Otras carreras Problema con aceleración en coordenadas cilíndricas

[calculina]

Hola a todos!

Tengo un problema que me gustaría resolver y no veo cómo, es fácil pero me salen unas cuentas que creo que me estoy confundiendo, si alguien pudiera resoverlo se lo agradecería muchisimo!!

el problema es este: un punto tiene una aceleración en coordenadas cilíndricas(-1,0,0)
en el instante inicial su posición es (1,0,1) y su velocidad es (0,1,0). Calular la expresion del ángulo θ en función del tiempo y las ecuaciones de la trayectoria en función del tiempo.

Os agradecería mucho si alguien sabe resolverlo, además me urge pero bueno si alguien puede bien si no os lo agradezco igualmente.

Un saludo.

[polonio]

Re: Problema con aceleración en coordenadas cilíndricas

Te doy las expresiones de la posición, la velocidad y la aceleración en coordenadas cilíndricas y te pones a trabajar en ello porque no sé exactamente dónde tienes dudas:

$$\dst \vec{r}=\rho \vec{u}_\rho +z \vec{u}_z$$

$$\dst \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r} }{\mathrm{d}t } =\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}t } \vec{u}_\rho +\rho\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t } \vec{u}_\phi+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t }\vec{u}_z$$

$$\dst \vec{a}=\frac{\mathrm{d^2}\vec{r} }{\mathrm{d}t^2 } =\left[ \frac{\mathrm{d^2}\rho }{\mathrm{d}t ^2}-\rho\left(\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t } \right)^2 \right] \vec{u}_\rho +\left[ 2\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t }\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t }+\rho \frac{\mathrm{d^2}\phi }{\mathrm{d}t ^2}\right]\vec{u}_\phi+\frac{\mathrm{d^2}z}{\mathrm{d}t^2 }\vec{u}_z$$

Aplicando las condiciones del problema (iguala a aceleración a la que te dan como dato y obtendrás unas ecuaciones diferenciales fáciles de integrar con las condiciones iniciales que también te dan) y podrás resolverlo.

¡A trabajar! (si sigues con dudas, pregunta).

[calculina]

Re: Problema con aceleración en coordenadas cilíndricas

Hola, gracias por la respuesta. Una duda me ha surgido, a ver, por ejemplo cuando uso los datos de la velocidad INCIAL (0,1,0) en cilíndricas igualo d ro/dt=0 \Rightarrowr=cte vale esto siempre es así, luego tengo que igualar ro* d\theta /dt =1 y así ya puedo luego sacar los datos que me interesa. El problema que tengo es que creo que igualar ro* d\theta /dt a 1 es erróneo porque esto es solo así en el instante inicial. Supongo que es un fallo de concepto porque tiene que ser así para obtener los otros datos pero es que no entiendo por qué. Agradecería mucho una respuesta, me urge. Muchas gracias, saludos.

[polonio]

Re: Problema con aceleración en coordenadas cilíndricas

No, que en un instante dado la velocidad sea $(0,1,0)$, significa que en ese instante la velocidad lleva la dirección de $\dst \vec{u}_\phi$ y tiene, también en ese instante, módulo unidad, ¡pero no que $\rho$ ni $z$ sean constantes!

Lo que tienes que hacer es usar los valores iniciales para integrar:

$$\dst \int _{(\rho_0, \phi_0, z_0)} ^{(\rho(t), \phi(t), z(t))}\mathrm{d}\vec{r}=\int _{t_0} ^{t}\vec{v} \mathrm{d}t$$

Y antes tienes que hacer lo mismo para la velocidad a partir de la aceleración.

Si te lías con la integral vectorial, haz las integrales componente a componente.