertenencia o la inclusión. Con lo que podriamos decir, que todo buén orden tiene asociado un conjunto de este tipo, y que los representantes de los buenos ordenes no son en exlusiva los números naturales, sinó otra clase de números que ahora definiremos con rigor, y que son los ordinales.
Para definir un ordinal lo haremos en dos etapas. En primer lugar, diremos que un conjunto cualesquiera T es transitivo si todo elemento de T, está incluido en T.
Un conjunto O diremos que es un ordinal, sí y solamente sí, es transitivo, y todos sus elementos también lo son.
La primera pregunta és, todo conjunto es un ordinal?. Claramente no, por ejemplo, si tenemos los conjuntos A y B existirán los conjuntos {A} y {A,B} y por lo tanto el conjunto {{A},{A,B}} (el par ordenado de A y B precisamente), que obviamente no cumple nuestra definición.
Hay propiedades realmente importantes sobre ordinales, algunas fáciles de ver y demostrar, y otras más difíciles de hacer, pero que se derivan todas ellas de la definición de ordinal misma.
El conjunto vacío es un ordinal.
Si O es un ordinal, entonces S(O) también lo és.
N es un ordinal.
Si O es un ordinal, todos sus elementos también son ordinales.
El conjunto de todos los ordinales no es un conjunto, es una clase propia.
Dados dos ordinales cualesquiera A y B se cumple que o bién A€B o bién A=B o bién B€A, pero no más de una a la vez. Esta propiedad es importantísima, ya que nos permite establecer una relación de orden total dentro de un conjunto que sea un ordinal.
La gran intersección de un conjunto de ordinales és un ordinal, es más, és el elemento mínimo de dicho conjunto. (La gran intersección de A se define como aquel conjunto I tal que para cualquier x, x€I, sí y solamente sí x€ U A y para cualquier y sí y€A entonces x€A, conjunto cuya existencia nos garantizan el axioma de la gran unión y el de especificación)
Sí C es un conjunto de ordinales, U C es un ordinal, siendo además el supremo de C si C es subconjunto de algún ordinal.
Así podriamos citar algunas propiedades más. De todas formas por las ya citadas, se puede intuir lo que antes afirmabamos, en el sentido de que todo buén orden tiene asociado algún ordinal, de ahí la importancia de los ordinales precisamente.
Es este hecho, el que nos permite afirmar si aceptamos el axioma de elección, que todo conjunto puede bién ordenarse y tiene un ordinal asociado precisamente.
Para términar esta introduccción a los fundamentos sobre los ordinales, que por hoy ya es bastante, solo quiero que se fijen en un hecho. Hemos dicho que todo ordinal tiene un sucesor que es a su vez un ordinal. Pero la inversa no es cierta, no todo ordinal es sucesor de otro ordinal. Por ejemplo el vacío o N no son sucesores de ordinal alguno. Los ordinales de esta clase, se denominan ordinales límite. Puede demostrarse que todo ordinal pertenece a una de las dos clases, es decir o es un ordinal sucesor, o es un ordinal límite.
Cuando aplicamos inducción a los ordinales para demostrar alguna propiedad que sea común a todos ellos, aplicamos lo que se conoce como principio de inducción transfinita, en la que se exigen dos cosas. La primera que si un ordinal cumple la propiedad pueda demostrarse que su sucesor también la cumple. Y la segunda que todo ordinal límite la cumple.
Bién, finalizada la aclaración, me despido por hoy, eso sí, rogando a Lemuel, que aporte su granito de arena, sobretodo en la definición de la aritmética ordinal, en la que no estoy tan desenvuelto como en el tema de la relación de orden entre ordinales.
Un saludo a todos, y aver si alguien más se anima a escribir!!

[pepe.campana]

Hola a todos.

1. Cuervo nos dice que la teoría de conjuntos debe servir para que a partir de sus axiomas y de las reglas de inferencia del sistema, podamos demostrar la mayor cantidad de propiedades ya contrastadas en la realidad física. Pero acto seguido nos habla, no sólo de los conjuntos infinitos, sino de los transfinitos. Ahora bien, nada hay en el mundo real (o físico, o empírico), que pueda decirse infinito. Sólo en matemáticas tiene sentido hablar de lo infinito.

