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Hilo: Sumatoria de números con exponente X

  1. #16
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    Los coeficientes son las constantes que definen cada polinomio.
    Por ejemplo, el polinomio $f(x)=x^3$ , su coeficiente es 1 , y $x^3$ no es lo mismo que $2x^3$ o $5x^3$.

    Expresando de forma general este polinomio de grado tres:
      
f(x)=a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+a_3x^3
    Si $f(x)=x^3 \Rightarrow a_0=a_1=a_2=0 ; a_3=1$

    ¿Has intentado calcular \displaystyle \sum_{i=1}^n n^2 o \displaystyle \sum_{i=1}^n n ? Éstos son mucho más sencillos.

    Si no te ha quedado muy claro, puedes echar un vistazo a la wikipedia. http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio

  2. #17
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    Hace años calculé la sumatoria lineal, el año pasado calculé la sumatoria de cuadrados, cubos, y potencias de 4, y podría haber seguido si no me hubiese surgido esa maña por querer generalizar las sumatorias para cualquier exponente.

    Ya logré una expresión bastante fea en donde para calcular la siguiente sumatoria, debo recurrir a todas las fórmulas anteriores y a los coeficientes del triángulo de Pascal.

    Pero mi problema es ese, si quiero saber la fórmula para una sumatoria de potencias de 7, debo primero tener la fórmula de la sumatoria lineal la cuadrática, la cúbica, hasta la sumatoria de potencias de 6.

    Ahora mismo analizaré tu método.

    EDITO:

    No entendí algo, ¿por qué F(n) es un polinomio de un grado mayor que f(n)?.
    Última edición por _FoX_; 27/06/2008 a las 21:47:38.

  3. #18
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    Podrías poner tu expresión para compartir opiniones.

    Incluso podríamos intentar demostrarlo geométricamente, o al menos eso era lo que quería conseguir, aunque la frase "querer es poder" no funcionaba mucho en estas cosas.
    Para la sumatoria lineal la solución podría interpretarse como la mitad de un rectángulo de lados n*(n+1) (una superficie)
    La sumatoria de cuadrados ya empieza a complicarse y, a duras penas, sería como la tercera parte de un ortoedro (casi un cubo, vamos) de lados n*(n+0.5)*(n+1) (un volumen)
    Y ahora era cuando me empezaba a emocionar con la sumatoria de cubos que, según la solución, se trataría de la cuarta parte de una especie de cuerpo tetradimensional de lados n*n*(n+1)*(n+1)

  4. #19
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    F(n) es un grado mayor que f(n) por el teorema fundamental del cálculo. Puedes echarle un vistazo a esta página teorema.
    Las integrales se diferencian de los sumatorios en que las rebanadas de integración (dx) no son infinitesimales, son unidades.

  5. #20
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    Ok, pondré mi respuesta, pero es lo único que conseguí, con mi bajo nivel en matemáticas, ya que solo tengo 17 años.

    Veamos:

    Tras un procedimiento algo raro, que quizás conoscas llegué primero a:

    (n+1)^2 = 2 \displaystyle \sum_{i=1}^n i + n + 1

    luego deduje que podía aplicar lo mismo para la siguiente:

    (n+1)^3 = 3 \displaystyle\sum_{i=1}^n i^2 + 3 \displaystyle\sum_{i=1}^n i + n + 1

    (n+1)^4 = \displaystyle{4 \choose 3} \displaystyle \sum_{i=1}^n i^3 + {4 \choose 2} \displaystyle...

    por lo tanto:

    (n+1)^{x+1} = \displaystyle {x+1 \choose x} \displaystyle \sum_{i=1}^n i^x + {x+1 \choose x-1} \d...

    Dejando a un lado \displaystyle{x+1 \choose x}\displaystyle\sum_{i=1}^n i^x expresamos en forma de sumatoria:

    (n+1)^{x+1} = 1 + \displaystyle{x+1 \choose x}\displaystyle\sum_{i=1}^n i^x + \displaystyle\sum_{...

    Luego despejando \displaystyle\sum_{i=1}^n i^x tenemos:

    \displaystyle{x+1 \choose x}\displaystyle\sum_{i=1}^n i^x =  (n+1)^{x+1} - 1 - \displaystyle\sum_...

    Lo dije, es bastante fea y no sirve, ya que necesito todas las fórmulas de las sumatorias anteriores . Pero es el único método al que llegué para resolverlo.

    Creo que puedo reducir aun más la expresión trabajando con (n+1)^{x+1} usando el binomio de newton para expresar como sumatoria, además los coeficientes que obtendría serían los mismos que los coeficientes de cada sumatoria, espero llegar a una fórmula un poco más pequeña siguiendo esa idea .

    EDITO:

    Para obtener la sumatoria lineal, usé capas de cuadrados, para la sumatoria de cuadrados usé capas de cubos y para la de cubos usé capas de teseracs (un hipercubo de 4 dimensiones) xD.

    EDITO 2:

    De una forma más bonita tenemos:

    \displaystyle{x+1 \choose x}\displaystyle\sum_{i=1}^n i^x = \displaystyle\sum_{k=1}^{x+1} {x+1 \c...
    Última edición por _FoX_; 29/06/2008 a las 04:20:40.

  6. #21
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    Fox, me parece una fórmula brillante, me ha impresionado. A mi no me parece tan fea, al contrario, aunque si es cierto que a la hora de calcular te salen unos churros matemáticos de aquí te espero.
    Esto sucede con los sumatorios con grados elevados. De la otra forma para calcular los sumatorios que te comenté también me sucede lo mismo, pero tengo que reconocer que me gusta más tu fórmula
    Lo he estado probando con \displaystyle \sum_{i=1}^n n^3 y con \displaystyle \sum_{i=1}^n n^4 y hallo la solución perfectamente.
    \displaystyle \sum_{i=1}^n n^6 se me resiste. Supongo que me habré confundido con tanto número. Lo volveré a intentar

  7. #22
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    Yo solo he sacado hasta \displaystyle \sum_{i=1}^n i^4, me he equivocado mil veces, hasta es más, la primera vez que llegué a una igualdad para describir mi procedimiento para sacar cada sumatoria, pensaba que mi fórmula no servía, ya que la probaba y me daba anomalías, como que 17 es igual a 216 o cosas así, pero al final me di cuenta que estaba buena, haciendola con muuuucha paciencia para no equivocarme :P.

