1r ciclo Dudas sobre signos en la energia potencial.

[lindtaylor]

Para salir de las dudas de una vez con algo que me suele complicar...




Tengo unas dudas con los signos:

Si un agente externo levanta el bloque de masa m desde $A$ a $B$, el cambio en energía potencial del sistema es:

$\mathrm {d}U=- \vec F\cdot {\mathrm{d}\vec y}$$= - mg(-\hat {y})\cdot {\mathrm{d}y(-\hat y)}$ ¿se asume que siempre $dy>0$? Ese signo delante de todo lo demás, ¿por qué se pone?







Asumiendo que la bola está cargada positivamente.
Para este caso el trabajo que un agente externo debe hacer para traer una carga $q$ (se asumen positivas según tengo entendido en principio) hasta la posición $r$, es $\displaystyle W=-\int_{\infty}^r\vec F\cdot \mathrm{d}{ \vec s}=-\int_{\infty}^r Qq/r^2(-\hat r)\cdot \mathrm{d}{ \vec s}(-\hat r)$

¿Se puede suponer (para eliminar ese signo menos delante de todo lo demás) que el vector $\mathrm{d}\vec s$ tenga sentido contrario al que se ve en el dibujo, y así tener una expresión como $\displaystyle \int_{\infty}^r Qq/r^2(-\hat r)\cdot \mathrm{d}{ \vec s}(\hat r)$? Para los dos casos siempre se supone que $\mathrm{d}s$$>0$ supongo...

y una última duda, para traer una carga positiva desde el infinito, se debe efectuar trabajo para traerla hasta $r$, con una fuerza contraria a la fuerza que siente $q$ debido a la repulsión de la bola, veo sin problemas que uno debe "ir contra la corriente". Pero ahora si $q$ fuera negativa, $q$ se movería sin la ayuda de ningún agente externo hasta $r$, entonces si un agente externo quiere efectuar trabajo para traerla desde infinito hasta $r$, ¿debe efectuar una fuerza en dirección contraria a la de atracción debido a la bola sobre $q$?

Gracias por cualquier ayudilla.

[H2SO4]

Re: Dudas sobre signos en la energia potencial.

Siempre que sea el campo el que realiza trabajo ha de disminuir su energía potencial (el trabajo lo realiza a expensas de gastar parte de su energía). El trabajo que hace el campo es positivo cuando el cuerpo se desplaza en la dirección y sentido del campo. Por eso es necesario introducir ese signo menos al definir la variación de energía potencial. Lo aclaro con un ejemplo sencillo: si un campo hace un trabajo de 1000 J (positivo) su energía potencial ha de disminuir en 1000 J, es decir, la variación de energía potencial ha de ser negativa. Y un número positivo no puede ser igual a un número negativo, de ahí el signo menos.

Trabajo realizado por el campo = - Variación de energía potencial

En el ejemplo que pones, un agente externo hace trabajo para subir el cuerpo en contra del campo. El campo, en este caso, hace un trabajo negativo (fuerza actuando en sentido contrario al desplazamiento), lo que se traduce en un aumento de su energía potencial. En este caso, el trabajo hecho por el campo vale -1000 J, y la variación de la energía potencial +1000 J. Naturalmente, el trabajo neto sería -1000 (campo) + 1000 (agente externo), es decir, trabajo neto nulo, como corresponde a un movimiento en el campo con velocidad constante (variación de la energía cinética igual a cero).

La aplicación al campo eléctrico implica tener en cuenta el signo de la carga desplazada, pero la idea es la misma: si una carga positiva se desplaza en el sentido del campo, la energía potencial disminuye (es el campo el que hace el trabajo positivo para desplazarla); si es una carga negativa la que se desplaza en sentido contrario al campo, también es este el que hace el trabajo positivo (E y dr en sentido contrario, pero q negativa) disminuyendo la energía potencial.