2. Cuando hablamos del infinito, no siempre lo hacemos de la misma manera.
Por ejemplo, podemos decir que hay infinitos números primos, en cuyo caso, lo que estamos diciendo es que para cualquier natural n, por grande que éste sea, podemos encontrar un natural p tal que p es primo y p > n.
También podemos decir que el conjunto de todos los naturales y el conjunto de todos los primos tienen el mismo cardinal, en cuyo caso lo que estamos haciendo es comparar el tamaño de un conjunto con el del otro.
En el primer caso hablamos de un infinito potencial (en el sentido aristotélico). En el segundo caso hablamos de un infinito actual (en el sentido platónico o, si se prefiere, cantoriano).
Esta distinción es importante, porque del segundo tipo de infinito no tenemos una noción intuitiva y trabajar con él sin la debida cautela puede conducirnos a contradicciones que nos lleven a la locura.

3. Es por este motivo por el que se hace necesario axiomatizar la teoría de conjuntos.
Ahora bien, esto tiene dos consecuencias. La primera, que la idea de “conjunto” ya no puede sustentarse en noción intuitiva alguna. Un conjunto es de lo que se habla en la teoría de conjuntos, al igual que un “canguingo” es de lo que se habla en la teoría de los canguingos si es que existe tal teoría.
La segunda es resultado del teorema de completitud. Admitiendo que la teoría de conjuntos es consistente, tal teorema nos asegura que hay al menos una interpretación del concepto “conjunto”, pero en tal caso, hay también infinitas interpretaciones distintas. Significa esto que la teoría admite infinitos modelos distintos tales que para cada par de ellos hay una sentencia que es verdadera en el primero y falsa en el segundo.

4. Axiomatizar una teoría significa postular la existencia de una totalidad de entidades, es decir, un dominio de individuos, y admitir como hipótesis que tal totalidad de individuos tiene una estructura determinada, a saber, la que resulta de las relaciones gobernadas por una serie de axiomas preestablecidos.

5. La primera teoría axiomática de conjuntos se debe a Zermelo (1908). En ella, Zermelo postula la existencia de un dominio, B, de objetos abstractos (a los que él llama cosas, Dinge), para el que está definida la relación primitiva de pertenencia. Si para dos objetos cualesquiera del dominio, a y b, es aÎb, se dirá de a que es un elemento del conjunto (Menge) b. De este modo, en el dominio B hay algunas cosas, pero no necesariamente todas ellas, que son conjuntos. Las leyes por las que se rige el sistema se concretan en siete axiomas: (I) axioma de determinación, (II) axioma de los conjuntos elementales, (III) axioma de separación, (IV) axioma del conjunto potencia, (V) axioma de la unión, (VI) axioma de elección, y (VII) axioma del infinito.

6. Destaco aquí el axioma de separación, que dice que si el predicado F(x) está determinado para todos los elementos del conjunto M, entonces M tiene un subconjunto MF que tiene como elementos suyos todos aquellos elementos x de M para los que F(x) es verdadero, y solamente a ellos.
El concepto “estar determinado” (definit) es un concepto básico de la teoría de Zermelo. Se dice que un aserto está determinado si se puede determinar sin ambigüedad su validez o invalidez utilizando tan sólo las relaciones básicas del dominio por medio de los axiomas y las leyes de la lógica. De igual modo, un predicado de la variable x, donde x recorre todos los individuos de una clase dada, está determinado si lo está para todos los individuos x, considerados por separado, de dicha clase.
Mediante este concepto y el axioma de separación, Zermelo corrige el principio de comprehensión que se deriva de la teoría cantoriana de conjuntos, esto es, el principio que asegura que toda propiedad da lugar a un conjunto. En efecto, el axioma de separación lo que nos dice es que cualquier propiedad que esté determinada separa de un conjunto M, que debe estar dado de antemano, un subconjunto, y no permite, en absoluto, la construcción de conjuntos paradójicos cuyos elementos se definan en términos de los conjuntos mismos.

