Otras carreras Ayuda problema campo magnético

[aldaris565]

Bueno soy nuevo en este foro y me ha parecido muy muy interesante, ha resuelto muchas dudas que tenía.

Aca tengo un problema que hasta ahora no he podido desarrollar u.u y me gustaria que me ayudasen a resolverlo si no es mucha molestia bueno el problema es asi:

Un flujo de protones se lanza perpendicularmente a un par de placas de 30cm de largo y 10cm de separación, donde existe una intensidad de campo eléctrico de ${10}^{6}$ Volt/m y un campo magnético de 1.5 Teslas. Calcule la velocidad de los protones al salir de las placas, si su velocidad de entrada fue de 8x ${10}^{6}$ m/s (Grafique la trayectoria del protón)

[GNzcuber]

Re: Ayuda problema campo magnético

Hola Aldaris565,

¿No tienes más datos que los que has proporcionado para resolverlo?

Cuando el protón pasa por entre las placas se le ejercen dos fuerzas, una eléctrica que apunta hacia abajo (según el dibujo), y otra magnética que apunta hacia arriba según la fuerza de Lorentz:

$$\displaystyle \bold{F}=q\left(\bold{E}+\bold{v}\times\bold{B}\right)$$

Como no hay fuerzas que tengan componente no nula en la dirección en la que viajan los protones tenemos que la velocidad en dirección paralela a las placas es constante, y por lo tanto le tomará un tiempo $\dst t$ en atravesarlas:

$$\displaystyle t=\frac{L}{v_x}$$

Pero sólo saldrán de las placas si la trayectoria en dicho tiempo es menor que la mitad de la separación de las placas (estoy suponiendo que el flujo de protones entra por la mediatriz de las placas (sí, sé que las placas no son puntos :P). Y por lo tanto:

$$\displaystyle \frac{s}{2}\geq |y|=\left|y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}at^2\right|$$

Donde $\dst a$ es la aceleración en y adquirida por la fuerza, es decir: $\displaystyle a=\frac{F}{m}$ donde F se calcula de (1).

Bueno, creo que con estas herramientas se podría resolver, el problema que veo es que son necesarios dos datos, la masa y carga del protón, pero no sé si se debe hacer el ejercicio sin estos datos, y por consiguiente de otra manera.

¡Saludos!

[aldaris565]

Re: Ayuda problema campo magnético

Hola Aldaris565,

¿No tienes más datos que los que has proporcionado para resolverlo?

Cuando el protón pasa por entre las placas se le ejercen dos fuerzas, una eléctrica que apunta hacia abajo (según el dibujo), y otra magnética que apunta hacia arriba según la fuerza de Lorentz:

$$\displaystyle \bold{F}=q\left(\bold{E}+\bold{v}\times\bold{B}\right)$$

Como no hay fuerzas que tengan componente no nula en la dirección en la que viajan los protones tenemos que la velocidad en dirección paralela a las placas es constante, y por lo tanto le tomará un tiempo $\dst t$ en atravesarlas:

$$\displaystyle t=\frac{L}{v_x}$$

Pero sólo saldrán de las placas si la trayectoria en dicho tiempo es menor que la mitad de la separación de las placas (estoy suponiendo que el flujo de protones entra por la mediatriz de las placas (sí, sé que las placas no son puntos :P). Y por lo tanto:

$$\displaystyle \frac{s}{2}\geq |y|=\left|y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}at^2\right|$$

Donde $\dst a$ es la aceleración en y adquirida por la fuerza, es decir: $\displaystyle a=\frac{F}{m}$ donde F se calcula de (1).

Bueno, creo que con estas herramientas se podría resolver, el problema que veo es que son necesarios dos datos, la masa y carga del protón, pero no sé si se debe hacer el ejercicio sin estos datos, y por consiguiente de otra manera.

¡Saludos!

Bueno el profesor nos dijo que la masa y carga pues son conocidas no? (es un protón):

Masa: ${1.67x10}^{ -24}$
Carga:${1.6x10}^{ -19}$

Bueno yo hice todo lo que me haz dicho, he hallado la Aceleración pero nose que más hacer...me pide hallar la velocidad de salida del protón y dibujar la trayectoria; ésas dos son mis dudas cual sería la trayectoria? y como haria para hallar la velocidad de salida (haría MRUV en los 30cm? ya que según lo que escribiste hace un MRU y no me serviría de nada hallar la aceleración... o la velocidad de salida tiene 2 componentes¿?) bueno gracias por tu respuesta y espero puedas seguir ayudandome

[polonio]

Re: Ayuda problema campo magnético

Para la trayectoria (y, en general para todo el problema) usa componentes intrínsecas. Verás que la aceleración tangencial es nula y que la aceleración normal es constante: tendrás, entonces, un movimiento circular uniforme.