Bueno, espero no haberte liado más

Saludos

[Cat_in_a_box]

Re: Dudas sobre signos en la energia potencial.

Hola lindtaylor,
Voy a tratar de explicarte lo del signo de la energía potencial, mejor dicho, la variación de la energía potencial con un ejemplo bastante sencillo, y verás muy bien porqué se toma el valor negativo. Fíjate, he hecho este dibujo con el que nos guiaremos:



Pues bien, supongamos que un cuerpo cae (para que sea diferente de tu ejemplo), después de haber sido lanzado horizontalmente, debido a la acción de la fuerza gravitatoria y describe una trayectoria parabólica. Consideremos pues dos puntos cualesquiera de la trayectoria: el inicial, que como ves es $O(x_0,y_0)$ y otro punto P que tiene por coordenadas: $P(x,y)$. El desplazamiento neto, $\Delta \vec r$ efectuado por el cuerpo en el descenso, desde O a P, como ves en el dibujo es:

$\Delta \vec r=(x-x_0)\hat{\imath}+(y-y_0)\hat{\jmath}$

Los desplazamientos diferenciales durante el descenso, por tanto, serán de la forma:

$d\vec r=dx\hat{\imath} +dy\hat{\jmath}$

La fuerza que actúa es: $\vec F=-mg\hat{\jmath}$ f. Por consiguiente:

$\vec F\cdot d\vec r=-mg \cdot dy$

Así pues el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria en el descenso del cuerpo entre O y P a lo largo de la trayectoria parabólica ha sido:

$W=\dst\int_O^P \vec F\cdot d\vec r=-mg\dst\int_O^P dy= -mg(y-y_0)=mgy_0-mgy$

Donde $mgy$ es la energía potencial gravitatoria en un punto a una altura y. Fíjate entonces que el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es igual a la variación negativa de su energía potencial gravitatoria, y debido a que la fuerza gravitatoria es conservativa, el trabajo realizado por la fuerza sólo depende de la posición inicial y final del cuerpo y es independiente de la trayectoria, vamos, que en tu ejemplo sería lo mismo.

Ahora bien, para este desarrollo he supuesto que el valor de g no cambia en el descenso, lo cual únicamente es cierto para alturas pequeñas en comparación con el radio terrestre. De hecho, para calcular la energía potencial gravitatoria, lo correcto sería calcular el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria ejercida por un cuerpo de masa m para traer otro cuerpo de masa m' desde el infinito hasta dicha posición, que sería:

$W=\dst\int_{\infty}^r \vec F \cdot d\vec r= -Gmm'\dst\int_{\infty}^r \dst\frac{1}{r^2}dr=-Gmm'\left[-\dst\frac{1}{r}\right]_{\infty}^r=G\dst\frac{mm'}{r}$

Y puesto que el treabajo equivale a la variación negativa de la energía potencial, entonces:

$-\Delta E_p=E_p(\infty)-E_p(r)=G\dst\frac{mm'}{r}$

Considerando que la energía potencial gravitatoria en el infinito es cero, tenemos que:

$-E_p(r)=G\dst\frac{mm'}{r}\Rightarrow E_p(r)=-G\dst\frac{mm'}{r}$

Pues la demostración es prácticamente igual para la energía potencial asociada a la interacción electrostática. Si te fijas, cuando dos cargas son de distinto signo la fuerza es atractiva, luego el signo negativo, y en consecuencia el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para acercar dos cargas de distinto signo es positivo,pues:

$F=-k\dst\frac{QQ'}{r^2} \quad W=-kQQ'\int_{\infty}^r \dst\frac{1}{r^2}dr=k\dst\frac{QQ'}{r}$

Es decir, es el campo el que realiza el trabajo de acercamiento debido al carácter atractivo de la interacción, y puesto que la fuerza eléctrica es conservativa, el trabajo sólo depende del punto inicial y el final, como antes, luego la energía potencial entre dos cargas de distinto signo es negativa, es decir, debido al carácter atractivo, la energía potencial del sistema disminuye con el acercamiento.

