Divulgación Concepto de divergencia.

[natanael]

Puede que wikipedia no sea lo máximo como para usarla como referencia, pero creo que es suficiente como para hacer esta pregunta.

La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.

Desconcozco las consecuencias de usar un campo vectorial de dos dimensiones, ustedes me dirán... Porque mi analogía de "superficie que rodea a un volumen de control", es "una curva cerrada que encierra una area de control".

Miren este campo vectorial, muy bien pudiera ser un corte transversal de uno en 3D, pero no lo es, y alli esta la expresión en funcion de x, y, del campo.



Ahora si $\dst \vec{F}(x,y)=\sin (y)\hat{\imath} +(x^2-y)\hat{\jmath}$ , entonces $\dst \nabla \cdot \vec{F}(x,y)=-1$.

Entonces, estoy consciente que los números no se pelan, pero tiene que haber una concordancia entre números con significado físico y lo que observamos de una grafica en la cual se relacionen ambos conceptos como es el caso de la divergencia y su significado geometrico, entonces al grano, concentrémonos en los zona comprendida por los intevalos [-2,0.5] en el eje x, y [-2,0] en el eje y, es decir el dibujo ampliado, allí vemos como en la circusferencia, los vectores exteriores (en color rojo), se hacen tangentes en donde terminan y comienzan los colores naranja y verde que definen a la curva, la longitud de arco sombreada en color naranja es mayor que la verde, por lo tanto vá a haber mas flujo entrante que saliente, aquí es lógico que la divergencia sea diferente de cero y negativa, ya que más arriba tiene su sumidero (el remolino que parece un tornado).

Ahora yo me había generalizado esto a lo siguiente: "cuando los vectores de una zona determinada de un campo vectorial se tornan más paralelos entre sí, habrá menos divergencia en esa zona", por ejemplo ejemplo en la zona determinada por los intevalos [-5,-2.5] para el eje x, y [-5,-2] para el eje y, allí tenemos que los vectores son cada vez más paralelos entre sí, por lo tanto, si sumaramos (integraramos) todos los vectores que aplican sobre la curva cerrada, entoces obtendríamos un valor muy cercano a cero, y esto se vé porque la longitud de arco de la zona verde el circulo es aproximada mente igual a la zona de color rojo, por lo tanto el fujo entrante vá a ser casi igual al saliente y la diferencia entre ambos se vá acercar a cero.

Pero... los números no se equivocan, y según mis cuentas (espero no haberme equivocado ) la divergencia es -1 para todo el dominio superficial del campo, así que el que está equivocado soy yó en base al concepto que tengo de divergencia, y quisiera saber entonces en qué estoy mal entendiendo el concepto de divergencia de un campo vectorial.

[carroza]

Re: Concepto de divergencia.

Hola.

No es cierto que "Cuando los vectores se tornan más paralelos entre sí habrá menos divergencia". La divergencia depende de cuanto cambian los vectores espacialmente, no de cómo de grandes sean. Si a un campo vectorial, con una divergencia dada, le sumamos un vector constante muy grande, entonces los vectores se hacen más paralelos, pero no varía la divergencia.

En el ejempo que indicas, los vectores en la zona verde del circulo son un poco más negativos que en la zona roja (por la componente (-y) j. Eso genera la divergencia.

[natanael]

Re: Concepto de divergencia.

La divergencia depende de cuanto cambian los vectores espacialmente, no de cómo de grandes sean.

Hola carroza, cuando te refieres a que cambian, me imagino que te refieres a la direccion y sentido de cada vector a medida que veríen las variables que generan el campo vectorial en la expresión. Si es así como dices entonces me dás más aun la razón y te generas una contradiccion al decir:

No es cierto que "Cuando los vectores se tornan más paralelos entre sí habrá menos divergencia".

, piénsalo, si la divergencia depende de cuanto cambian los vectores en el espacio, como has dicho, entonces cuando los vectores no cambian en cierta región de el espacio, la única conjetura lógica a la cual se llegaría es que son paralelos en esa región del espacio, por inferencia lógica al afirmar que "La divergencia depende de cuanto cambian los vectores espacialmente", entonces no habrá divergencia.