Inténtalo y, si no puedes, te hecho otro cable.

Por cierto, la masa y la carga del protón que das son completamente incorrectas, pues no das las unidades...

[GNzcuber]

Re: Ayuda problema campo magnético

Hola Adaris565,

La velocidad de salida tendrá ahora dos componentes, una en el eje x y otra en el eje y, por lo tanto $\displaystyle v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$. Para la trayectoria tendrás que antes de llegar a las placas tiene un MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme), cuando entre en las placas, como te ha dicho Polonio, tendrás un movimiento circular, y en el momento que sale de las placas nuevamente tendrá un MRU con una velocidad tangencial a la trayectoria anterior (circunferencia).

¡Saludos!

[aldaris565]

Re: Ayuda problema campo magnético

Bueno:

Masa: ${1.67x10}^{ -27} Kg$
Carga:${1.6x10}^{ -19} C$

Siguiendo todo lo que me han dicho.. tendria:


${{V=8x10}^{6 }}\hat{\imath}$

${B= -1.5}\hat{k}$

${E= -{10}^{6 } }\hat{\jmath}$

Hallando la fuerza:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En Modulo:

$F={17.6x10}^{-13}$

Como:

$a=\frac{F}{m }$

$a=\frac{{17.6x10}^{-13}}{{1.67x10}^{ -27} }$$= {10.54x10}^{14}$

Luego como me dijeron hace un MRU en el eje X (asumiendo que sea el de 30cm):

$t=\frac{e}{v}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y luego un MCU :

$a={\omega }^{2} . r$

Asumo r=0.05 (Mitad del eje y):

$\omega = \sqrt{\frac{{10.54x10}^{14}}{ 0.05} } = {1.45x10}^{8}$

Reemplazando en la formula de la velocidad:

$V=-r\omega \sin (\omega t) \hat{\imath} +r\omega \cos (\omega t)\hat{\jmath}$

$V={72.5x10}^{5}(-\sin(5.44)\hat{\imath}+\cos(5.44)\hat{\jmath})$


$V={72.5x10}^{5}(0.74\hat{\imath}+0.37\hat{\jmath})$

Eso me queda... esta bien el resultado¿?-

Y si he obviado colocar todas las unidades pero estan todas consistentes...
tiempo en segundos, masa en Kg Velocidad en m/s , etc...

Disculpen por esa parte ya que no estoy muy acostumbrado en escribir las unidades... bueno me dicen si mi respuesta esta correcta y si no diganme donde o en que me equivoque... gracias

[Al2000]

Re: Ayuda problema campo magnético

En verdad el protón nunca sale de las placas sino que describe una curvita hacia arriba y choca con la placa positiva. Calcular donde choca no es posible a menos que se establezca la posición inicial del protón. Poniendo el origen de coordenadas en la posición inicial del protón, la ecuación de movimiento será

$\dst x_{(t)} = \frac E B t + \frac 1 \omega \left(v_0 - \frac E B\right) \, \mathrm {sen} \, \omega t\,,\quad y_{(t)} = \frac 1 \omega \left(v_0 - \frac E B\right)(1 - \cos \omega t)\,,\quad \omega = \frac {e B}{m_p}$

Este movimiento es una serie de "círculos" abiertos que se van desplazando hacia la derecha, como un rabo 'e cochino que uno dibuja cuando está aburrido. La máxima coordenada $y$ del protón será de 10.21 cm con los datos del problema, de modo que chocará con la placa positiva independientemente de su posición $y_0$ inicial. Si aceptamos, del dibujo, que el protón entra a media distancia de las placas, entonces entonces chocará en la placa superior en la coordenada (2.82, 5.00) cm.

Todo esto, claro, si no he cometido algún error en la determinación de la ecuación de movimiento.

...
Como no hay fuerzas que tengan componente no nula en la dirección en la que viajan los protones tenemos que la velocidad en dirección paralela a las placas es constante, y por lo tanto le tomará un tiempo $\dst t$ en atravesarlas:
...

