Otras carreras Flujo magnético, barra conductora, aceleración constante

[SuperJMN]

Ya habéis visto que no paro y que estoy siendo un preguntó, pero ahora el ejercicio va de flujo magnético y no veo por dónde atacarlo. Una vez más, el problema es localizar los diferenciales y saber a qué es igual cada uno.

El ejercicios es el siguiente:


¡Ayuda, por favor!

[Al2000]

Re: Flujo magnético, barra conductora, aceleración constante

Para determinar el flujo necesitas calcular la integral $\int \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S$ donde $\boldsymbol B$ es el campo producido por la corriente rectilínea, que es un campo que varía inversamente con la distancia a la corriente. Usando el sistema de coordenadas indicado en la figura, el campo en el plano de la espira vale $\dst \boldsymbol B = - \frac {\mu_0 I_0}{2 \pi y} \boldsymbol u_z$. Nota el signo menos, el campo está penetrando el plano de la figura.

Para calcular la integral, según tu gusto puedes tomar como elemento de área un cuadrito $dS = dx\, dy$ y resolver la integral doble o tomar una banda paralela a la corriente rectilínea $dS = w\,dy$, donde estoy llamando $w$ el ancho del circuito (ancho que varía en el tiempo al moverse la barra). Siendo el área plana, el sentido del vector área está indefinido y es tu elección hacia donde lo quieres considerar positivo. Por simplicidad yo elegiría el sentido del vector área el el mismo sentido que el campo, es decir, penetrando el plano del papel. Queda que $d \boldsymbol S = -w\,dy\, \boldsymbol u_z$.

Integra ahora cubriendo toda la distancia vertical:

$$\Phi_B = \int_S \boldsymbol B \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \int_{b}^{h}\! \left(- \frac {\mu_0 I_0}{2 \pi y} \boldsymbol u_z\right) \boldsymbol \cdot (-w\,dy\,\boldsymbol u_z) = \frac {\mu_0 I_0 w}{2 \pi} \ln \frac h b$$

Fíjate la discrepancia con el resultado indicado en el problema, donde han puesto $y$ en el denominador. El resultado correcto es este que te estoy indicando, el que aparece en la respuesta del problema no es dimensionalmente consistente.

Una vez que tienes el flujo, puedes usar la ley de Faraday para hallar la fem inducida:

$$\mathcal E = - \frac {d \Phi_B}{dt} = - \frac {\mu_0 I_0}{2 \pi } \ln \left(\frac h b\right) \,\frac {dw}{dt} = - \frac {\mu_0 I_0}{2 \pi } \ln \left(\frac h b\right) \,v = - \frac {\mu_0 I_0}{2 \pi } \ln \left(\frac h b\right) \,(v_0 + a t)$$

Aquí el signo menos indica que la fem inducida tienes sentido antihorario, pues al hallar el flujo consideramos el área del circuito positiva en sentido horario.

Para hallar la corriente, simplemente dividimos (2) entre la resistencia del circuito. Usando sólo el valor absoluto y recordando que la corriente lleva sentido antihorario, queda:

$$I = \frac {\mathcal E} R = \frac {\mu_0 I_0 (v_0 + a t)}{2 \pi R} \ln \frac h b$$

Finalmente, para hallar la fuerza total sobre la barra, resolvemos la integral $\boldsymbol F_m = I \int d \boldsymbol l \times \boldsymbol B$ abarcando toda la longitud de la barra para hallar la fuerza magnética y la segunda ley de Newton para hallar la aceleración:

$$\boldsymbol F_m = \frac {\mu_0 I_0 (v_0 + a t)}{2 \pi R} \ln \left(\frac h b\right) \int_{b}^{h}\! \left[(dy\, \boldsymbol u_y) \times \left(- \frac {\mu_0 I_0}{2 \pi y} \boldsymbol u_z\right)\right] = - \left(\frac {\mu_0 I_0}{2 \pi} \ln \frac h b \right)^2 \frac {v_0 + a t} R\, \boldsymbol u_x$$

$$\boldsymbol F + \boldsymbol F_m = m \boldsymbol a \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol F = - \boldsymbol F_m + m \boldsymbol a = \left(\frac {\mu_0 I_0}{2 \pi} \ln \frac h b \right)^2 \frac {v_0 + a t} R \, \boldsymbol u_x + m a \,\boldsymbol u_x$$

$$\boldsymbol F = \left[\left(\frac {\mu_0 I_0}{2 \pi} \ln \frac h b \right)^2 \frac {v_0 + a t} R + m a\right] \,\boldsymbol u_x$$

Comparando con la solución indicada en el problema, está claro que tomaron $v_0 = 0$.

Saludos,

Al

[SuperJMN]

Re: Flujo magnético, barra conductora, aceleración constante

Increíble. He hecho el problema totalmente gracias a ti. ¡Quién hubiera tenido la feliz idea en ese momento de que $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \mathrm{v}$, jajaja. Ni me había dado cuenta. Y también la derivada del flujo, que no lo veía a la primera ¡muchísimas gracias!

Ahora estoy con otro problema. Espero no tener muchas dudas. Estoy aprendiendo mucho gracias a ti, Al.

¡Un saludo desde España!