1r ciclo Ángulo en el que se deja de tener contacto

[warmetal]

Una masa m está colocada sobre una cúpula semiesférica de hielo cuyo radio es R. Si empieza a resbalar desde el reposo, ¿en qué valor del ángulo que forma R con la horizontal deja de tener contacto con el hielo?

He impuesto como condición que la componente del peso dirigida hacia la mitad de la semiesfera sea igual a mv^2/R, con lo que me ha quedado una expresión de la energía en la que aparece sólo la masa, g, R y el seno del ángulo.

Mi pregunta es con qué tengo que igualar para despejar el seno. Es decir, qué debe de cumplir la expresión que he hallado mientras está en contacto el cuerpo con la cúpula.

Gracias!

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Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Hola warmetal,

Para que te guíes en la resolución que te propongo, voy a fijar el origen en el centro del circulo, es decir, voy a tratar el problema como un movimiento en dos dimensiones, es decir, consideraré la masa m como una partícula puntual que se desliza por la superficie esférica pero sin rodar. De igual modo, ya que el enunciado no dice nada, supondré que hay rozamiento.

Por tanto, ya que no actúan fuerzas disipativas, podemos aplicar el principio de conservación de la energía mecánica. Veamos, en el punto O, en la cima de la cúpula, la masa m tendrá cierta energía potencial. A medida que vaya descendiendo, esta energía potencial se irá transformando en energía cinética. Llamemos A al punto en el cual la partícula deja de estar en contacto con la cúpula. En dicho punto, la partícula tendrá tanto energía cinética como potencial. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, tenemos que:

$$E_{m_{0}}=E_{m_{A}}\Rightarrow E_{p_{0}}=E_{p_{A}}+ E_{c_{A}} \Rightarrow \not{m}gh_0=\not{m}gh_A+\dst\frac{1}{2} \not{m} v^2_A$$

La altura en el punto A la obtienes fácilmente por trigonometría, y de acuerdo a mi sistema de referencia (y origen de potenciales), dicha altura es:

$$h_A=R\cos\theta$$

De modo que si sustituimos (2) en (1), tenemos que:

$$gR=gR\cos\theta+\dst\frac{v^2_A}{2}$$

Ahora viene lo que has hecho, descomponer el peso. Como bien dices, en el punto A (no exactamente a la mitad de la semiesfera), la fuerza centrípeta será igual a la componente normal del peso. Recuerda que la condición para que deje de estar en contacto con la superficie es que la normal en dicho punto sea cero. De modo que obtienes la siguiente relación:

$$\not{m}g\cos\theta=\not{m}\dst\frac{v^2_A}{R}\Rightarrow g\cos\theta=\dst\frac{v^2_A}{R}$$

Por tanto, la energía mecánica en el punto A, donde se separa es, es:

$$v^2_A=Rg\cos\theta \Rightarrow E_{m_{A}}=mg\cos\theta R+\dst\frac{1}{2} mRg\cos\theta$$

Y como la energía se conserva, iguala a la energía potencial que tenía en O:

$$E_{m_0}}=E_{m_{A}} \Rightarrow Rg=g\cos\theta R + \dst\frac{Rg\cos\theta}{2}\Rightarrow \not{2R g}=\not{2Rg}\cos\theta +\not{Rg}\cos\theta$$

De donde obtienes finalmente:

$$2=2\cos\theta+\cos\theta\Rightarrow 3\cos\theta=2\Rightarrow \boxed{\boxed{\cos\theta=\dst\frac{2}{3}}}$$

El ángulo lo calculas ya fácilmente, pero la relación es esa. Si tienes alguna duda con el sistema de referencia o la notación pregunta y te adjunto un dibujito si no lo ves muy claro. Espero que el enunciado sea ese y no intervengan cosas como el rozamiento, que si la masa rueda, etc etc.