Eso no es correcto. Al momento de entrar, el protón experimenta una fuerza hacia arriba (la fuerza magnética es mayor que la eléctrica) y acelera en la dirección +Y. Pero esta velocidad en dirección +Y produce una fuerza magnética en dirección -X y el protón ve frenado su movimiento en la dirección horizontal. Si la distancia entre las placas fuese suficientemente grande de modo que el protón no chocase, eventualmente se movería en dirección opuesta y empezaría a acelerar hacia la derecha, repitiendo el ciclo.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Ayuda problema campo magnético

Eso no es correcto. Al momento de entrar, el protón experimenta una fuerza hacia arriba (la fuerza magnética es mayor que la eléctrica) y acelera en la dirección +Y. Pero esta velocidad en dirección +Y produce una fuerza magnética en dirección -X y el protón ve frenado su movimiento en la dirección horizontal. Si la distancia entre las placas fuese suficientemente grande de modo que el protón no chocase, eventualmente se movería en dirección opuesta y empezaría a acelerar hacia la derecha, repitiendo el ciclo.

Toda la razón, recuerdo los ejercicios del año pasado y nunca tuvimos en cuenta ésto, pero paralelamente sabíamos los efectos del campo magnético sobre una masa con carga eléctrica en movimiento.

¡Gracias Al!

[aldaris565]

Re: Ayuda problema campo magnético

bueno entonces lo que hice esta mal? ojala puedan darme el ejercicio resuelto...y si...el proton entra en la mitad de las 2 placas (5 cm) es el único ejercicio que no me sale u.u

[Al2000]

Re: Ayuda problema campo magnético

Pues no se a que nivel lo tienes que justificar ni si la trayectoria la puedes dibujar cualitativamente o con exactitud a partir de las ecuaciones. Quizá polonio tenga algo que decir, yo no tengo una idea muy clara acerca de lo que refiere cuando habla de componentes intrínsecas, de modo que probablemente exista una forma mas sencilla de resolver el problema. Yo conozco dos formas de resolver el problema: el método de fuerza bruta, resolver la ecuación de movimiento partiendo de la fuerza de Lorentz, o bien hacer un cambio del sistema de referencia a otro que se mueva con velocidad tal que anule el campo eléctrico y resolver el problema en el nuevo sistema como un simple movimiento en un campo magnético. La segunda forma tendría que repasar antes de atreverme a escribir aquí. La primera forma sería así:

$\boldsymbol E = - E \boldsymbol j \,,\quad \boldsymbol B = - B \boldsymbol k$

$\dst \boldsymbol F = q (\boldsymbol E + \boldsymbol v \times \boldsymbol B) = q \left[- E \boldsymbol j + \left(v_x \boldsymbol i + v_y \boldsymbol j \right) \times (- B \boldsymbol k)\right]$

Poniendo $q = e$ y $m = m_p$, queda el sistema

$\dst \left \{\begin{aligned}<br /> \frac {d v_x}{dt} &= -\frac {e B}{m_p} v_y \\<br /> \frac {d v_y}{dt} &= \frac e {m_p} (-E + B v_x) <br /> \end{aligned}\right . <br />$

donde, si derivas la primera respecto al tiempo y sustituyes la segunda, tienes

$\dst \frac {d^2 v_x}{dt^2} = - \frac {e B}{m_p} \frac {d v_y}{dt} = - \frac {e^2 B}{m_p^2} (-E + B v_x)$

es decir, queda

$\dst \frac {d^2 v_x}{dt^2} + \frac {e^2 B^2}{m_p^2} v_x = \frac {e^2 E B}{m_p^2}$

la cual puedes escribir como la conocida ecuación de un MAS haciendo el cambio $v_x = v' + E/B$

$\dst \frac {d^2 v'}{dt^2} + \frac {e^2 B^2}{m_p^2} v' = 0$

Ahorrándome los pasos intermedios, llegarías a

$\dst <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> v_x &= \frac E B + \left(v_0 - \frac E B \right) \cos \omega t \\<br /> v_y &= \left(v_0 - \frac E B \right) \, \mathrm {sen} \, \omega t <br /> \end{aligned}\right . \,,\quad \omega = \frac {e B}{m_p} <br />$

Bueno hasta aquí lo dejo. Saludos,

Al

[aldaris565]

Re: Ayuda problema campo magnético

Pues no se a que nivel lo tienes que justificar ni si la trayectoria la puedes dibujar cualitativamente o con exactitud a partir de las ecuaciones. Quizá polonio tenga algo que decir, yo no tengo una idea muy clara acerca de lo que refiere cuando habla de coordenadas intrínsecas, de modo que probablemente exista una forma mas sencilla de resolver el problema. Yo conozco dos formas de resolver el problema: el método de fuerza bruta, resolver la ecuación de movimiento partiendo de la fuerza de Lorentz, o bien hacer un cambio del sistema de referencia a otro que se mueva con velocidad tal que anule el campo eléctrico y resolver el problema en el nuevo sistema como un simple movimiento en un campo magnético. La segunda forma tendría que repasar antes de atreverme a escribir aquí. La primera forma sería así:

