Otras carreras Dinamica y analisis cinematico

[MythicalDragon]

Buenas tardes compañeros,
espero me puedan ayudar con este problema que he intentado hacer,
el problema de manera resumida dice los siguiente:

• Un bloque pequeño de masa m esta inicialmente en la base de una pendiente
  de masa M, angulo \theta y longitud L, como se muestra en la figura. Suponga que todas las superficies son sin friccion y que se aplica una fuerza horizontal de magnitud F al bloque de manera que tanto el, como el plano inclinado se mueven; pero el bloque debe estar siempre sobre la cuña (esto no implica que el bloque no se pueda mover sobre la pendiente).
  
  
  
  a) Muestre que la masa m alcanzara a la parte superior de la pendiente en el tiempo:
  
  b) ¿Que distancia recorre el plano inclinado en el proceso?
  c) ¿ La expresion se reduce al resultado esperado cuando M ≫ m?, explique.

Bueno, he intentado hacer un analisis de fuerzas que actua sobre cada elemento, pero no se de que manera asociar las ecuaciones para hallar el tiempo que tarda la figura en llegar a la parte superior.

Si alguien me podria yudar, estare agradecido.

[Al2000]

Re: Dinamica y analisis cinematico

Algo falta en la expresión. Sin mas condiciones el tiempo no puede ser independiente de F. Apartando eso, la expresión para el tiempo es dimensionalmente inconsistente.

Saludos,

Al

PD. Después de algunas manipulaciones algebráicas para escribir el resultado lo mas parecido a lo que dice el enunciado, mi resultado es

$$t = \sqrt{\frac {2 L \left(1+ \dst \frac m M \,\mathrm {sen}^2 \, \theta \right) }{\dst \frac F m \cos \theta - g \left(1 + \dst \frac m M \right) \mathrm {sen} \, \theta }}$$

[MythicalDragon]

Re: Dinamica y analisis cinematico

Bueno Al,
muchas gracias por tu respuesta, intentare seguir mirando,
pero no se de que manera puedo demostrar esa ecuación a partir de los datos que me dan,
no se me ocurre en que ecuación despejar ni nada,
si alguien mas me podría echar una mano estaré agradecido

[Al2000]

Re: Dinamica y analisis cinematico

...
pero no se de que manera puedo demostrar esa ecuación a partir de los datos que me dan,
...

Estás haciendo caso omiso de lo mas contundente que te dije en mi mensaje anterior. NO puedes demostrar la expresión que te indican porque esa expresión NO es una ecuación físicamente válida. Fíjate que el denominador del radicando no es dimensionalmente consistente.

Para solucionar el problema planteado (llegando a la solución que te escribí antes) lo que tienes que hacer es plantear la segunda ley de Newton para el bloque (2 ecuaciones) y el plano (1 ecuación) y una ecuación de ligadura que relaciona las aceleraciones de ambos cuerpos para cumplir la condición de que estén en contacto.

Si te aclaras con el error de la fórmula en el enunciado no tengo ningún inconveniente en guiarte en el planteamiento de la solución.

Saludos,

Al

[MythicalDragon]

Re: Dinamica y analisis cinematico

Gracias al,
Que extraño, es cierto lo del problema dimensional, se supone que se debe demostrar la ecuación tal cual,
pero bueno eso seria comentar que esta dimensional mente equivocada la ecuación que nos dan,
gracias Al por ese detalle tan vital,
mira no se si están bien las ecuaciones que se necesitan:
Para el bloque:
1)

$$\sum_x Fx=m*ax \to F-N*sen(\theta ) = m*ax$$

2)

$$\sum_y Fy=m*ay \to N*cos(\theta ) = m*ay$$

y para la cuña grande:
1)

$$\sum_x Fx=M*ax \to N*sen(\theta )=Max$$

La de ligadura no me han explicado bien como sacarla,
si me podrias ayudar a desarrollar lo restante,
te estare eternamente agradecido

[Al2000]

Re: Dinamica y analisis cinematico

...
Para el bloque:
1)

$$\sum_x Fx=m*ax \to F-N*sen(\theta ) = m*ax$$

2)

$$\sum_y Fy=m*ay \to N*cos(\theta ) = m*ay$$

y para la cuña grande:
1)

$$\sum_x Fx=M*ax \to N*sen(\theta )=Max$$

...