Saludos,

PD: ¡todo esto está calculado para un ángulo respecto a la vertical! ¡Ojo! Mira la respuesta de Ángel.

[angel relativamente]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Vaya, después de estar 1 hora con el problema veo que se me adelantó el gato. Estamos en paz por las veces que me he adelantado yo

$h_A=R\cos\theta$

¿No sería $h_A=R\sin\theta$?

Así he ido operando yo, y he llegado a:

$\cos \theta =2-2\sin \theta$

Que despejando queda (si no he operado mal ya que he ido muy rápido):

$\theta=\arccos\left(\dfrac 45\right)$

¿Me confundo yo o te confundes tú? ¿O nos confundimos los dos?
¡Saludos!
Ángel

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Pues según mi dibujo no

Puedes expresarlo en función del seno, pero lo que he hecho ha sido esto:

$$h_A=R\sin\left(\dst\frac{\pi}{2}-\theta\right)=R\cos\theta$$

Por simplificar las cosas, vaya

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto



Ahí va el dibujo para salir de dudas...

[angel relativamente]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Llamadme cazurro, pero no llego a comprenderlo. Según yo veo lo que tu calculas es el ángulo que forma con la vertical, pero te pide con la horizontal. Mira esta imagen y fíjate en el primer cuadrante. Es evidente y bien lo muestra que la altura será $h_A=R\sin \theta$. Así lo veo yo, corregidme si me equivoco
¡Saludos!

PD: Viendo el dibujo me has confirmado que has considerado $\theta$ como el ángulo formado con la vertical. De todos modos nuestros ángulos deberían de sumar 90º y no se da el caso voy a ver en qué operación me he confundido

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Vale, ''pa'' cazurro yo. No sabía a lo que te referías. Sí, yo lo he calculado respecto al ángulo que forma R con respecto a la vertical. Ay ay ay...qué espeso ando. Eso me pasa por no leer detenidamente las cosas.

[angel relativamente]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Bien, estaban mal mis cálculos. He cometido el error del que me quejaba, pues aunque he considerado $h_A=R\sin \theta$ luego he hecho al igual que tú:

$P_y=mg\cos \theta$



Lo correcto sería:

Siendo v=$\dst \sqrt{2gR(1-\sin\theta)}$ (calculando tal y como lo ha hecho cat)

Tenemos que:

$\not{m}g\sin\theta=\not{m}\dst\frac{v^2_A}{R}\Rightarrow \not{g}\sin\theta=\dst\frac{2\not{g}\not{R}(1-\sin\theta)}{\not{R}} \Rightarrow 3\sin \theta=2 \qquad \Rightarrow \qquad \theta=\arcsin\left(\dfrac 23\right)$

Y ahora sí que se cumple que las soluciones de cat y la mía suman 90º

¡Saludos!

Eso me pasa por no leer detenidamente las cosas.

Parafraseando a mi profesora de física cuando le pasaba una cosa similar:

<<El problema está muy bien mal hecho>>

[warmetal]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Muchas gracias!! Sólo que yo he calculado con respecto a la horizontal y me ha salido que el seno de teta vale 2/3. Tendré que revisar...

[warmetal]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Vale, no me he equivocado, qué espeso estoy yo también jaja

[angel relativamente]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Muchas gracias!! Sólo que yo he calculado con respecto a la horizontal y me ha salido que el seno de teta vale 2/3. Tendré que revisar...

De hecho, eso es lo que sale. Si te fijas en mi último mensaje es justamente lo que digo:

$\theta=\arcsin\left(\dfrac 23\right)$

¡Saludos!