    Espero entender tu fórmula, para así tener un método más bonito y más rápido para llegar a cada una de las sumatorias.

    Gracias!!

  8. El siguiente usuario da las gracias a _FoX_ por este mensaje tan útil:

    Jordiel (29/06/2008)

  9. #23
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    Thumbs up Re: Sumatoria de números con exponente X

    Hola Fox_ te saluda Ing. Nórdison, veo que has progresado un poquito mas, en el conocimiento de sumatorias, quiero que estes pendiente porque te escribire muy pronto para resolver un problema interesante, porque como sabras siempre se dice que la sumatoria siempre debe "ser" de numeros naturales "exclusivamente", eso no es una "verdad absoluta", pues piensa en esto, ¿quien te obliga a no sumar, por ejemplo así? 1+1,1+1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,7+1,8+1,9+2+2,1+2,2+2,3+.....

    Creo que esta claro la serie sencilla que te propongo, y bien como siempre jejej!!! tu pregunta, ¿Cual es la formula de dicha serie?....

    No olvides que en mi exposicion solo hemos tocado series divergentes, esta por supuesto que es una serie divergenete!!!

    No te olvides que siempre te he manifestado sobre las series de Fourier para contestar a muchas muchisimas series convergentes, pero para no amargarte la existencia, y en especial en este foro, solo trataré con las divergentes!!!!

    Saludos!!!

  10. #24
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    Smile Re: Sumatoria de números con exponente X

    como dije fox sos un genio que bien te felicito por la formula ta buenisima

  11. #25
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    Thumbs up Re: Sumatoria de números con exponente X

    Hola Saludos a todos los del Foro... Bien en mi articulo anterior propuse el hallar la formula exacta de la serie 1+1,1+1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,7+1,8+1,9+2+2,1+2,2+2,3+...y asi sucesivamente de donde queda claramente establecido que el incremento numerico es un delta=0.1

    Ahora bien Fox_ pregunta en el foro sobre una formula general de sumatoria que satisfaga la igualdad ∑ x^n, ahora bien para que sea una formula general (n) debe pertenecer no solo al conjunto de los numeros naturales, al igual que su contraparte (x),(como base exponecial) sino que ambos en el lenguaje matematico debe GARANTIZAR que la serie a representar sea DIVERGENTE, esto creo que lo he explicado hasta la saciedad!!!... Mi insistencia se debe a quedebemos y tenemos que verificar que una serie sea divergente o convergente....

    La formula que propone Fox_, para satisfacer ∑ x^n...... vuelvo a repetirlo debe ser DIVERGENTE...

    Ahoara bien si satisface la incondicional manera de ser divergente, eso quie decir que la formula que satisface tal igualdad, NO PUEDE ESTAR AMARRADA O ENCADENADA a unicamente satisfacer al conjunto de los numeros NATURALES, como se puede leer en cualquier libro d matemáticas, es por eso que hace un tiempo atrás rete a todo el foro y a todo el mundo de las matemáticas que hallaran la formula de la sumatoria, la cual respondi muy por cierto:

    ∑ x^(pi), de donde pi=3,1415926....

    Y como lo demostré (en la primera parte de este Foro)

    Hoy respondere a la Pregunta "elemental" si puede el exponente (n) de la igualdad de sumatoria ∑ x^n ser un numero real , entiendase por numero real como todo el conjunto numerico, tal que satisfaga el hecho de que ∑ x^n =DIVERGENTE, y para ello el conjunto de los numeros reales debe ser el eje real positivo, en matematicas se escribe así :
    R+ (Y se en tiende que es la parte de los numeros positivos de la recta real)


    Entonces no debe ser descabellado que este mismo conjunto numerico debe satisfacer a (x), como base exponecial de la formula general ∑ x^n... propuesta en el foro

    Bien comencemos con el procedimiento!!!

    Recordando la formula general que expongo en mi libro "Mi tratado de sumatoria"

    ∑x^n=R0*∫ x^n.dx + R(i+1)* ∑d^i (x^n)/dx^i

    Siendola sumatoria del miembro derecho, la suma de las respectivas derivadas de la funcion de sumatoria, multiplicada por factores R, dichos factores los obtendremos por matrices, tal como explique antes, y dicha suma parte desde i=0 hasta un valor infinito de terminos (k)

    Para el caso nuestro, de la serie que voy a resolver notamos que sumaremos con un exponente n=1... creo que eso ni debe de explicarse al ver la serie al cual pido una formula, esto es la serie:

    1+1,1+1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,7+1,8+1,9+2+2,1+2,2+2,3+...

    Si n=1 entonces:

    ∑x^1=R0*∫ x^1.dx + R1*x + R2

    Cuando resolvemos la integral "trivial" podemos afirmar de manera GENERAL que:

    ∑x^1=R0* x^2 / 2 + R1*x + R2

    Ahora bien fijense en algo si esta es una igualda GENERAL, para n=1, quiere decir que podemos satisfacer la serie propuesta... cosa que DUDO que otras formulas expuestas en el FORO SATISFAGAN LA SERIE QUE PROPONGO, eso incluye la formula de Fox_ Y TODAS LAS QUE HE TENIDO OPORTUNIDAD DE LEER!!! Lo que quiero decir con simples palabras es que si se pide una formula general para ∑x^n, NINGUNA EN ESTE FORO SATISFACE LAS EXIGENCIAS DE Fox_, Y DEL RIGOR MATEMÁTICO QUE SE EXIGE!!! EXCEPTO POR MI PROPUESTA O FORMULACION!!! Se que esto suena un poco petulante de mi parte, pero antes de recibir muchas criticas!!! solo les advierto, que para ello tarde mas de 10 años de mi vida investigando sobre el particular!!!! DE MANERA QUE QUEDAN ADVERTIDOS LOS CRITICOS DE OFICIO QUE ESTO NO ES MATERIA TRIVIAL!!!! JAJAJAJAAJA!!!! ME IMAGINO QUE QUEDARIAN ALUCINANDO SI EXPUSIERA LA FORMULA EN EL ESPACIO N-DIMENSIONAL...
    TAL VEZ NOS MANDEN AL`PSIQUIATRICO!!! POR LO ESPECTACULAR DE MI PROPUESTA COMO LEY UNIVERSAL DE SUMATORIAS DIVERGENTES!!!... CUANDO HAYA OPRTUNIDAD CONVERSAREMOS SOBRE LAS CONVERGENTES!!!, SIENDO ESTE UN TEMA TRINCA!!

