1r ciclo Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

[Caballero777]

Estimados, no logro resolver el siguiente problema.

Se suelta un objeto pequeño desde A partiendo del reposo y el mismo desliza con
rozamiento por el camino circular hacia abajo. Si el coeficiente de rozamiento es f = 1/5, determinar la velocidad del objeto al pasar por B.

SUGERENCIA: Hallar la ecuación de movimiento en función de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y resolverla haciendo el cambio de variable [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .



Aplicando Newton en las 2 direcciones (radial y tangencial), llego a que la ecuación de movimiento es:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Tengo la sospecha de que estoy resolviendo mal la anterior ecuación diferencial por eso no llego al resultado correcto.

Agradezco me puedan orientar.

El resultado es: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Nota: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos!
C777

[polonio]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

A mí me sale en componente tangencial:

$$\dst -f +P \cos(\theta) = mR\ddot \theta$$

Y al normal:

$$\dst N -P \sin(\theta)=mR\dot \theta ^2$$

Sospecho que has sumado la componente normal a la tangencial y alguna otra mezcla extraña...

Para evitar tales problemas haz el problema paso a paso y no buscando una solución inmediata (para la cual hace falta mucha experiencia y, aun así, uno se equivoca): (1) dibuja todas la fuerzas, (2) expresa la segunda ley de Newton de forma vectorial, (3) proyecta las fuerzas en las direcciones adecuadas (en este caso las intrínsecas: tangencial y normal; ¡dibújalas!) ayudándote del dibujo y (4) toma cada componente por separado (pues son ortogonales) y tendrás ecuaciones independientes que te permitirán resolver el problema.

[Caballero777]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Atenti polonio que $f$ no es la fuerza de rozamiento, sino el coeficiente. Y la ecuación que expuse sale sí, de combinar ambas ecuaciones para hallar la ec. de movimiento y el problema está ahí, tengo que resolver la ecuación que escribí, haciendo el cambio de variable sugerido, pero no logro hacerlo...

[arivasm]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Yo también he intentado hacer el ejercicio y confirmo la ecuación de Caballero777: $\frac{\dd^2 \theta }{\dd t^2} = \frac{g}{R}\left(\cos \theta - f \sin \theta \right)-f\left(\frac{\dd \theta }{\dd t } \right)^2$. El problema está en la resolución de la ecuación diferencial, al menos para mí.

[polonio]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Entonces debes tener cuidado (o el que haya puesto el problema) y no poner el coeficiente en el dibujo donde deber ir la fuerza de rozamiento. Escribo bien las ecuaciones (editar el mensaje anterior sería liar la cosa y nadie entendería el hilo ni vería cómo un mal enunciado puede liar ):

$$\dst -fN +P \cos(\theta) = mR\ddot \theta$$

$$\dst N -P \sin(\theta)=mR\dot \theta ^2$$

Efectivamente, de la ecuación (2) puedes despejar $N$ y sustituir en (1) obteniendo la ecuación:

$$\dst mR \ddot \theta +fmR\dot \theta=P\cos(\theta)-fP\sin(\theta)$$

(que es la ecuación de movimiento que ponías tú inicialmente algo más ordenada).

Vamos a hacer el cambio que nos proponen:

$$\dst u(\theta)=\dot \theta ^2 \, \to \, \dot \theta=\sqrt{u}$$

Usando la regla de la cadena:

$$\dst \ddot \theta = \frac{\dd \dot \theta}{\dd t}=\frac{\dd \dot \theta}{\dd\theta}\frac{\dd\theta}{\dd t} =\frac{\dd \sqrt{u}}{\dd\theta}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\dd u}{\dd\theta}\sqrt{u}=\frac{1}{2}\frac{\dd u}{\dd\theta}$$

Sustituyendo en (3) nos queda una ecuación diferencial de primer orden:

$$\frac{1}{2}mR\frac{\dd u}{\dd \theta}+fmRu=P(\cos(\theta)-f\sin(\theta))$$

A ver si (ahora, sí) te sirve de ayuda y puedes seguir desde aquí

[polonio]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Por cierto, el problema está en el nivel que tengamos para resolver ecuaciones diferenciales. Sin hacer el cambio, la ecuación (diferencial) de movimiento de segundo orden es de coeficientes constantes y es muy sencilla. Claro que esto no se suele dar en los primeros cuatrimestres.