Vale, no me he equivocado, qué espeso estoy yo también jaja

Ea

[Nightcrow]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Hola!... perdón por entrometerme.. pero saben cómo resolverlo únicamente por dinámica? Lo vi hecho en el libro de Spiegel, creo que usando ecuaciones diferenciales con las leyes de Newton, pero no explicaba mucho los pasos u.u

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Hola!... perdón por entrometerme.. pero saben cómo resolverlo únicamente por dinámica? Lo vi hecho en el libro de Spiegel, creo que usando ecuaciones diferenciales con las leyes de Newton, pero no explicaba mucho los pasos u.u

Sí, este ejercicio se puede resolver ''fácilmente'' por dinámica. Como apuntas, tienes que resolver una pequeña ecuación diferencial, pero nada complicada. Ahora mismo no tengo mucho tiempo, pero mañana subiré la solución del ejercicio tratado desde un punto de vista exclusivamente dinámico, pues el procedimiento es algo largo y sobre todo engorroso de escribir en LaTeX, pero bueno, al menos veremos otra forma de resolverlo y sin hacer uso del principio de conservación de la energía mecánica

Saludos,

[Cat_in_a_box]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Hola de nuevo,

Bueno, lo prometido es deuda, resolvamos el problema desde un punto exclusivamente dinámico, es decir, sin hacer uso del principio de conservación de la energía mecánica. Antes de continuar con la resolución del problema, adjunto el diagrama con el que nos guiaremos en la resolución del mismo:



He puesto dos ángulos diferentes para facilitar un poco los cálculos, después daré la solución en función del ángulo que forma con la horizontal.

Lo que he hecho es analizarlas fuerzas que actúan sobre la bolita en el punto A, donde deja de tener contacto con la superficie. Como vemos, las fuerzas que actúan son la normal y el peso. Seguidamente, he descompuesto el peso en su componente radial y en su componente tangencial. Con todo ello, podemos aplicar la segunda ley de Newton:

$$\dst\sum_{i=1}^n \vec F_i = m\vec a \Rightarrow \vec P + \vec N=m\vec a \Rightarrow \vec P_x + \vec P_y +\vec N=m(\vec a_n + \vec a_t)$$

Donde $a_n, a_t$ son la aceleración normal y la aceleración tangencial respectivamente. Veamos qué ocurre en cada eje:

$$\vec P_y + \vec N = m\vec a_n \Rightarrow P_y-N=m\cdot a_n$$

$$\vec P_x= m\vec a_t$$

Podemos expresar cada componente del peso en función del ángulo $\theta$ de modo que tenemos:

$$mg\cos\theta - N = m\dst\frac{v^2}{R}$$

$$mg\sin\theta =ma_t \Rightarrow a_t=g\sin\theta$$

Ahora bien, a medida que la bolita se desplaza desde el punto O al A, ¿es el ángulo que forma con la vertical constante? Pues como que no, así que eso lo tendremos en cuenta más adelante. Mientras tanto, pensemos que si en A se despega de la superficie, entonces la normal en dicho punto será cero, luego:

$$g\cos\theta=\dst\frac{v^2_A}{R}\Rightarrow \boxed{\cos\theta=\dst\frac{v^2_A}{Rg}}$$

Por tanto, cuando el coseno del ángulo que forma con respecto a la vertical valga el cuadrado de la velocidad en el punto A partido del radio por la aceleración de la gravedad, la bolita se ''despegará'' de la superficie. Ahora bien, ¿cuál es la velocidad en A?

Aquí es donde viene la famosa ecuación diferencial que se mencionaba en un post anterior. Partamos de lo siguiente. Definimos la aceleración tangencial como:

$$a_t=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t }$$

Por tanto:

$$a_t=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d}t }\rightarrow \mathrm{d}v=a_t\mathrm{d}t\Rightarrow \mathrm{d}v=g\sin\theta \mathrm{d}t$$

Aquí tenemos la ecuación. Para resolverla simplemente hemos de integrar:

$$\dst\int_{0}^{v_A} \mathrm{d}v=\dst\int_{t=0}^{t_A}g\sin\theta\mathrm{d}t$$

Antes de continuar integrando, tengamos en cuenta una cosa que ya hemos mencionado. ¿Es el ángulo constante? No, está variando a lo largo del tiempo, luego podemos cambiar el diferencial de t por el diferencial del ángulo del siguiente modo:

$$\omega=\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}\Rightarrow \mathrm{d}t=\dst\frac{\mathrm{d}\theta}{\omega}$$