    Ocupandonos de los que nos corresponde, debemos formar como antes explique que para un numero (j) de factores R, debemos formar un numero (j) de ecuaciones, con lo que daremos respuesta no solo el de los factores de reduccion, sino que con ellos la formula tan anhelada, para la serie en particular!!! así pues:

    Cuando x=1, tendremos como ecuación:

    ∑x^1=1^1=1=R0* 1 / 2 + R1*1+ R2

    Cuando x=1,1 tendremos como ecuación:

    ∑x^1=1^1+1,1^1=2,1=R0*1,1^2/2 +R1*1,1+R2

    Y por último cunado x=1,2

    ∑x^1=1^1+1,1^1+1,2^1=3,3=R0*1,2^2/2+R1*1,2+R2

    Dando solución al sistema matricial, que hemos formado tendremos:

    R0=10 ; R1=0,5 y R2=-4,5. Sustituyendo estos valoes en la ecuación GENERAL... vermos que, para la serie dada su formula es según el intervalo [1,n] satisfaciendo la misma el incremento delta=0,1, como se dijo antes, así pues la formula es

    ∑x=5*n^2 +0,5*n-4,5

    Verifiquemos la validez de dicha propuesta, sumemos lo siguientes terminos, Fraccionadamente, para verificar la validez de nuestra formula:

    1+1,1+1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,7+1,8+1,9+2+2,1+2,2+2,3+...

    Sumemos desde 1 hasta 1,4, es decir: 1+1.1+1.2+1.3+1.4=6

    Veamos que ocurre con la formula:

    5*1,4^2+0,5*1,4-4,5=6 !!! tal como se cabia esperar!!!

    veamos si sumamos desde 1 hasta 2, es decir :
    1+1,1+1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,7+1,8+1,9+2=16,5

    Que ocurre con nuestra formula, veamos:

    5*2^2+0,5*2-4,5=16,5 ufff!!! increible verdad!!!

    Ahora se imaginan ustedes el sumar desde 1 hasta 100!!!???? para que quede mas gráfico:

    1+1,1+1,2+1,3+1,4+1,5+1,6+1,7+1,8+1,9+2+2,1+2,2+2,3+...100

    La formula nos da la respuesta!!!

    5*100^2+0,5*100-4,5= 50045,5 !!!!

    A partir de estos resultados positivos, podemos entonces proponer problemas de envergadura, imaginese ahora el obtener la formula para una serie particular como esta!!:
    1,101+1,102+1,103+1,104+1,105+1,106+1,107+1,108+1,109+1,11+1,111+1,112y así
    en lo sucesivo

    O esta otra serie:

    1+1,111+1,112+1,113+1,114+1,115+1,116+1,117+1,118+1,119+1,12+1,121+1,122+... y así

    O podemos complicar nuestra existencia si nos prguntaramos y cual será la formula de desta serie:

    1,101^(pi)+1,102^(pi)+1,103^(pi)+1,104^(pi)+1,105^(pi)+.... y así!!!

    Podran las formulas expuestas, las que no obedecen a la ley de sumatorias que he explicado dar respuesta satisfactoria a este tipo de series triviales????

    La Respuesta creo que luce muy obvia!!! un rotundo NOOOOOOO!!!!!!!!!

  12. #26
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    Hola. Me encanta el entusiasmo que pones porque es contagioso . Uno de los problemas que planteas se podría resolver por otro camino, parecido al que propones y que ya indiqué en otro post. Conociendo la función que rige la serie del problema ya es suficiente.
    1+1,1+1,2+1,3+...=\sum 0,9+0,1n

    \sum 0,9+0,1n=\sum[0,9+0,1(n-1)] + 0,9+0,1n

    Como la función es de primer grado la suma será una ecuación de segundo grado:
    \sum 0,9+0,1n=an^2 + bn

    an^2 + bn= a(n-1)^2 + b(n-1) + 0,9+0,1n=an^2 + (b-2a+0,1)n +a-b+0,9

    Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo:

    $\sum_{i=1}^n 0,9+0,1i = 0,05i^2 + 0,95i$

    Rapidamente para:
    [ERROR de LaTeX: Imagen demasiado grande 618x20, máx 600x550]

    La suma con exponente no natural ya se me escapa de las manos.

    Pasando a las sumas convergentes te propongo un problema. ¿Se puede encontrar una expresión simple que equivalga a $\sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^3}$? Me refiero a una expresión del estilo que obtuvo Euler con el problema de Basilea que ya mencionaste hace tiempo.

    Un saludo

  13. #27
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    HolA Jordiel!!! es un placer que me hayas escrito, puedo asimilar bien tu concepto!!! debo decir que ciertamente es brillante!!!, pero quiero que observes bien minuciosamente la propuesta de Fox_ por encontrar la ecuacón general de toda sumatoria del tipo ∑x^ n...

    Como puedes ver la ecuacion que escribi, esto es:

    ∑x^n=R0*∫ x^n.dx + R(i+1)* ∑d^i (x^n)/dx^i

    Es la única ecuación (No porque yo la haya escrito) que satisface la demanda rigurosa en la pregunta que se hizo Fox_ hace tiempo atrás. La verdad que nunca pense, mientras yo investigaba que alguien en INTERNET, propusiera un problema al cual particularmente yo estaba culminando en investigacion!!! ya 3 años atrás!!! es decir en el 2005!!! pero las investigaciones continuaron gracias a Dios!!! por otros 3 largos años más!!! hasta dar con el fruto de mi trabajo de investigacion sobre series!!! al cual titulo "Mi tratado de sumatoria"... En el trato con problemas del tipo convergente!!! Aun considero que no he terminado pues para que sepas he estado investigando funciones de raices multiples!!!

    Estas funciones de multiples raices!!! (Hago un parentesis aqui para beneficio del Foro)... Entenderemos por raices de una función (en el plano bidimensional o dos dimensiones) cuando existe un punto (x) tal que la ordenada (y) es nula o igual a cero!!!