Están casi bien Tienes que distinguir entre la aceleración del bloque y la aceleración de la cuña. La primera ecuación está bién, le hago un retoque cosmético para diferenciar las aceleraciones:

$$F - N \, \mathrm {sen} \, \theta = m a_{bx}$$

En la segunda ecuación olvidaste el peso del bloque:

$$N \cos \theta - m g = m a_{by}$$

La tercera esta bien. Retoque cosmético:

$$N \, \mathrm {sen} \, \theta = M a_{c}$$

Hay una ecuación que no te interesa para resolver el problema (cuña, dirección Y). La voy a poner para tener el set completo:

$$N_s - N \cos \theta - Mg = 0$$

siendo $N_s$ la reacción del suelo. Contando solamente las ecuaciones (4)-(6), tienes cuatro incógnitas. Te hace falta otra ecuación para poder resolver el sistema.

La ecuación faltante sale de la observación que las aceleraciones de los dos cuerpos no son independientes, porque existe la condición de que se mantengan en contacto. Partiendo de la suposición de que el bloque sube por la cuña (ya veremos qué condición se debe cumplir), la rapidez con la cual se mueve el bloque debe ser mayor que la de la cuña, pues la adelanta en la medida que sube.

Si la cuña se desplaza una distancia $x_c$, el bloque se tiene que desplazar una distancia $x_b = x_c + y_b \cot \theta$ para mantener el contacto. Derivando dos veces respecto al tiempo, obtienes la ecuación faltante:

$$a_{bx} = a_c + a_{by} \cot \theta$$

Resuelve el sistema de ecuaciones (4)-(6), (8) buscando $a_{by}$ y usa el resultado para calcular el tiempo necesario para subir la cuña:

$$\frac 1 2 a_{by} t^2 = L \, \mathrm {sen} \, \theta$$

y deberás llegar a la expresión que escribí en mi primera respuesta.

La pregunta b) ni la miré, pero tienes ahora la aceleración y el tiempo... diviértete.

La parte c) si la hice porque me interesaba ver si lo que estaba calculando tenía sentido. Si tu haces $M \to \infty$ en el expresión del tiempo (la mía, no la del enunciado), te queda

$$t = \sqrt{\frac {2 L }{\dst \frac F m \cos \theta - g \, \mathrm {sen} \, \theta }}$$

que es precisamente el tiempo necesario para recorrer una distancia $L$ con aceleración igual a la componente de la aceleración del bloque paralela a la superficie inclinada (partiendo del reposo, claro).

Hay un puntico interesante que el problema no pregunta. La ecuación obtenida para el tiempo de subida muestra que

$$\frac F m \cos \theta - g \left(1 + \dst \frac m M \right) \mathrm {sen} \, \theta > 0$$

para que la raiz tenga un valor real. De allí se obtiene que la fuerza aplicada debe cumplir que

$$F > m g \left(1 + \frac m M \right) \tan \theta$$

o si no el bloque no subirá.

Saludos,

Al

[MythicalDragon]

Re: Dinamica y analisis cinematico

Si la cuña se desplaza una distancia $x_c$, el bloque se tiene que desplazar una distancia $x_b = x_c + y_b \cot \theta$ para mantener el contacto. Derivando dos veces respecto al tiempo, obtienes la ecuación faltante:

$$a_{bx} = a_c + a_{by} \cot \theta$$

Al

Oh, que duro eres en serio, te agradezco en sobremanera amigo,
realmente me has ayudado,
solo que me quedan unas dudas respecto a lo que cito, como sacaste esa relacion de la distancia del bloque con la de la cuña, de donde sacaste el cotangente y eso, porque asumo que debe ser algo relacionado con ligadura y me gustaria saber para ejercicios posteriores como sacarlo asi como tu, jeje, y la pregunta c) que quiere decir realmente, no entiendo eso de que si la expresion se reduce al resultado esperado cuando M ≫ m, cual expresion, ??, xD,
si me podrias ayudar con esas bobadas te agradeceria de nuevo, ya tanto que me has ayudado me da es como pena, jeje,
gracias al!!

[Al2000]

Re: Dinamica y analisis cinematico

...
solo que me quedan unas dudas respecto a lo que cito, como sacaste esa relacion de la distancia del bloque con la de la cuña, de donde sacaste el cotangente y eso, porque asumo que debe ser algo relacionado con ligadura y me gustaria saber para ejercicios posteriores como sacarlo asi como tu, jeje, y la pregunta c) que quiere decir realmente, no entiendo eso de que si la expresion se reduce al resultado esperado cuando M ≫ m, cual expresion, ??, xD,
...

Mira, no hagas mucho caso cuando hablo de ligadura. Me imagino que todos tenemos nuestras fallas en nuestra educación básica y yo reconozco que nunca me he sentido cómodo con el movimiento relativo, no a un nivel conceptual sino operativo. La culpa por supuesto es absolutamente mía y no de los estupendos profesores que tuve.