Fíjate que esto es totalmente congruente con el hecho de que, al ser el campo el que realiza el trabajo, lo hace a costa de disminuir la energía potencial del sistema. Como al principio la energía era cero (en el infinito), deberá adquirir valores negativos. En el caso de la gravitatoria, la energía potencial siempre es negativa, debido a su carácter exclusivamente atractivo, ¿ves?

Por el contrario, si las cargas son del mismo signo, aplicando el mismo procedimiento que te he descrito, llegarás a la conclusión que el trabajo es negativo, es decir, el trabajo realizado por la fuerza eléctrica para acercar cargas del mismo signo es negativo, lo cual significa que el campo NO realiza el trabajo de acercamiento y que, debido al carácter repulsivo de la interacción electrostática, para acercar cargas del mismo signo, debemos realizar trabajo contra el campo. Te hago el desarrollo matemático, de todas formas:

$F=k\dst\frac{QQ'}{r^2}, \quad W=\dst\int_{\infty}^{r} dst\frac{QQ'}{r^2}dr=kQQ'\dst\int_{\infty}^{r} \dst\frac{1}{r^2}dr=kQQ'\left[\dst\frac{-1}{r}\right]_{\infty}^{r}=\bold{-} k\dst\frac{QQ'}{r}$

$W=-\Delta E_p=E_p(\infty)-E_p(r)=0-E_p(r), \quad W=-k\dst\frac{QQ'}{r} \Rightarrow E_p (r)=k\dst\frac{QQ'}{r}$

Puesto que el trabajo es negativo, al acercar cargas del mismo signo, estamos aumentando la energía potencial del sistema, lo que significa que estamos incrementando la capacidad del campo de realizar posteriormente el trabajo de alejamiento de ambas cargas hasta devolverlas a sus posiciones originales. Consecuentemente, la energía potencial del sistema en este caso aumenta con el acercamiento, como corresponde a una interacción repulsiva, y en este caso es positiva.

Espero haberme explicado, todo lo dicho es extensible al campo gravitatorio y al eléctrico, como tú quieras (ten en cuenta que en el gravitatorio sólo se dan fuerzas de atracción, como te he dicho).

Es básicamente lo que te ha dicho H2SO4, simplemente es para que lo veas de dónde salen las cosas, aunque te lo ha explicado muy bien, y no sé, por lo menos a mí me ayuda verlo a través del diagrama, las ecuaciones y esas cosas

Saludos,

[lindtaylor]

Re: Dudas sobre signos en la energia potencial.

Don cat, una duda, en la primera ecuación no debería ser $\Delta \vec r=(x-x_0)\hat{\imath}-(y-y_0)\hat{\jmath}$ ya que $\hat j$ apunta hacia abajo :s.

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Re: Dudas sobre signos en la energia potencial.

Simplemente te había escrito el desplazamiento neto efectuado por el cuerpo en el descenso de O a P, es decir, hallar el vector a partir de dos puntos, origen (O) y extremo (P), es decir:

$\Delta \vec r=(x-x_0)\hat{\imath})+(y-y_0)\hat{\jmath}$

Fíjate en los puntos del dibujo y verás que la resta: $(y-y_0)<0$

Lo que hice después fue considerar los desplazamientos diferenciales durante el descenso:

$d\vec r=dx\hat{\imath} +dy\hat{\jmath}$

Como la fuerza que actúa es: $\vec F=-mg\hat{\jmath}$

Tenemos que el producto: $\vec F \cdot d\vec r$ es:

$\vec F\cdot d\vec r=(-mg\hat{\jmath})\cdot(dx\hat{\imath} +dy\hat{\jmath} )=-mgdx\hat{\jmath}\cdot \hat{\imath} + (-mg)dy\hat{\jmath} \cdot\hat{\jmath}$

Como $\hat{\imath} \cdot \hat{\jmath}=0$ pues son vectores perpendiculares y $\hat{\jmath}\cdot\hat{\jmath} =1$ entonces:

$\vec F\cdot d\vec r= -mgdy$

Pero yo al principio lo que consideré fue el desplazamiento neto, y sí, la diferencia entre $y$ e $y_0$ sería menor que cero, pero luego tomé los desplazamientos diferenciales.