    Un ejemplo rapido

    Suponganse la funcion de la parabola y=x^2-2*x+1 ....Es evidente decir que cuando x=1 y cuando x=-1 y=0 y en consecuencia son las raices de dicha funcion f(x)=y


    La importancia de mi estudio radica en el hecho de que no aparecen unas aproximaciones, digamos aceptables para el postulado fundamental de toda sumatoria que expongo en mi trabajo!!!... Lo cierto del caso es que dicho postulado fundamental satisface para series convergentes que cumplen con el criterio de CAUCHY!!! El criterio de CAUCHY afirma que toda funcion que sea DECRECIENTE, POSITIVA Y CONTINUA entonces tanto la integral de la funcion como la sumatoria de dicha funcion CONVERGE!!!!...En mi trabajo presento resultados mas que fehacientes para obtener resultados aproximados, que cumplen con dicha propuesta de CAUCHY... Pero en cuanto a funciones de raices mútilples, te pongo como ejemplo rapido f(x)=Seno(2*x)/x....... Se obtiene una dispersion de datos muy grande, segun mi propuesta!!!!... hasta ahora sigue siendo un misterio en mi investigacion!!!

    Tambien existe el criterio de CAUCHY para funciones divergentes el cual afirma: toda funcion que sea CRECIENTE, POSITIVA Y CONTINUA entonces tanto la integral como la sumatoria de dicha funcion DIVERGE!!! En este foro este ha sido el centro de la discucion!!!! y como puedes ver gracais a CAUCHY se establece claramente la existencia de dos tipos de series fundamentales!!!! el que trata este foro es DIVERGENTE!!!! De alli siempre mi INSISTENCIA!!!

    Ahora bien somos seres inteligentes!!!! y sabemos tambien que existen series que no son ni CONVERGENTES 100% ni DIVERGENTES en un 100%... Un ejemplo rápido es el siguiente, en el intervalo [1,+infinito), y evaluada en radianes!!!:

    ∑Seno(x)... esta serie le amarga la vida a cualquiera hallar una formula que nos de por lo menos una aproximaion cuantitativa y de signo de dicho resultado nos convertiria en un genio!!!! jaajjajajaajajaj!!!! estas series tal como ∑Coseno(x) son las denominadas Series EStocásticas o series de Azar!!!! Ellas puedan que converjan numericamente en un intervalo [a,b] ya acotado y quien sabe cuantas piruetas matemáticas adicionales habria que hacer!!!! para asegurar una formula para este tipo de funciones estocasticas o de incertidumbre!!! Una vez más insto a todo el Foro que la materia aquí tratada es de naturaleza compleja!!!

    Voy a Proponer un ejemplo rápido aunque complejo para los que no posean un nivel matemático ciertamente elevado!!!! cuando me refiero a elevado estoy sugiriendo que sepan Cálculo... Las partes fundamentales del calculo son los Límites, dentro del mundo de los limites encontramos igualdades importantes que sustentan muchisimas explicaciones más complicadas, un ejemplo de esto rápido!!!!

    Lim cuando x tiende a cero de la funcion Seno(x)/x =1 jajajajajaja!!!! ven lo complicado!!!

    Ademas si alguna vez se preguntaron de donde rayos aparece el numero de Euler (pronunciese Oiler) pues este numero e=2,718281... obedece al limite siguiente:

    Lim cuando x tiende a infinito de la funcion (1+(k)/x)^(x)= e^k y cuando k=1 es obvio que el numero de Euler se hace presente!!! la igualdad anterior es general!!!

    Ahora bien en Cálculo Hallamos la más fantasticas de todas las formulas de Limites concebidas por la mente humana!!!! gracias a esta formula, el hombre puede cuantificar la velocidad de los objetos que se desplazan en una determinada trayectoria, la ganancia minima o máxima de una determinada inversion economica, el indice de crecimiento de un organismo en biología (epidemias o microbios) y blablablabla....uffff!!! son tantas la aplicaciones... Esta Formula es la de la tangente en un punto (p) de una curva, dicha formula es:

    El Límite cuando deltax tiende a cero de la funcion (lease efe prima de x, o simplemente derivada de la funcion f(x), respecto a x) :

    f'(x)=[f(x+deltax) -f(x)]/deltax =dy/dx

    Bien esto es un ligero repaso!!!!


    Pero el Cáculo es mucho más extenso, y encontraremos una extension superior cuando estudiamos INTEGRALES!!!! ¿QUE ES UNA INTEGRAL? jajajajaja!!!! El mejor concepto que se puede tener, es que la integral no esmás que un proceso inverso de funciones, el cual al derivar dicha funcion (una vez integrada claro, y de paso si es que se puede integrar!!!) debemos obtener la funcion original!!! que dio inicio al proceso de integración!!!!

    Fijense que es muy diferente el definir ¿QUE ES UNA INTEGRAL DEFINIDA?... solo le digo que la mejor definicion de este concepto lo establecio RIEMANN... ES decir no es mas que una sumatoria RIEMANNIANA!!!!! Y cumple con el teorema fundamental del Cálculo!!! (Revisense los libros para una mejor y mas profunda interpretación!!!)

    Bien llegado a este punto para no extenderme más y hacer aburrido este monologo!!! jaajajaj...

    vemos que Integrales y sumatorias deben de estar concatenados!!! Fijense a grosso modo de donde parte mi formula!!! (Es decir no es una propuesta accidental, ni mucho menos a una descabellada ocurrencia de mi persona!!!)

    Bajo este principio tenemos que resolver el enigma, de esta funcion que si bien es DIVERGENTE!!! es de por si desafiante, veamos:

    Que Ocurre cuando n=-1 en La formula propuesta en este Foro, en el intervalo [1,+infinito)?


    ∑x^-1=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10+1/11+1/12+....

    Podemos hallar acaso una formula por los metodos expuestos en este Foro y los que nos enseñan en los libros de texto comunes!!!??? la respuesta es obvia NOOOOOO!!!! entonces cual es la formula!!!??