7. Aunque suficiente para los objetivos que persigue cualquier teoría de conjuntos, la teoría de Zermelo, por su carácter conservador, resulta débil en algunos aspectos. En particular, no sirve para asegurar la existencia de conjuntos demasiado grandes. Por ejemplo, el axioma del infinito asegura la existencia en B del conjunto Z que tiene por elementos el 0, el {0}, el {{0}},… (denoto con 0 al conjunto vacío, cuya existencia está garantizada a su vez, por el axioma II). Aplicando el axioma del conjunto potencia se puede construir entonces el conjunto de las partes de Z, P(Z), y a partir de éste, el conjunto de las partes de las partes de Z, P(P(Z)), y así sucesivamente. Sin embargo nada hay en la Teoría que nos permita construir el conjunto unión de todos estos conjuntos.
Fue Fraenkel (1922), quien corrigió esta situación proponiendo la introducción de un nuevo axioma en el sistema, al que llamó axioma de reemplazo. Este axioma viene a decir que si M es un conjunto, entonces el resultado de reemplazar los elementos de M por cualquier individuo del dominio B, es un nuevo conjunto.
Más aún, siguiendo una sugerencia de Skolem (1922), Fraenkel (1925) revisó el concepto de “estar determinado”, modificando consecuentemente el axioma de separación. A partir de entonces ya no era necesario contar con un dominio B de individuos en el que algunas cosas eran conjuntos y otras no, y bastó con considerar un dominio más sencillo, en el que todos sus componentes eran conjuntos.

8. Al sistema axiomático creado por Zermelo y posteriormente revisado por Fraenkel se le conoce como sistema ZF.

9. La forma en que el sistema ZF se protege de las contradicciones consiste en su propio conservadurismo. Utilizando palabras de J. Mosterín (1971), “el sistema de Zermelo viene a decir que todo lo que no está expresamente permitido está prohibido”. En efecto, para evitar contradicciones el sistema ZF limita los métodos que pueden emplearse para la construcción de conjuntos ciñéndose a aquellos que se consideran indispensables para fines matemáticos. De este modo, se excluyen de la teoría las totalidades que pueden biyectarse con el universo completo de los conjuntos.
Esta restricción resulta a veces incómoda, y frente a ella adopta von Neumann una posición crítica que le conduce a revisar el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel (1925, 1928). Propone entonces un nuevo sistema axiomático en el que, respetando los principios del sistema ZF, se da entrada a un nuevo tipo de entidades a las que, a diferencia de los conjuntos, no se les permite ser elementos de conjunto alguno. De esta manera, von Neumann preserva su teoría de contradicciones internas.

10. von Neumann presenta su teoría de conjuntos de una forma que se aleja de la habitualmente utilizada hasta entonces. En efecto, en lugar de hablar de un dominio de conjuntos, habla de un dominio de argumentos (I.Ding) y de un dominio de funciones (II.Ding), que se solapan en un dominio de argumento-funciones (I.II.Ding); postula la existencia de dos argumentos constantes A y B e identifica a los conjuntos con el dominio de determinadas funciones que además no resultan ser meras funciones, sino argumento-funciones. Esta forma de trabajar resulta, desde luego, un tanto artificial.

(sigue)

[pepe.campana]

(continuación)

1. Bernays (1937-1954, 1958), apoyándose en un cálculo restringido de predicados de su propia invención, simplificó y reformuló el sistema de von Neumann en un lenguaje más próximo al habitual. En su sistema, Bernays distingue entre clases, que se aproximan a los II.Dinge de von Neumann, y conjuntos, que se asemejan a los I.Dinge. Las clases y los conjuntos son, así, entidades esencialmente diferentes. A pesar de ello, puede haber clases y conjuntos que tengan los mismos elementos (asemejándose a los I.II.Dinge de von Neumann). Una clase nunca es un conjunto, pero a cada clase “normal” corresponde un conjunto. Por el contrario, a cada clase última no corresponde ningún conjunto.