Pero hay otra forma (más física) de resolver la ecuación diferencial: usando el teorema de la energía cinética (donde no aparecen derivadas segundas). De esta forma vemos que la variación de energía mecánica es igual al trabajo que hace la fuerza de rozamiento.

[arivasm]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Por lo que veo, gracias a la ayuda de polonio, la ecuación diferencial se resuelve con el método de los coeficientes indeterminados. Sobre la propuesta del enfoque físico, basado en energías, el problema está en el cálculo del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, pues en este caso depende de la velocidad, a través de N. Por ello, no veo un camino en este enfoque.

[arivasm]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Espero no haberme equivocado! La expresión que me sale para $u(\theta )$ es $\frac{2g}{R}\frac{1}{1+4 f^2 } \left[ \left( 1-2 f^2 \right) \sin \theta + 3 f \left( \cos \theta - e^{ -2 f \theta} \right) \right]$ y entonces $u(\pi/2) = \frac{2g}{R}\frac{1}{1+4 f^2 } \left( 1-2 f^2 - 3 f e^{- \pi f} \right)$ y al substituir obtengo finalmente una velocidad de 5,65 m/s, en vez de 5,56 m/s.

[polonio]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Por lo que veo, gracias a la ayuda de polonio, la ecuación diferencial se resuelve con el método de los coeficientes indeterminados. Sobre la propuesta del enfoque físico, basado en energías, el problema está en el cálculo del trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, pues en este caso depende de la velocidad, a través de N. Por ello, no veo un camino en este enfoque.

Cierto, el trabajo de rozamiento es fácil integrarlo ¡si hacemos el cambio que nos proponen!

[polonio]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Espero no haberme equivocado! La expresión que me sale para $u(\theta )$ es $\frac{2g}{R}\frac{1}{1+4 f^2 } \left[ \left( 1-2 f^2 \right) \sin \theta + 3 f \left( \cos \theta - e^{ -2 f \theta} \right) \right]$ y entonces $u(\pi/2) = \frac{2g}{R}\frac{1}{1+4 f^2 } \left( 1-2 f^2 - 3 f e^{- \pi f} \right)$ y al substituir obtengo finalmente una velocidad de 5,65 m/s, en vez de 5,56 m/s.

Pinta bien.

[arivasm]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Cierto, el trabajo de rozamiento es fácil integrarlo ¡si hacemos el cambio que nos proponen!

Pues sigo sin verlo! $W_{roz} = - \int R F_R \dd \theta = - f m \int v^2 \dd \theta - f m g \int \sin \theta \dd \theta = - f m R^2 \int u \dd \theta - f m g \int \sin \theta \dd \theta$ y, claro, el problema lo tengo con $\int u \dd \theta$! Irrádiame, polonio, con tu sabiduría!

[polonio]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

Pues sigo sin verlo! $W_{roz} = - \int R F_R \dd \theta = - f m \int v^2 \dd \theta - f m g \int \sin \theta \dd \theta = - f m R^2 \int u \dd \theta - f m g \int \sin \theta \dd \theta$ y, claro, el problema lo tengo con $\int u \dd \theta$! Irrádiame, polonio, con tu sabiduría!

Ya te digo que sabiendo cómo es $u(\theta)$... y, ¡eso era hacer trampas! El haber resuelto el problema me jugó una mala pasada: como ya sabía la solución, lo único que hacía era calcular el trabajo pero no podemos calcular el trabajo para obtener la solución.

Es decir, yo tampoco veo la solución de forma fácil e irradiándote más bien te cegaría... o te dejaría calvo como yo

[arivasm]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

¡Porras! Es una lástima! Debo reconocer que en mi intención estaba aplicarlo al movimiento en fluidos, en aquellos casos en los que se puede considerar que la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad. Sobre la calvicie, te aseguro que tengo pelo de sobra, incluso podría ser donante!. Como en los cuentos, yo te paso pelo y tú conocimientos, ¿vale?

[polonio]

Re: Se suelta un objeto pequeño sobre una guía circular...

¡Porras! Es una lástima! Debo reconocer que en mi intención estaba aplicarlo al movimiento en fluidos, en aquellos casos en los que se puede considerar que la fuerza de resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad. Sobre la calvicie, te aseguro que tengo pelo de sobra, incluso podría ser donante!. Como en los cuentos, yo te paso pelo y tú conocimientos, ¿vale?

Deja, deja, que estoy agustísimo sin pelo en el cartón Eso, sí, como ves aquí uno difunde encantado los conocimientos que pueda.