$\boldsymbol E = - E \boldsymbol j \,,\quad \boldsymbol B = - B \boldsymbol k$

$\dst \boldsymbol F = q (\boldsymbol E + \boldsymbol v \times \boldsymbol B) = q \left[- E \boldsymbol j + \left(v_x \boldsymbol i + v_y \boldsymbol j \right) \times (- B \boldsymbol k)\right]$

Poniendo $q = e$ y $m = m_p$, queda el sistema

$\dst \left \{\begin{aligned}<br /> \frac {d v_x}{dt} &= -\frac {e B}{m_p} v_y \\<br /> \frac {d v_y}{dt} &= \frac e {m_p} (-E + B v_x) <br /> \end{aligned}\right . <br />$

donde, si derivas la primera respecto al tiempo y sustituyes la segunda, tienes

$\dst \frac {d^2 v_x}{dt^2} = - \frac {e B}{m_p} \frac {d v_y}{dt} = - \frac {e^2 B}{m_p^2} (-E + B v_x)$

es decir, queda

$\dst \frac {d^2 v_x}{dt^2} + \frac {e^2 B}{m_p^2} v_x = \frac {e^2 E B}{m_p^2}$

la cual puedes escribir como la conocida ecuación de un MAS haciendo el cambio $v_x = v' + E/B$

$\dst \frac {d^2 v'}{dt^2} + \frac {e^2 B}{m_p^2} v' = 0$

Ahorrándome los pasos intermedios, llegarías a

$\dst <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> v_x &= \frac E B + \left(v_0 - \frac E B \right) \cos \omega t \\<br /> v_y &= \left(v_0 - \frac E B \right) \, \mathrm {sen} \, \omega t <br /> \end{aligned}\right . \,,\quad \omega = \frac {e B}{m_p} <br />$

Bueno hasta aquí lo dejo. Saludos,

Al

La trayectoria no tiene que ser dibujada con exactitud... bueno ese v x B .. del inicio tu lo haz tomado como si V no se conociese, aqui mi pregunta: ese V no es el dato que te da ${8x10}^{ 6} \hat{\imath}$ ?? recuerda que me piden la velocidad de salida.. y bueno en wikipedia encontré esta formula para un MCU:

$V=-r\omega \sin (\omega t) \hat{\imath} +r\omega \cos (\omega t)\hat{\jmath}$

y a ti te sale al revés ... cos para X y sen para Y ...

[Al2000]

Re: Ayuda problema campo magnético

Trata de entender que no puedes aplicar a ciegas cualquier fórmula. Si no sabes de donde se origina, al menos debes tener muy claro en que casos se aplica. Sin haber visto la deducción te puedo decir que esa fórmula se aplica para una partícula que se mueve inicialmente en la dirección +Y, que no es tu caso.

En cualquier caso, tu problema es mas complicado, debido a la presencia del campo eléctrico. No puedes esperar que el movimiento del protón sea un simple movimiento circular. La trayectoria del protón se ve así:



Las líneas punteadas horizontales representarían las placas. Como puedes ver, el protón choca la placa superior mucho antes de llegar al otro extremo de las placas.

Saludos,

Al

PD.

...tu lo haz tomado como si V no se conociese, aqui mi pregunta: ese V no es el dato que da ?? ...

De hecho, no conoces la velocidad, sólo conoces la velocidad inicial. La velocidad como función del tiempo o de la posición la tienes que calcular.

[aldaris565]

Re: Ayuda problema campo magnético

Bueno si ya te entendi =) ahora como haria para calcular el tiempo que tarda la particula en salir? gracias en serio me estas ayudando muchisimo

[GNzcuber]

Re: Ayuda problema campo magnético

Bueno si ya te entendi =) ahora como haria para calcular el tiempo que tarda la particula en salir? gracias en serio me estas ayudando muchisimo

Según el gráfico de Al el protón no sale.

Yo no puedo ayudar, para mi nivel ya es complicado :P.

¡Saludos!

[aldaris565]

Re: Ayuda problema campo magnético

mmm bueno entonces una vez que tengo las ecuaciones para hallar la velocidad...podria hallar las ecuaciones para hallar la posición reemplazaría en condiciones iniciales t=0 el proton estaría en (0,5) y luego para hallar el tiempo reemplazaria en la formula para x=30cm e y =5cm¿? y asi hallar el tiempo y reemplazarlo en la velocidad¿? podría hacer eso¿?