Otras carreras problema de sistema de poleas

[oliver23]

Hola, tengo que entregar un par de ejercicios para la nota final de la asignatura, y este es uno de ellos, he intentado abordarlos con la mecánica de newton, usando fuerzas, el momento de inercia del disco (polea) y usando energías también.


Se considera una masa m que cuelga de la ultima polea de una serie de n poleas como viene indicada en la figura.
La cuerda se considera masa despreciable y hay mucha de ella enrollada en la primera polea.
La masa de cada una de las poleas es igualmente m y el radio de cada una de ellas es R.
La masa esta inicialmente a una altura h.



a) Determinar la velocidad con la que llega al suelo la masa así como la velocidad angular de las poleas en ese momento. Determinar la energia cinética de la masa y de cada una de las poleas.

b) En ese movimiento uniformemente acelerado, ¿qué aceleración ha sufrido la masa?

c) Determinar el valor de todas las fuerzas que actúan sobre la última polea (de la que cuelga la masa)

d) ¿Qué vale la aceleración de la masa cuando n tiende a infinito ? ¿Por qué?

Dan como dato el momento de inercia de un disco de masa m y radio R:

I = 1/2mR^2

Saludos y espero que me podáis despejar las dudas que tengo y resolverlo correctamente.

[Al2000]

Re: problema de sistema de poleas

El dibujo de la polea contigua a la masa está chistoso Voy a suponer que se puede usar el principio de conservación de la energía y tratemos de responder cada cosa.

a) Cuando la masa baja, su energía potencial ($m g y$) se convierte en energía cinética tanto de la masa ($\frac 1 2 m v^2$) como de las poleas ($\frac 1 2 I \omega ^2$). Considerando la cuerda inextensible y que no resbala en las poleas, la velocidad lineal de la masa, que es la velocidad lineal de la cuerda, se relaciona con la velocidad angular de las poleas por $v = \omega R$. Entonces, si hay $n$ poleas, podemos escribir, al momento de llegar al suelo, que

$$m g h = \frac 1 2 m v^2 + n \cdot \frac 1 2 I \omega ^2 = \frac 1 2 m v^2 + \frac n 2 \cdot \frac 1 2 m R^2 \cdot \left(\frac v R\right)^2$$

Cancelando los radios y las masas, se obtiene

$$v=\sqrt {\frac {4 g h}{n+2}}$$

Las otras cantidades pedidas salen inmediatamente al tener la velocidad.

b) Como nos aclaran que es un movimiento uniformemente acelerado y no hay ninguna razón para pensar otra cosa, la aceleración la podemos calcular a partir de la velocidad con la conocida relación $v_f^2 = v_0^2 + 2 a x$:

$$v^2 = 2 a h = \frac {4 g h}{n+2} \quad \Rightarrow \quad a = \frac {2 g} {n+2}$$

c) Esta pregunta me la voy a saltar, pues la respuesta precisa depende del dibujo (chistoso) de la polea. De todas formas podemos comentar como son las fuerzas. Las tensiones de la cuerda de cada lado de la polea difieren en una cantidad igual al torque sobre la polea. La tensión del lado del cuerpo se obtiene de la aplicación de la segunda ley, $m g - T_1 = m a$. La tensión del lado de las poleas se obtiene de manera similar, $(T_1-T_2) R = I \alpha$, donde $\alpha = a/R$. La reacción en el apoyo ya depende de la geometría del dibujo.

d) Cero. Necesitarías una energía infinita para poner en rotación infinitas poleas.

Saludos,

Al