    Escribamos la formula GENERAL que ya debemos conocer en este FORO:


    ∑x^n=R0*∫ x^n.dx + R(i+1)* ∑d^i (x^n)/dx^i

    Observemos que la formula de la sumatoria DIVERGENTE establece claramente como primer término en el miembro derecho una integral!!!! jajajaajajaj..... es necesario esto como pueden apreciar, segun el principio RIEMANNIANO!!!! ...El segundo Termino diestro no esmas que la sumatoria desde i=0 hasta el infinito, el facto R(1+i), no son más que terminos constantes con sub-indices, que mulriplican cada termino de la sumatoia!!! al igual que el factor R0 el cual a saber es constante!!!! igual que los R(1+i)... Bien quiero hacer un parentesis importante aquí!!!

    (Cuando estudiamos más y más y más cálculo, llegamos de manera indiscutible a trabajar con las denominadas ECUACIONES DIFERENCIALES, esta parte del calculo se le denomina CALCULO DEFERENCIAL... Que es la Sumatoria DIVERGENTE EN EL ESPACIO BIDIMENSIONAL???... veamos la respuesta que doy en mi trabajo cientifico, si llamamos

    Q(x)=∑x^n-R0*∫ x^n.dx Entonces en el miembro derecho nos queda la igualdad ESPECTACULAR siguiente!!!!:

    Q(x)=R1*y+R2*y'+R3*y''+R4*y'''+.....

    Es decir una ecuacion diferencial de orden enesimo con coeficientes constantes!!!!!...... Esto lo pueden revisar los interesados en el tema!!!..... Y esta es la definicion más espectacular que alguna vez alguien haya planteado en el terreno de las series o sumatorias!!!! de alli la importancia de mi publicación "Mi tratado de Sumatoria"....

    Tal es así el impacto de esto que se pueden aproximar ecuaciones diferenciales, de aplicaciones reales, como en un circuito electrico, como la ley de enfriamiento de NEwton... etc,etc,etc. Siempre y cuando el comportamiento de la funcion primitiva que da origen a dicha ecuacion diferencial tenga un comportamiento como el predicho por CAUCHY!!!!...Como pueden ver la cosa no es nada fácil!!!)


    Culminado este parentesis, notaremos que con conocimientos de limites de las funciones, y de integrales, la respuesta de nuesta serie la obtendremos en breve!!!, veamos si desarrollamos la FORMULA DE NORDISON; esta quedaria así:

    ∑x^-1=R0*∫ x^-1.dx +R1*x^-1-R2*x^-2-R3*(2*x^-3)+....

    La integral de x^-1= Ln(x) (Lease el Logaritmo neperiano de equis)

    Ahora bien el resto de los terminos es tanto la funcion en si!!! esto es x^-1 como sus derivadas pero debemos saber que cuando el limite de x de la funcion 1/x tiende a infinito dicha funcion tiende a cero!!!

    Esto quiere decir que la respuesta de dicha ecuacion es:

    ∑x^-1=R0*Ln(x)

    Ahora bien R0 es una constante!!! si colocamos esta expresion en el ordenador, PC o computador!!! establecemos que R0=1+gamma/Ln(n), y gamma es la constante de Euler para esta funcion armónica!!!! dicha constante vale 0,57612...

    Esta demostracion en mi trabajo demuestra la veracidad!!! de mi ecuación!!! Es el principio de correspondencia matemático lo que tienen ante sus ojos!!! es decir la aparicion de una nueva ecuacion matematica que rige el comportamiento de las sumatorias Divergentes!!! y que tenia que demostrar la existencia de la constante gamma de Euler!! tambien pueden revisar este concepto avanzado en los libros de Cálculo!!!! y así se establece de manera espectacular como era de esperarse!!! que se cumple en el intevalo [1,N):

    ∑x^-1=Ln(N)+ gamma


    Bien no conforme con esto!!! que ocurre con la sumatoria de la funcion siguiente

    ∑x^0,5?

    Observes que n=0,5... Es decir traducido al cristiano, no es más que la raíz cuadrada de (x), esta es la serie a la cual se pide una formula!!!???

    Se empiezan a dar cuenta de que las formulas tratadas en este FORO no sirven... a exepcion de la que estoy explicando!!!!

    Fijense en algo, propongamos la solocion en el intervalo [1,N) de la sumatoria de la raiz cuadrad de x:

    La solución seria esta, en un principio!!!:

    ∑x^0,5=R0*∫ x^0,5.dx +R1*x^0,5

    Por que??

    Facil ya aprendimos que el limite de una funcion 1/x cuando x tiende al infinito dicha funcion arroja como valor cero!!!

    La derivada de x^0,5 respecto a x, claro esta!! vale:

    1/2*(x)^0,5, cuando x tiende al ifinito notaremos que esta derivada como las de orden superior de esta funcion tienden a cero en el infinito!!!... por lo que nuestra ecuacion generica es:

    ∑x^0,5=R0*∫ x^0,5.dx +R1*x^0,5= R0*(2/3)*(x^1,5) +R1*x^0,5

    Ahora formaremos el sistema de ecuaciones partiendo desde x=1 así:

    cuando x=1:

    ∑x^0,5=1^0,5=1=R0*(2/3)+R1

    Cuando x=2:

    ∑x^0,5=1^0,5 +2^0,5=1+1,41421356...=2.41421356...=R0*(2/3)*(2^1,5) +R1*2^0,5

    Asi resolviendo el sistema de ecuaciones tendremos:

    R0=1 (Sensiblemente igual a la unidad) y R1=0,3... esto quiere decir que como igualdad aproximada podemos inferir la siguiente ecuacion, para el intervalo [1,N)!!!:

    ∑x^0,5=(2/3)*(N^1,5) +0,3*N^0,5

    Evaluemos para que tengamos una idea diafana de la magnitud del problema!!!

    evalue la formula en el intervalo [1,15) esto es, para graficar la operacion lo que sigue!!!:

    1+2^.5+3^.5+4^.5+5^.5+6^.5+7^.5+8^.5+9^.5+10^.5+11^.5+12^.5+13^.5+
    14^.5+15^.5=40.46919660

    Veamos la proximidad de nuestra formula!!!:

    (2/3)*(15^1,5) +0,3*15^0,5= 39,8917284659 (muy proximo al valor real, como podemos apreciar!!!)