Aquí el asunto es que tienes dos cuerpos que se mueven con movimientos que no son independientes, pues se exige que se mantengan en contacto durante el proceso. El mismo dibujo que acompaña el enunciado ilustra la situación. Lo aprovecho para explicarme con mas claridad, por aquello de que una imagen vale mas que mil palabras:



En azul he señalado el desplazamiento del bloque respecto al observador inercial; en rojo el desplazamiento de la cuña y en magenta el desplazamiento del bloque respecto de un observador solidario con la cuña. Allí puedes ver la relación de los desplazamientos, en particular de la ecuación $x_b = x_c + y_b \cot \theta$. Supongo que si me sintiese mas cómodo con el movimiento relativo simplemente te hubiese dicho que la aceleración del bloque respecto a la cuña, $\dst \boldsymbol a_{b/c}$, debe yacer a lo largo del plano inclinado. Bueno, espero que esto te aclare esa duda.

El otro chequeo por el cual preguntas es considerar el caso extremo en el cual la cuña es mucho mas masiva que el bloque, que fue lo que hice al tomar que $M \to \infty$. Pude haber dicho también que $\dst \frac m M \to 0$, lo que sería completamente equivalente. En ese caso el problema se convierte en el problema común de mover un cuerpo en un plano inclinado fijo. El tiempo resultante debe corresponder (y de hecho corresponde) al tiempo calculado de esa manera.

Saludos,

Al

[MythicalDragon]

Re: Dinamica y analisis cinematico

Bueno Al, eso es todo, estoy agradecido completamente contigo,
apenas termine los demás puntos los pongo para dar por terminado el problema,
gracias Al de nuevo

[MythicalDragon]

Re: Dinamica y analisis cinematico

No, me quedo grande resolver el sistema de ecuaciones, quedo en un punto:
${A}_{by }=\frac{\frac{F}{M }-({A}_{by }+g)*(\frac{1}{\cos \theta }+\frac{m}{M*\cos \theta } )*\sin \theta }{cot \theta }$
Al si me puedes ayudar porfa, mi correo es xxxxxxxxxxx
por favor Al te necesito urgente, o alguien que me quiera ayudar,
gracias!!!!

[Al2000]

Re: Dinamica y analisis cinematico

Ejemmm, me temo que le estás ladrando al árbol equivocado. Yo simplemente planteé las ecuaciones y se las di al computador. Bastante trabajo fue llevar la expresión del desastre que me dió el computador a la forma pasteurizada final. Bueno, lo que me pides es pura álgebra y yo estimo que tu la debes poder hacer. Como yo uso la herramienta que es el computador y me permite hacer copy & paste con facilidad para manipular las expresiones, yo lo que haría es sustituir el valor de $a_{bx}$ de la ecuación (8) en la ecuación (4) y ya tendría solo tres ecuaciones con tres incógnitas. Luego despejaría el valor de $a_c$ de la ecuación (6) y lo sustituiría en la nueva ecuación (4), quedándome un sistema de dos por dos. Finalmente eliminaría la normal y me agarraría a piña (golpes) con la expresión resultante para llevarla a una forma decente. Tienes la ventaja de saber lo que tiene que resultar al final, ¿cierto?

Saludos,

Al

PD. Según mi computador, la expresión que pusiste no es correcta (no se anula al despejar $a_{by}$ y restar el valor correcto).

[lindtaylor]

Re: Dinamica y analisis cinematico

Se podria resolver este problema con energias?

Se me ocurre hacer algo muy loko o muy tonto , talvez las ecuaciones que planteo estan incorrectas o falta algun termino, creo que incluso el signo de la integral podria estar incorrecto, tambien deberia relacionar $r_1$ con $r_2$ con el angulo supongo, pero para empezar quiero que vean la idea.



Sean $x'$ $= r_{1|2}$: posicion con respecto al sistema $S'$ el cual se mueve con la cuña.
$\displaystyle r_1$: posicion de m con respecto al sistema $S$
$\displaystyle r_2$: posicion de M con respecto al sistema $S$






$\displaystyle E=\frac{m\dot x'^2}{2}-\int_0^{x'} \vec F \cdot \mathrm{d}\vec x$



[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y con esas ecuaciones las derivaria y despues manipulando la regla de la cadena podria despejar a un lado el tiempo y en un lado me deberia quedar una integral dependiendo de $x$ o $r$ etc, e integrar desde la posicion mas baja de la cuña hasta la mas alta y asi obtener el tiempo total que se demora en subir.
PD: Situe el potencial gravitatorio $U_0=0$ en direccion del eje $x$ del sistema.