2. Una última simplificación del sistema se debe a Gödel (1938-1939, 1940), quien identificó las clases normales con los conjuntos correspondientes. Se llega así a una teoría en la que no hay más que clases. Las clases que son elemento de otras clases son los conjuntos y las clases que no son elemento de ninguna otra clase son las clases últimas.

3. Al sistema axiomático creado por von Neumann y posteriormente revisado por Bernays y Gödel, se le conoce como sistema NBG.

4. En el sistema ZF no hay nada que se parezca a un teorema general de existencia de conjuntos. Como ya se ha dicho, son los axiomas los que, bajo determinadas condiciones, permiten construir determinados conjuntos.
En los sistemas NBG, por el contrario, la existencia de clases no se toma como axioma. De hecho, Gödel demuestra inmediatamente después de introducir sus axiomas, el [meta]Teorema general de existencia:
Si j(x1, …, xn) es una fórmula primitiva que no contiene más variables libres que x1, …, xn, (no necesariamente todas ellas) entonces existe una clase A tal que para cualesquiera conjuntos x1, …, xn:
<x1, …, xn> Î A <---> j(x1, …, xn).

5. En este teorema se entiende por fórmula primitiva una fórmula bien construida que contenga únicamente variables, constantes, el símbolo de pertenencia y signos lógicos, y tal que todas sus variables ligadas sean variables de conjuntos. Gödel las define recursivamente. Evidentemente, una fórmula primitiva es una noción metamatemática.

6. Sin embargo, tal como demostró Quine (1940), no es necesario que las variables ligadas, se refieran a conjuntos. En efecto, cabe definir un esquema de formación de clases tal que para toda fórmula j(x) en la que la variable y no esté libre, (Existe y)(Para todo x)(x Î y <---> Cx & j(x))
(Por favor, sustitúyase “Existe” y “Para todo” por los símbolos lógicos tradicionales y léase Cx “x es un conjunto”).

7. Puede construirse un sistema NBG que incorpore el esquema de formación propuesto por Quine con (I) el axioma de extensionalidad, (II) el axioma de formación de clases (comprehensión), (III) el axioma del par, (IV) el axioma de regularidad, (V) el axioma de la gran unión, (VI) el axioma del conjunto vacío, (VII) el axioma de reemplazo, (VIII) el axioma de infinitud, (IX) el axioma de elección y (X) el axioma del conjunto de las partes.

8. Bourbaki afirma en su tratado Éléments de Mathématique (en desarrollo desde 1939), que “todas las teorías matemáticas se pueden considerar una extensión de la teoría general de conjuntos”.

9. Se dice que una clase y es inclusiva precisamente si para cualquier elemento x de y, x es subconjunto de y. Denotamos que y e inclusiva mediante “Incl y”.
Se dice que una relación r conecta la clase y precisamente si para cada par de elementos distintos x, z de y ocurre que x está en la relación r con z, o bien z está en la relación r con x. Denotamos que y está conectada por la relación de pertenencia mediante “E conecta y”.
Se dice que una clase y está ordenada por la relación r precisamente si r es una relación transitiva, asimétrica (e irreflexiva) y r conecta y.
Se dice, así mismo, que una clase y está bien ordenada por r precisamente si r conecta y, y además, todo subconjunto no vacío suyo tiene un mínimo elemento respecto a la relación r.
Se puede demostrar que si r bien ordena y, entonces y está ordenada por r.
Se define el siguiente de la clase x a la unión de x con la clase unitaria de x, es decir, a la clase x’ = x U {x}.

10. De acuerdo con Cantor, dos conjuntos ordenados M y N son similares si entre ellos hay una correspondencia biunívoca que preserva la relación de orden.
Es inmediato comprobar que la relación “ser similar a” es una relación de equivalencia y en consecuencia, todos los conjuntos que son similares entre sí, y sólo ellos, pertenecen a una misma clase de equivalencia. Llamemos tipo a esta clase.
Pues bien, de acuerdo con Cantor, los números ordinales no son otra cosa que los tipos de los conjuntos bien ordenados.

(sigue)