    Podemos ser mas radicales y exigir la suma de los primeros 1000!!! terminos... y apreciaremos lo que sigue:

    1+2^.5+3^.5+4^.5+5^.5+6^.5+7^.5+8^.5+9^.5+10^.5+11^.5

    +12^.5+13^.5+...1000^0.5= 21097.45589

    Veamos el valor que aproxima nuestra formula!!!:

    (2/3)*(1000^1,5) +0,3*1000^0,5= 21091,3379008 (Como podemos notar la aproximacion es extraordinaria!!!!)

    Vamos chicos no se cansen!!! jajajajaaj!!!

    Ahora me he decidido plenamente ENVENENAR EL PROBLEMA, LA FINALIDAD ES MUY SIMPLE EN PRIMERA INSTANCIA GRACIAS AL FORO POR DARME LA OPORTUNIDAD DE EXPLICAR A GROSSO MODO LA FORMULA QUE AQUI SE EXIGIO EN UN PRINCIPIO COMO GENERAL Y A LA CUAL ME HA CORRESPONDIDO EXPLICAR!!! GRACIAS INFINITAS!!!!

    EN SEGUNDO LUGAR MI OBJETIVO DE ENVENENAR EL EJERCICIO DE LA RAÍZ CUADRADA DE X COMO LO EXPONDRE MAS ADELANTE!!! TIENE LA FINALIDAD DE CALLAR A LOS CRITICOS DE OFICIO QUE PRETENDEN QUE EL TEMA AQUI TRATADO ES DE CARACTER TRIVIAL...... CON LOS EJERCICIOS QUE HEMOS ABORDADO ESTO QUEDA DEL POR TODOS CLARO QUE NO ES ASÍ...

    Y POR ULTIMO GRACIAS A FOX_ , POR ABRIR ESTE FORO CIENTIFICO!! A JORDIEL POR SU PREOCUPACION DESDE EL INICIO, Y A TODOS LOS QUE INTERESADOS EN UNO DE LOS TEMAS QUE DIFERENCIA AL HOMBRE DEL ANIMAL, HAN ESCRITO!!!! SABIAN QUE SE DIFERENCIA PORQUE EL HOMBRE PUEDE SUMAR O CONTAR, CANTIDADES ASTRONOMICAS ALGO QUE NINGUN ANIMAL SOBRE EL PLANETA LO HACE!!!! PUES YA LO SABEN!!!!!

    Bien retornando a nuestro territorio!!! se imaginan ahora el hallar aunque sea una formula aproximativa de la serie, siguiente:

    1^0.5+1,1^0.5+1,2^0.5+1,3^0.5+1,4^0.5+1,5^0.5+.... Tienen alguien idea de esto?? La respuesta otra vez luce obvia NOOO!!!

    Hago este comentario sin animos de ofender a nadie!!! creo que Fox_ cuando abristes este FORO, jajajajaaj!!!! hermano lo que hicistes fue abrir un tema intriNcado!!! creo sinceramente que JAMAS TE IMAGINASTES LO COMPLICADO DEL TEMA!!!!! Por fortuna y gracias a DIOS en un dia de esos que navego en el cyber espacio, cai en este foro para abrir los ojos de que esto no es un tema trivial como se nos enseña!!!! ha llegado la hora de entender lo complicado que representa sumar terminos!!!!

    Una vez más proponemos la ya conocida ecuacion genérica, esto es:

    ∑x^0,5= R0*(2/3)*(x^1,5) +R1*x^0,5

    Y ahora como siempre se proponen las ecuaciones:

    Cuando x=1, tendremos la relación ya familiar:

    ∑x^0,5=1^0,5=1=R0*(2/3)+R1

    Y ahora viene lo espectacular de nuestra ecuacion:

    Cuando x=1,1 tendremos la segunda ecuacion:

    ∑x^0,5=1^0,5+1,1^0.5=2,0488088...=R0*(0,7691264...)+R1(1,0488088...)

    Resolviendo el sistema de ecuaiones tendremos:

    R0=14,3 (aproximadamente) y R1=-8,53(aproximadamente)

    El termino (aproximadamente) es que hemos reducido los decimales, de todas formas pueden verificar!!!

    Eso quiere decir que nuestra formula ahora se modifica a fin de satisfacer la serie impuesta!!! como sigue:

    ∑x^0,5=9.533(N^1,5)-8,53*(N^0,5)

    Bien verifiquemos ahora, sumemos en el intervalo [1,2] es decir:

    1^0.5+1,1^0.5+1,2^0.5+1,3^0.5+1,4^0.5+

    1,5^0.5+1,6^0,5+1,7^05+.... +2^0,5 =13,3954009855...

    Veamos nuestra formula:

    9.533(2^1,5)-8,53*(2^0,5)= 14,90015...(Una aproximación interesante!!!!)

    Es muy posible que hagan falta algunos factores R(i+1) adicionales... para obtener unas aproximaciones ciertamnete mas precisas!!! pero vemos que la cercanía de las cifras no pueden ser producto de la casualidad!!!! se debe precisamente a la formula general exigida en el rigor matemático y en las que este FORO asi se exigió!!!!

    Bien la serie conocida que resolvi en la primera parte de este FORO le Expongo el resultado, El procedimiento lo pueden leer en la primera pagina de este foro!!! es la serie que sigue:

    1^(pi)+2^(pi)+3^(pi)+4^(pi)+ 5^(pi)+...... de donde pi=3.1415926...

    Siendo la formula de esta serie lo que sigue, en el intervalo [1,N]:

    ∑x^(pi)= [1/(p1+1)]*x^(pi+1)+ 0,5*x^(pi)+0,26208*x^(pi-1) )-0,001385*x^(pi-2)
    -0,002125*x^(pi-3)

    Bien en cuanto a la pregunta de Jordiel, Cuando tenga el tiempo suficiente Satisfaré tu inquietud acerca de las series convergentes!!!

    Y sobre todo de la funcion 1/x^3....

    SALUDOS !!!!!

  14. #28
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    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    Jordiel, creo que tampoco sigo bien tus pasos =(.

  15. #29
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    Smile Re: Sumatoria convergente 1/x^3

    Hola y saludos Jordiel de parte de Ing.Nordison... Bueno mi querido amigo antes que nada debo decirte que tu pregunta no es nada nueva, pues cuando investigaba el caso de sumas convergentes!!! Tambien me hice la inquietud que me planteastes sobre alguna formula sobre 1/x^3... la cual es convergente.

