Hace un tiempo, en clase, un profesor explicó que dada la invariante de Poincaré y dado que se puede describir la evolución dinámica de un instante a otro mediante una TC se puede demostrar el Teorema de Liouville, el cual dice:

La densidad de sistemas en torno a uno dado se mantiene constante.
pero no me acabó de convencer su argumento. Como no supo darme una contestación a lo que le pregunté y no le veía seguro no le volví a preguntar sobre dicho tema y pensé que quizás el teorema tiene una demostración válida con otro método y éste no es correcto. De todas maneras quería exponer mi duda a ver si alguien tiene idea.

Para demostrar dicho teorema, dijo que como se está en el espacio de fases, se puede coger un punto cualquiera y considerando que éste formará parte de una colectividad englobarlo todos con un elemento de volumen encerrado por una superfície. Al cabo de un tiempo, las propiedades de la colectividad habrán variado pero el volumen seguirá siendo el mismo por la invariante de la integral de Poincaré. Dado que el teorema habla de densidad, ahora se necesita ver el nº de partículas y ahí viene mi problema.

Para demostrar que el nº de partículas es constante argumentó que la superfície evolucionaba dinámicamente en el tiempo junto al volumen y que por tanto, si una partícula entraba o quería salir por la superfície, tendría las mismas propiedades y en consecuencia por la determinación de Newton, tanto la S como la partícula evolucionarían de igual manera y la partícula ni podría entrar ni salir obteniendo con lo cual un número de partículas constantes. Pues bien lo que yo no entiendo es que, si la superfície, es algo "imaginario" que además no posee masa, ¿Cómo puedes argumentar la determinación de Newton si precisamente para ello necesitas masa? es decir, si para evolucionar dinámicamente como Newton es necesaria la masa, ¿Cómo va a evolucionar la superfície?