1r ciclo Campo gravitatorio creado por una lamina infinita de materia

Tengo que hacer para la clase de Fundamentos de Fisica el siguiente problema:
"Calcula el campo gravitatorio a una distancia z de una lámina uniforme e infinita de materia, de masa por unidad de superficie σ"

Al terminar el problema me sale que g=2G\pi \sigma , en el eje perpendicular al plano.
La solucion me parece muy rara, se me hace extraño que no dependa ni de la distancia ni sea negativa; asi que busque en internet y en una página me salía que era asi.

Me podriais explicar la razon? o al menos decirme si la solucion es correcta?

[Al2000]

Re: Campo gravitatorio creado por una lamina infinita de materia

Tu solución es correcta. Puedes ver la razón de la independencia de la distancia desde un punto de vista geométrico de la siguiente forma. Considera que, de las infinitas partículas que conforman el plano, las que mas contribuyen son las mas cercanas a la normal trazada desde el punto al plano. Para las partículas mas alejadas, el campo forma un ángulo pequeño con el plano y tiende a ser anulado casi por completo por otra partícula colocada simétricamente. De esta forma las partículas que contribuyen eficazmente al campo (normal) al plano son las que se encuentran en un disco que sería la base de un cono de una abertura no muy grande. En la medida que te alejas del plano, si bien el campo de las partículas disminuye con el inverso del cuadrado de la distancia, la base del cono se amplía incluyendo un número cada vez mayor de partículas, un número que aumenta con el área de la base, que a su vez es proporcional al cuadrado de la altura del cono.

Saludos,

Al

PD. Perdón que pasé por alto el "ni sea negativa". Por supuesto el campo, en módulo, vale $\dst g = 2 \pi G \sigma$, entendiendo que se dirige hacia el plano. Vectorialmente sería $\dst \boldsymbol g = - 2 \pi G \sigma \boldsymbol u_n$, siendo $\dst \boldsymbol u_n$ el vector unitario normal al plano y alejándose de él.

[Uranio]

Re: Campo gravitatorio creado por una lamina infinita de materia

Gracias, a mí me has ayudado a comprender el resultado, que es semejante, en el caso de calcular el campo eléctrico en una lámina infinita de carga.

[Al2000]

Re: Campo gravitatorio creado por una lamina infinita de materia

El efecto se pone en evidencia claramente cuando se calcula el campo en el eje de un disco de densidad de masa (carga) constante:

$$g = 2 \pi G \sigma \left(1 - \frac z {\sqrt {R^2 + z^2}}\right) \quad \text o \quad E = \frac \sigma {2 \epsilon_0} \left(1 - \frac z {\sqrt {R^2 + z^2}}\right)$$

Cuando se expresa el término entre paréntesis en función de la razón $z/R$:

$$1 - \frac z {\sqrt {R^2 + z^2}} = 1 - \frac {z/R} {\sqrt {1 + (z/R)^2}}$$

se ve claramente que el campo vale lo mismo a cualquier distancia $z$ si simultáneamente ajustamos la base manteniendo la razón $z/R$ (es decir, el semiángulo de abertura del cono) constante.

Con la misma expresión puede uno verificar como, por poner un ejemplo, un disco de 10 m de radio da cuenta el solito por el 90% del campo de todo el plano infinito a la distancia de 1 m:

$$1 - \frac {1/10}{\sqrt {1 + (1/10)^2}} \approx 0.90$$

Saludos,

Al

[_L_]

Re: Campo gravitatorio creado por una lamina infinita de materia

Este mismo problema lo he visto para campos electricos y tiene la misma solucion no depende de la distancia ni de la masa se puede hacer por integrales o utilizando el calculo de flujos de Gauss lo cual lo simplifica bastante.

Solo lo comento por si lo conoces y lo veas en terminos de el campo electrico creado por una lamina infinita y veras que sale lo mismo no depende de la distancia... de ahi los campos electricos constantes creados por dos placas cargadas inversamente a distancia muy pequeña para que su tamaño se puede aproximar al infinito en relacion.

[Zhisi]

Re: Campo gravitatorio creado por una lamina infinita de materia

Hola. Tengo el mismo ejercicio para el cual también he de calcular el potencial gravitatorio. Lo he abierto en un nuevo hilo porque no había encontrado éste hasta ahora (en el buscador de la página no lo encontraba).
http://forum.lawebdefisica.com/threa...l-gravitatorio.

Gracias!