    Pues bien tal formula exacta producto de razonamientos matemáticos NO EXISTE hasta la fecha y por supuesto que yo sepa!!!...

    La explicación del ¿ por que no existe?... sigue leyendo...jajaja!!!

    Antes que nada debemos exponer la formula general de Fourier, la cual se escribe así:

    f(x)=a0/2 +∑ an*Cos(n*pi*x/L) + ∑ bn*Seno(n*pi*x/L)

    Siendo pi=3.1415926....

    Y el intervalo a evaluar de las sumatorias es respecto a n desde [1,+infinito)

    L es el periodo fundamental a la que se someterá nuestra funcion f(x) que queremos expandir
    en el intervalo [h,h+2*L], este inervalo siguiendo las condiciones de Dirichlet, estan referidos a obtener los coeficientes an y bn que multiplican las funciones coseno y seno respectivamente como lo señala la notacion anterior!!!

    Ahora bien los coeficientes de Fourier, se obtienen en el intervalo antes señalado, para la formula general antes escrita, debido a que estos (es decir los coeficientes an y bn) vienen dados según las formulas:

    an=(1/L)*∫ f(x)*Cos(n*pi*x/L)*dx

    bn=(1/L)*∫ f(x)*Seno(n*pi*x/L)*dx

    y a0=(1/L)*∫ f(x)*dx

    Todas estas integrales seran evaluadas en el intervalo [h,h+2*L], Ahora bien si investigas en la red (esto es internet) te daras cuenta que por lo general la formula de la serie de Fourier muchos autores la suelen evaluar en el intervalo [-pi,+pi], Pero notese que si llamamos a h=-pi y el valor del periodo L=pi el intervalo [h,h+2*L], se nos convierte automaticamente en el intervalo de evaluacion de estos connotados autores, es decir el intervalo [-pi,+pi], De alli la expresion General de la formula de Fourier que expongo en este Foro...

    ¿Que son las condiciones de DIrichlet?

    Bueno antes que nada, las condiciones de Dirichlet son un conjunto de reglas o normas que se deben de tener muy presentes, a la hora de expandir una serie de Fourier de una función
    f(x) cualquiera!!! Una de ellas establece que la funcion a expandir debe de tener un numero FINITO de DISCONTINUIDAD!!!, En consecuencia si la expansion de Fourier de dicha funcion
    f(x) en un punto en particular es discontinua, entonces DIrichlet asegura que la éxpansion de la funcion convergerá a la suma promedio funcional de la funcion f(x) (que estamos expandiendo) en sus limites izquierdo y derecho es decir que en un ounto de discontinuidad, la formula de Fourier se conveierte ahora en:

    S(x)=a0/2 +∑ an*Cos(n*pi*x/L) + ∑ bn*Seno(n*pi*x/L)

    siendo S(x)=[ f(h)+ f(h+2*L)]/2

    Esto es importante tenerlo en cuenta!!! De alli la importancia de las condiciones de Dirichlet!!!

    Vale decir que las series de Fourier son tan importantes en el mundo no solo de las matemáticas puras!! sino tambien en el mundo de la fisica o mecánica aplicada!!! por ejemplo garacias a la series de Fourier podemos saber el CALENTAMIENTO GLOBAL DE LA TIERRA Y DE OTROS PLANETAS EN CUESTION!!! EN MECANICA CUANTICA (materia que estoy repasando jejeje) LA DENOMINADA TRANSFORMADA DE FOURIER RESULTA CLAVE EN EL ESTUDIO DE LOS DENOMINADOS PAQUETES DE ONDA DE LA ECUACION DE SHRÖDINGER.

    EN MATEMÁTICAS HIPER-AVANZADAS SE UTILIZA DICHA SERIE PARA APROXIMAR ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES!!!... EN FIN LAS APLICACIONES SON TAN VASTAS O IN EXTENSAS!!!...QUE ESTE FORO SE QUEDARÍA PEQUEÑO AL TRATAR ESTE TEMA PERO ENGRANDECIDO POR SUS MULTIPLES APORTES CIENTIFICOS!!!... BUSQUEN EN INTERNET LA FAMOSA PARADOJA DE SHRÖDINGER, Y MECANICA CUANTICA Y OBSERVEN COMO LA MECÁNICA CLÁSICA TERRENAL NO ADMITE LA POSIBILIDAD DE QUE UNA PARTICULA ESTE EN MUCHOS ESPACIOS O DIMENSIONES AL MISMO TIEMPO (LA DENOMINADA OMNIPRESENCIA JAJAJAJA), ESTO EN MECÁNICA CUANTICA O ESTADÍSTICA ES POSIBLE DEBIDO AL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE LA MEDICION, OTRO PRINCIPIO FAMOSO ES EL DE COPENHAGUE.

    EL CUAL NO GUSTABA MUCHO A ALBERT EINSTEIN PORQUE VIOLA EL PRINCIPIO DE LA CONSTANCIA DE LA VELOCIDAD DE LA LUZ, DE ALLI SUS PALABRAS FAMOSAS AL AFIRMAR QUE: "CUANDO DIOS CREO AL MUNDO NO JUGABA A LOS DADOS"... BUSCAR TAMBIEN EN INTERNET EL FAMOSO EXPERIMENTO DE MECANICA CUANTICA QUE SE REALIZA EN SUIZA, SOBRE EL CHOQUE DE PARTICULAS, POR EL ORDEN DEL QUARKS!!! Y LA DENOMINADA MATERIA OBSCURA!!!, BÚSQUESE TAMBIEN AL PADRE DE LA MECÁNICA CUANTICA MARX PLANK!!! TODA LA TEORIA CUANTICA EN MUY BUENA PARTE DE ESTA SE SUSTENTA EN LA ECUACION DE ONDA DE SHRÖDINGER Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER!!! COMO PUEDEN VER YA ESTARIAMOS JAJAJAJAJA LLEGANDO A ACARICIAR LA MATERIA OBSCURA EN ESTE FORO!!!!


    Bien con estos conceptos pertinentes a saber!!! Resolvamos el siguiente ejercicio de utilidad práctica!!!