Y tambien cuando dices que no importa como de grande sean, que me imagino que te refieres al módulo de cada vector en esa región de espacio, en eso si estamos de acuerdo, porque lo que estamos midiendo es una propiedad del flujo del campo vectorial, y esto no depende de las magnitud des de cada vector, si nó más bien, de su direccion y sentido a medida que varíen las variables x e y.

Viste que tenemos una mala concepcion de lo que es la divergencia, pilla, para este campo vectorial la divergencia es -1 para cada punto (x,y) del plano donde se genera el campo, al concentrarte en una zona determinada como la encerrada por el circulo verde y dar una definición por intuición y decir, que en esa zona los vectores son más negativos, automaticamente por el mismo principio de inferencia tiene que haber entonces una zona donde sean menos negativos, pero... el unico hecho real es que la divergencia para este campo -1 para cada par ordenado (x,y) del espacio, por lo tanto no tiene sentido hablar de más o menos divegencia en ciertas zona, por eso quiero saber cual es el verdadero significado geometrico de la divergencia de un campo.

Y peor aún es el rotacional, al momento de entenderlo observando una grafica!

Saludos.

[Al2000]

Re: Concepto de divergencia.

Te estás confundiendo probablemente con la misma palabra divergencia. Lo que estás pensando de que los vectores deben diverger es cierto para un punto, no para el campo tomado globalmente. Lo que tienes en tu ejemplo es una región donde hay "sumideros" uniformenmente distribuidos en líneas paralelas al eje X. Eso se evidencia en la porción $-y \boldsymbol j$ de tu campo vectorial; cada una de estas "líneas de sumideros" debilitan el campo F cuando avanzas en la dirección Y. La situación es análoga que tuvieras un campo eléctrico uniforme en el espacio superpuesto con láminas planas infinitas paralelas de densidad de carga negativa constante. Las líneas de fuerza serían paralelas en todos los puntos pero el campo no sería constante, sino que iría decreciendo el cierta dirección.

Saludos,

Al

PD. ¿Podrías crear un hilo informativo en el foro de métodos informáticos explicando (al nivel de detalle que desees) cómo y con qué hiciste el gráfico?

[carroza]

Re: Concepto de divergencia.

Hola.

Solo para aclarar: El campo de componentes A_x=0, A_y=y es un campo de vectores paralelos (van todos en la dirección y) y tiene una divergencia no nula, en todos los puntos del espacio.

[natanael]

Re: Concepto de divergencia.

Solo para aclarar: El campo de componentes A_x=0, A_y=y es un campo de vectores paralelos (van todos en la dirección y) y tiene una divergencia no nula, en todos los puntos del espacio.

Hola carroza, definitivamente tienes razón cuando dices que:

No es cierto que "Cuando los vectores se tornan más paralelos entre sí habrá menos divergencia".

Ahora si es verdad que estoy súper confundido con este ultimo ejemplo que puso carroza, no sé si seré yo que me estoy pasando de bruto y no logro entender, pero lo único que yo veo es una grosera contradicción entre el concepto de divergencia y la manera como se comportan estos campos que hemos descrito.

Allí está la grafica, no hay mucho que decir!, esa cosa no debe tener ni sumideros ni fuentes, y sin embargo tiene divergencia igual a uno como carroza ha dicho.

Por otro lado Al, tu hablas de crear un hilo informativo en el foro de métodos informáticos, pero tu debes tener una graficadora HP50G incrustada a tu neocortex, realmente voy a tardar un rato para ver esto que dijiste:

Lo que tienes en tu ejemplo es una región donde hay "sumideros" uniformenmente distribuidos en líneas paralelas al eje X. Eso se evidencia en la porción $-y \boldsymbol j$ de tu campo vectorial; cada una de estas "líneas de sumideros" debilitan el campo F cuando avanzas en la dirección Y.

Y sencillamente tienes razón, me puse a buscar para los intervalos descritos en la grafica y hay una secuencia de sumideros que al paracer se encuentran todos en una línea y con una relacion definida por el mismo campo.



Con esta explicación voy entendiendo mejor pero sin embargo, el campo que dió carroza $\dst \vec{V}(x,y)=y\hat{\jmath}$ que tiene por divergencia $\dst \nabla \cdot \vec{V}(x,y)=1$, me crea mas confuciones.

Con respecto al hilo informativo voy hacer uso de los blogs, para aportar algo sobre esto, pero primero tengo que averiguar como funcionan estos blogs.