Sustituyendo tenemos la siguiente integral:

$$\dst\int_{0}^{v_A}\mathrm{d}v=\dst\frac{g}{\omega}\dst\int_0^{\theta_A}\sin\theta\mathrm{d}\theta\Rightarrow \dst\int_{0}^{v_A}\omega\mathrm{d}v=g\dst\int_{0}^{\theta_A}\sin\theta\mathrm{d}\theta$$

Teniendo en cuenta la relación entre la velocidad lineal y la velocidad angular, tenemos que:

$$v=\omega R\Rightarrow \omega=\dst\frac{v}{R}\Rightarrow \boxed{\dst\int_{0}^{v_A}\dst\frac{v}{R}\mathrm{d}v=g\dst\int_{0}^{\theta_A}\sin\theta\mathrm{d}\theta}$$

Si resolvemos esas integrales, tenemos que:

$$\dst\frac{1}{R}\dst\int_{0}^{v_A}v\mathrm{d}v=g\dst\int_{0}^{\theta_A}\sin\theta\mathrm{d}\theta$$

$$\dst\frac{1}{R}\left[\dst\frac{v^2}{2}\right]_{0}^{v_A}=g\left[-\cos\theta\right]_{0}^{\theta_A}\Rightarrow \dst\frac{v^2_A}{2R}=-g\cos\theta_A +g$$

Despejando el coseno del ángulo en el punto A, tenemos que:

$$\cos\theta_{A}=-\dst\frac{\dst\frac{v^2_A}{2R}-g}{g}=-\dst\frac{v^2_A-2Rg}{2Rg}$$

Pero ese coseno ya lo habíamos determinado en (6), luego podemos igualar ambas expresiones, obteniendo la velocidad en el punto A:

$$\dst\frac{v^2_A}{Rg}=-\dst\frac{v^2_A-2Rg}{2Rg}\Rightarrow \boxed{v^2_A=\dst\frac{2}{3}Rg}$$

Por tanto, si sustituimos en (6):

$$\cos\theta=\dst\frac{v^2_A}{Rg}=\dst\frac{\dst\frac{2}{3}Rg}{Rg}\Rightarrow \boxed{\cos\theta=\dst\frac{2}{3}}$$

Pero eso es respecto al ángulo que forma con la vertical. Entonces, como el problema nos lo pide para la horizontal, hemos de encontrar la relación entre estos dos ángulos. Obviamente, ambos suman noventa grados, luego:

$$\theta+\varphi =\dst\frac{\pi}{2}$$

Los dos ángulos son complementarios, luego sus razones trigonométricas estás ''cambiadas'', es decir, el seno de uno será el coseno del otro y viceversa.

Concluimos pues, que para que la bolita deje de tener contacto con la superficie, debe formar un ángulo con respecto a la horizontal igual a:

$$\boxed{\boxed{\sin\varphi=\dst\frac{2}{3}\Longrightarrow \varphi=\sin^{-1}\left(\dst\frac{2}{3}\right)}}$$

Así sería pues, la forma de resolver el ejercicio sin utilizar la conservación de la energía mecánica. Es una forma más larga y pesada, y por qué no, algo más compleja, pues lo primero que hay que hacer, es entender el movimiento. Si hay algún errorcillo, pido disculpas, y si a alguien se le ocurre otra forma, mejor que mejor

Saludos,

[angel relativamente]

Re: Ángulo en el que se deja de tener contacto

Solo tengo una palabra.
¡Impresionante!
Jamás se me hubiese ocurrido ese planteamiento

PD: En (5) te has comido una rica masa. En (6) te has comido un radio y has escupido un 2.
¡Saludos!