Divulgación Energía-capacitor-dielectrico

[natanael]

Esto está bastante largo, así que si tienes insomnia, leerse todo esto es la cura.

Los condensadores son un tema que causa mucho dolor de cabeza, por ejemplo miren un ejercicio del resnick: a un condensador de placas paralelas de area $\dst A$ separadas una distancia $\dst d$ le conectan una batería que carga las placas hasta una diferencia de potencial $\dst V_0$, desconectan la batería e introducen un dielectrico del mismo ancho $\dst d$, y después quieren que calcule la energía almacenada antes y después de que metieron el dielectrico y una explicación del porque hay menos energía cuando metieron el dielectrico.

El problema está resuelto por el mismo libro y quiero enfocarme en la parte de la explicación del porque hay menos energía con el dielectrico. El libro dice que esa diferencia de energía se debe al trabajo realizado al momento de introducir el dielectrico dentro del condensador y versiones posteriores del libro indican que si se introdujera sin ningún esfuerzo y no existiera fricción, entonces el dielectrico oscilaría de un lado al otro entre las placas.

Mi pregunta es..... Porqué?

Mi duda radica es en la geometría del campo electrico, si ellos utilizan un campo de la forma $\dst E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$, entonces se estaría considerando el campo electrico generado por dos placas paralelas e infinitas, como por ejemplo dos planos $\dst z_1+1=0$ y $\dst z_2-1=0$, aquí el campo electrico estará contenido en un ortoedro de altura 2 en la dirección de Z, largo y ancho infinitos, por lo tanto, al considerar un capacitor de area $\dst A$ y distancia de sepración $\dst d=z_2-z_1$, que se carga y luego se desconesta de la batería, lo que estaríamos haciendo realmente, al usar el campo $\dst E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$, es encerrar al campo electrico original (dos placas infinitas) en una especie de superficie Gaussiana (imaginaria y cerrada, un ortoedro). Si partieramos con un dielectrico en un punto que no es el centro del condensador pero que si está entre las placas, entonces tendríamos que $\dst \vec{E}$ y por lo tanto $\dst \vec{F}$ es siempre es perpendicular a la trayectoria seguida para introducir el dielectrico desde su posicion inicial hasta dentro del condensador, y hasta donde yo tengo entendido el trabajo realizado es $\dst W=\mathrm{e}^{i\pi}+1$, es decir cero.



Pero... un modelo más realista sería un campo electrico que, cerca de los bordes de esta superficie Gaussiana (ortoedro), presentara lineas de campo curveadas, y esta variación sería mayor a madida que nos alejamos del condensador. Si hacemos el mismo experimento hipotético de desplazar el dielectrico de una posición diferente del centro geometrico del condensador hasta el mismo, pero manteniedo al dielectrico simpre encerrado entre los planos ya mensionados, entoces tendríamos una $\dst \vec{F}$ y un $\dst \dd \vec{r}$ cuyo ángulo interno vá a variar a medida que se introduce dentro del condensador, y se pudiera decir cualitativamente que se produce un trabajo diferente de cero.



Ambos razonamientos parten del hecho de que se produzca esa fuerza neta o "tirón", que tampoco entiendo su origen ya que por la simetría del problema las cargas netas en los bordes del dielectrico que, además de originar el campo de polarización, hacen que ciertamante se produzca una fuerza mecanica cuando llegan al borde y no pueden escapar por no poder vencer el trabajo de extracción requerido, pero.... acaso esa misma fuerza no se anularía con las cargas opuestas tratando de hacer lo mismo pero en sentido contrario en el borde opuesto del dielectrico?, aparte de esto, supongamos que se produce dicha fuerza neta o "tirón", es o no es perpendicular a la trayectoria seguida?.



El punto al que quiero llegar es que si esta fuerza existe en el mundo real (que debe de existir), yo entendería que dicha fuerza relice trabajo al haber desplazamiento, si y solo sí ésta pertenece a un campo vectorial que se parezca a la imagen que saqué del Hayt (libro de electromagnetismo, imagen de arriba), pero el que se está utlizando para calcular dicha diferencia de energía antes y después de introducir el dielectrico es un campo de la forma $\dst E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$, y corresponde más o menos al campo representado en el video, es decir, todas la lineas de fuerza paralelas entre sí hasta el infinito y limitadas por los planos ya mensionados.

Bueno ya creo que he dado a entender mi duda, si alguien sabe en qué está mal en todo éste razonaminto, por favor, abajo hay un botonsito que dice responder, solo hay que pincharlo y desahogarse .

[Al2000]

Re: Energía-capacitor-dielectrico

Perdón, no me quedó muy clara tu duda... ¿podrías repetirme la pregunta?

Hablando en serio, ¿tu duda es que por qué se hace el cálculo con el campo para el caso idealizado? Si es así, supongo que la respuesta es por lo mismo que se idealiza cualquier situación, para simplificar cálculos de una situación que es mucho mas complicada.

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Energía-capacitor-dielectrico

¿tu duda es que por qué se hace el cálculo con el campo para el caso idealizado?

No exactamente pero sí. La cuestion es que la explicación que dá el libro de fisica resnick o practicamente todos, ya que es un problema típico, es que la diferencia de energía antes y despues de introducir un dielectrico entre las placas de un condensador cargado es, que se hizo un trabajo al tratar de introducirlo, y ese trabajo realizado es la razón del porqué existe una diferencia de energía almacenda en el condensador antes y después.