[DamianV]

Re: Concepto de divergencia.

La historia con el StreamDensityPlot es que hay que ver el color de fondo, (no es solo un adorno) cuanto más oscuro sea, más debil es el campo y cuanto más claro más fuerte. Te recomiendo en vez de eso usar la función VectorPlot y ahí capaz que te cierra un poco más la idea de que el campo $F(x,y)=(0,y)$ tenga divergencia constante igual a uno. Y dando un poco mi opinión acerca del concepto geométrico vamos simplemente a ver cuál es la cuenta que estamos haciendo, la derivada de la componente $x$ del campo según la dirección $x$, o sea, que tanto cambia la primera componente del campo si $x$ varía y a eso le agregamos lo mismo pero con $y$ (y $z$ si fuera en $\mathbb{R}^3$). Y es eso que siempre nos dijeron los profesores, si me paro en un punto, a ver, no es 'que tanto me empuja el campo desde (divergencia positiva) o hacia (negativa) dicho punto', si, es mas o menos eso, en realidad es más algo así como 'sale más de lo que entra(positiva) o entra más de lo que sale(negativa)'.
Mirá, hice el mismo campo con el comando VectorPlot y se puede ver como al aumentar $y$ los vectores crecen, y no solo crecen, lo hacen de manera uniforme.


Cuando digo uniforme no me refiero solo a los de al lado, también me refiero que siguiendo una linea vertical crecen a ritmo constante, de ahí que haya divergencia positiva, pero además constante. Observen también que el campo por ejemplo $F(x,y)=(\frac{x}2,\frac{y}2)$ tiene divergencia 1 también y se puede observar el mismo comportamiento. Dejo la otra para comparar.


En cuanto a AL2000, el programa se llama Wolfram Mathematica, yo cuento con la versión 7.0, no es gratuito pero con el milagro de internet... no me animo a ponerte un link porque ya me pusieron infracciones por reirme de un pseudocientífico y me imagino que por esto me banean. Solo te puedo decir que *cough*Taringa*cough* debe ser fácil de encontrar. Te recomiendo mucho este programa, en comparación con otros como el matlab, el octave incluso el viejo y querido derive la gran diferencia es que podés manipular los parámetros de las gráficas y hacerlas dinámicas, yo hice un hilo hace unos días acerca de la circunferencia osculatriz a una hélice, nadie le dio mucha bola, pero para darte un ejemplo, en ese mismo problema, logré poner como parámetro dinámico en la gráfica un instante $t_0$ en el cual se evaluara la cefa y logré una especie de 'resorte con una moneda cayendo tangente', creo que se entiende la idea.
Saludos.

[natanael]

Re: Concepto de divergencia.

Hola DamianV, ahora si creo haber entendido un poco mejor, sólo un detalle, y ya creo que sé donde esta mi confusión, cuando se dice que existe divergencia, se refiere en todo caso es a la diferencia entre el flujo entrante y el saliente, y flujo se refiere es a la cantidad de líneas que entran en la supreficie y las que salen, entonces estoy notando que en la expresión $\dst \nabla \cdot \vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}$ , no restringe el hecho que las magnitudes de cada vector influyeran en el resultado final de la función escalar de la divergencia. Entonces como nó se toma en cuenta esta restricción es valido que la divergencia de estos campos sea diferente de cero, pero queda una sola contradicción, no tiene fuentes dicho campo vectorial, a menos que cada par o trio (caso 3D) ordenado de puntos en el espacio sea una fuente.

Yo no sé como pero esta véz tengo que llegar a entender esto por completo, es solo que las lineas del campo $\dst F(x,y)=(0,y)$, son paraleas y no divergen en este caso, condicion necesaria para que exista un punto o asintota donde convergan las lineas y pueda considerarse como una fuente, estando el concepto de divergencia en paz con estos campos vectoriales que pusimos como ejemplo.

Gracias por el consejo de usar VectorPlot en vez de StreamDensityPlot, casualmente estoy haciendo el blog, sin embargo usé StreamDensityPlot, porque despreciaba la influencia de las magnitudes vectoriales en la concepcion de la funcion escalar de la divergencia.

Saludos.

PD. Les agradezco a todos, por la ayuda prestada hasta ahora!