    Si queremos hallar la sumatoria de la funcion 1/x^3, debemos entonces expandir la función x^3, si quisieras saber cual es la formula de la sumatoria de 1/x^2 (aunque con este ejercicio ya veras, que llegamos a demostrar el resultado!!!) tendrias que expandir la funcion x^2, lo mismo pasaria si quieres saber cual es la formula de 1/x^4 la cual es producto de expandir la funcion x^4, es muy probable que algun interesado en el tema, hable de la denominada identidad de Parseval... NO VOY A EXPLICARLO!!! PARA ESO ESCRIBIMOS UN LIBRO NO CREEN??

    Ejercicio:

    Expandir la funcion x^3 en el intervalo [0; 2*pi], gracias a la formula general de Fourier!!!

    Bien les cuento que este bien puede ser un examen universitario, y lo estamos resolviendo en un foro!!!! jejeje!!!

    Lo primero que realizaremos será el de establecer un periodo a la funcíón x^3 para poderla expandir, dicho periodo fundamental vale 2*L=2*pi de allí que L=pi, y este es el periodo fundamental, para el intervalo que escogimos evaluar!!!, es pues muy obvio que alguien pueda seleccionar otro intervalo, pero el ejercicio nos exige ese intervalo.

    Con estas ideas in mente, ahora enfocamos nuestra atención en resolver las formulas de los coeficientes!!!

    Ya establecimos las formulas más arriba, que para nuestro caso al ser f(x)=x^3 tendremos:

    an=(1/pi)*∫x^3.Coseno(n*x)*dx (siendo esta integral evaluada en el intervalo [0; 2*pi])

    Como pueden ver n es una constante, pero n ulteriormente cuando evaluemos la sumatoria, ella pertenece a los numeros naturales!!!! es decir que n puede ser {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...hasta llegar a infinito}

    Otra cosa importante es que hay que saber integrar!!! jajaaj!!! no es fácil!!! esto si que no puedo enseñarlo acá!!!!

    bien simplificando las cosas tenemos que:

    an=12*pi/n^2


    bn=(1/pi)*∫x^3.Seno(n*x)*dx =(-6+(n^2)*4*pi^2)*(-2/n^3)

    y a0=(1/pi)*∫x^3.dx=4*pi^3

    Con los valores de los coeficientes obtenidos!!! Ahora nos dirigimos a la Formula General de Fourier!!! y establecemos que:

    x^3=2*(pi^3)+12*pi*∑Coseno(n*x)/n^2 -8*(pi^2)*∑Seno(n*x)/n +12*∑Seno(n*x)/n^3

    De donde todas las sumatorias van evaluadas en el intervalo [1, +infinito), respecto a (n), tal como ya se ha explicado!!!

    Ahora bien aqui es donde comienza la diversión!!! jaajajajjaajajaj!!!!

    ¿Que pasa cuando x=0?

    La primera parte de nuestra respuesta, debe ser lo que sigue:

    Existe en x=0 un punto de discontinuidad, por lo tanto la serie o formula de Fourier converge a S(x), como ya habiamos explicado en el horizonte teorico!!! ya expuesto por Dirichlet...

    S(x)=[ f(h)+ f(h+2*L)]/2

    ahora bien h=0, por lotanto f(x)=x^3...f(h)=h^3=0

    pero f(h+2*L)=(h+2*L)^3= 8*(pi^3)

    De manera que:

    S(x)=4*pi^3

    Entoces cuando x=0 la serie converge a lo que se muestra, debido a que en las funciones de sumatoria con la funcion Seno(0)=0 y con la funcion Coseno(0)=1!!!:

    4*pi^3=2*(pi^3)+12*pi*∑1/n^2

    Si despejamos esta formula hallaremos que efectivamente!!!

    ∑1/n^2 =pi^2/6 !!!!!

    Ahora abordaremos la pregunta de Jordiel!!! Podemos hallar la ecuacion de la sumatoria 1/x^3

    La respuesta es NOOOO!!!

    Debido a que para poderla obtener necesitariamos una suerte de funcion similar a esta!!!:

    ∑Cos(n*x)/n^3 y cuando x=0 entonces notamos que se engendra dicha formula tal como para 1/x^2... para nuestro caso en estudio lamentablemente nostoca la función!!!

    ∑Seno(n*x)/n^3 y como puedes darte cuenta Jordiel!!! que valor de x satisface el hecho de que cumpla la igualdad siguiente Seno (n*x)=1!!!

    Como puedes ver debido a que n pertenece a los numeros Naturales
    {1,2,3,4,5,6,7,8,9,... infinito} no es posible satisfacer esta ecuacion Seno (n*x)=1... y es por ello mi querido amigo que no existe una formula exacta al respecto, de hecho para ninguna funcion impar tal como 1/x^3; 1/x^5; 1/x^7... y así, esa es la razón por la que ningún libro de matemáticas avanzado da la respuesta que tu anhelas de manera exacta!!!!

    Ahora bien los valores de (x) en las que podemos evaluar la Serie de Fourier expandida respecto a x^3, para este caso !!!! solo es posible en el intervalo [0; 2*pi], es decir que podemos colocar por ejemplo el valor de x=pi/2, y obtendriamos unas series particulares de esta expresión particular de (x), es decir los valores de (x) se tomarán dentro del intervalo cerrado [h; h+2*L] cualquier valor real (x) que pertenezca a este intervalo, fuera de este intevalo estariamos evaluando cualquier cosa menos la realidad!!!

    Bueno espero que satisfaga mi respuesta!!! Gracias!!!

    Estoy trabajando en mi pagina web chicos!!! asi que cuando la tenga lista, espero que se nutran de más conceptos de matemáticas!!! pues estoy haciendo una suerte de curso gratis!!! es decir bastará con visitar la web que estoy construyendo, para que leeyendo y practicando la centena de ejercicios que expondre!! aprendan a integrar, derivar, y hacer muchas cosas de matemáticas universitarias!!!

    Además no olviden la regla de oro de un buen matemático!!! ser Escéptico pero no del todo y siempre usar LAPIZ Y PAPEL!!!! Chao!!!

  16. #30
    Avatar de No registrado
    No registrado Invitado

    Predeterminado Re: Sumatoria de números con exponente X

    hola chicos pueden visitar la pagina:

    http://usuarios.lycos.es/nordison/

    Saludos

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