Otra cosa que no mensioné es que el mismo libro enfatiza que en cada desarrollo de las fórmulas, se desprecia la curvatura en los extremos del campo eléctrico y son esas mismas formulas las utilizadas en resolver el problema cuantitativamente, por ejemplo la energía inicial $\dst U_0=\frac{1}{2}C_0V_0^2$ parte de que $\dst V_0=Ed$ donde $\dst E$ es constante e inplica que las fuerzas o el "tirón" como lo llama el libro, que se produzcan en el dieléctrico son también paralelos a $\dst \vec{E}$ y sí se desplazara hasta el centro partiendo de cualquier punto pero siempre entre los planos formados por las placas, entonces no se realizaría trabajo por ser siempre perpendiculares los vectores $\dst \vec{F}$ y $\dst \dd \vec{r}$.

Una pregunta Bonus sería, Y que pasa con el campo de polarización?, es decir en la mayoría de los libros hablan de que en los dilectricos existe un trabajo realizado $\dst W=\int_{\theta_0}^\theta\tau\dd \theta$ cuando el momento dipolar de un dipolo trata de orientarse en la dirección del campo, es decir, cuando se carga el condensador se crea un campo $\dst \vec{E}_0$, luego que se introduce el dielectrico, obviamente si existe alineación de cada dipolo en dirección de $\dst \vec{E}_0$, entonces debe haber un desplazamiento angular y debe relizarse trabajo que queda almacenado como campo de polarización. Mi pregunta es: ¿Si este trabajo existe realmente, porqué no lo toman en cuenta en las explicaciones del porque exite una diferencia de energía antes y después de introducir el dielétrico en un condensador?

[Al2000]

Re: Energía-capacitor-dielectrico

Grrr, borré accidentalmente todo lo que había escrito. Te telegrafío las ideas básicas:

- El agente externo no hace trabajo para introducir el dieléctrico, es el condensador el que hace trabajo sobre el agente externo. Puesto de otra forma, hay que hacer trabajo para extraer el dieléctrico.
- La energía del condensador se puede obtener en forma general, sin hacer referencia a que el campo sea constante.
- La fuerza de "tirón" la puedes visualizar en la tercera imagen que pegaste. Nota como el campo en el exterior del condensador produce una fuerza con una componente hacia el interior.
- El efecto de la polarización del dieléctrico lo tomas en cuenta cuando consideras el aumento de la capacidad (o el aumento de la permitividad eléctrica, como prefieras).
- Pareces implicar que hace falta energía para polarizar el dieléctrico. Es al revés, un dieléctrico pierde energía cuando se polariza en un campo externo, la situación de los dipolos alineados en el campo es menos energética.

Saludos,

Al

[natanael]

Re: Energía-capacitor-dielectrico

Bueno, gracias Al por ayudarme a resolver el dilema, ayer pasé todo el día pensando en tu respuesta, para ser sincero, no me convencía mucho, así que me puse a buscar en internet y encontré más de lo que yo esperaba, bueno ya cierro el pico porque en estas dos paginas aquí y aquí, explican específicamente la duda que tenía, y definitivamente explican exaustivamente que si existe dicha fuerza y al parecer la geometría del campo electrico no influye en la energía almacenada en el condensador. Sin embargo me sigue intrigando esto que dijiste:

- Pareces implicar que hace falta energía para polarizar el dieléctrico. Es al revés, un dieléctrico pierde energía cuando se polariza en un campo externo, la situación de los dipolos alineados en el campo es menos energética.

Todavía no logro entenderlo, ya que si quieres polarizar un dieléctrico, entonces sobre cada dipolo tiene que haber una fuerza y obviamente un desplazamiento para porder alinearlo, aquí es donde no entiendo como esto no implicaría realizar un trabajo.

A esta cosa le sumo la pequeña diferencia que existen en las explicaciones del porque hay una diferencia de energía, por ejemplo en ésta pagina, aquí, dicen textualmente que:

Podemos preguntarnos como se disipa energía si el sistema está aislado. La razón es que el proceso de polarización de un dieléctrico es un proceso exotérmico. Al inducir y rotar los dipolos del material, se producen fenómenos de rozamiento microscópico, que, o bien se liberan al exterior en forma de calor, o bien incrementan la temperatura del material.

Y luego en esta otra proponen un experimento de un oscilador donde la energía electrica es intercambiada con la cinética, dice:

Una pieza de material dieléctrico es atraída hacia el interior del condensador, su energía potencial eléctrica se convierte en energía cinética. Alcanza la máxima velocidad cuando ocupa todo el espacio entre las placas y luego, comienza a salir, su energía cinética se convierte en potencial eléctrica y así sucesivamente.

También mensionan en esa pagina por todas partes que en el caso de que la carga se mantenga constante (desconectan la batería), entonces es el aumento de la capacidad (a medida que se introduce el dielectrico), la razón del porque disminuye la energía.

Bien podrían ser verdaderas las tres razones del porque existe esa diferecia de energía antes y después de introducir el dilectrico, sin sumar la del resnick (que es la del agente externo realizando trabajo negativo, o el sistema completo realizando trabajo positivo sobre el dielectrico), sin embrago aún me queda un caso especial que he omitido en esta larga discusión, el caso que me expuso mi profesor de fisica general, dice él, entonces que pasaría si fueramos dios y midieramos la energía inicial, $\dst U_0$, almacenada en el condensador cargado y desconectado de la batería, entonces luego hiciéramos aparecer el dielectrico dentro del condensador instantáneamente (manteniendose la carga constante), obviamente la nueva energía almacenada en el condensador sería $\dst U=\frac{1}{\kappa}U_0$, entonces en ambos casos (caso en que se introduce el dielectrico desplazandolo hasta dentro del condensador, y caso en que aparece instantáneamente) existe una diferencia de energía, por eso es que insisto tanto en que debe haber una razón única a dicho fenómeno.