Saludos,

[Cat_in_a_box]

Re: Dudas sobre signos en la energia potencial.

Lyndtaylor, lo he estado pensando y tal vez veas mejor lo del signo de la energía potencial aplicando la definición de trabajo, es decir, el producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento, y comprobando cómo el peso es una fuerza conservativa, ten en cuenta en todo momento que $E_p=mgh$. Voy a utilizar un dibujo que he hecho que es prácticamente igual que el tuyo, fíjate:



En este caso sólo actúa el peso del objeto, despreciemos el rozamiento con el aire y esas cosas. Pues bien, vamos a calcular el trabajo que realiza la fuerza (peso) entre A y B y luego de B a A, es decir, el trabajo en una línea cerrada. Por tanto, lo que haremos será:

$W^P_{A,B,A}=\dst\int_A^A \vec P\cdot d\vec r=\dst\int_{A}^{B}\vec P\cdot d\vec r + \dst\int_B^A \vec P \cdot d\vec r$


Recordemos que el trabajo realizado por una fuerza es: $W=\vec F \Delta \vec r=F\Delta r \cos \theta$. Por tanto, calculemos la primera integral:

$\dst\int_{A}^{B}\vec P\cdot d\vec r =\dst\int_{A}^{B} mg dr\cos\theta=mg\dst\int_{A}^{B}dr\cos\theta$

¿Y cuál es ese ángulo theta? Pues 180º como verás en el dibujo, es decir, el sentido de actuación de la fuerza, hacia abajo, en la dirección del desplazamiento es contrario a éste. Por tanto, la integral quedaría:

$mg\dst\int_{A}^{B}dr\cos\theta=mg\dst\int_{A}^{B}dr\cos 180=-mg\dst\int_{A}^{B} dr= \left[-mgr\right]_{A}^{B}=mgh_A-mgh_B=-\Delta E_p$

He sustituido siemplemente la r por la h para que sea la expresión de la energía potencial pero eso da igual. Por el contrario, la otra integral es:

$\dst\int_{B}^{A} \vec P\cdot d\vec r=\dst\int_A^B mg(-dr)\cos\beta$

Ves que en este caso el signo de dr según el sistema de referencia que hemos tomado y en este caso, ¿cuál es el ángulo beta? Pues 0º, es decir, la fuerza actúa en la misma dirección y sentido del desplazamiento, por lo que la integral será:

$-mg\dst\int_{B}^{A}dr\cos 0=-mg\dst\int_{b}^{A} dr= \left[-mgr\right]_B^A=-mg[r_A-r_B]=-mg[h_A-h_B]=-\Delta E_p$

Aquí llegamos al mismo resultado para la variación de la energía potencial, y nada, ya si te fijas, la integral sobre la línea cerrada es cero, es decir, el trabajo realizado por el peso a lo largo de una línea cerrada es cero, luego el peso es una fuerza conservativa:

$\dst\oint \vec P \vec dr =0$

Creo que así verás mejor los signos de la energía potencial en el caso que habías dicho tú al principio.

Saludos,

[_L_]

Re: Dudas sobre signos en la energia potencial.

Mas sencillo mira las definiciones.

$\dst W=\int_A^B dw=\int_A^B F dr$

$\dst \Delta E_p=\int_A^B d E_p=\int_A^B -Fdr=- \int_A^B Fdr=-W$

Una vez mas lo que ya te dijeron la variacion de energia potencial entre A y B es opuesta al trabajo entre A y B por definicion.