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Hilo: calcular el area de una elipse

  1. #1
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    Predeterminado calcular el area de una elipse

    hola a todos
    necesito ayuda con este ejercicio
    espero que me ayuden
    eso y saludos a todos
    gracias
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  2. #2
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Cita Escrito por virolo Ver mensaje
    hola a todos
    necesito ayuda con este ejercicio
    espero que me ayuden
    eso y saludos a todos
    gracias
    Podías teclear el enunciado en vez de escanearlo, tampoco es tan largo

    Bueno, por simetría, puedes simplemente calcular el área de un cuadrante de la elipse, y multiplicar por cuatro. Por ejemplo, podemos integrar antes la variable x, luego la y. Por lo tanto, tenemos que sacar los limites de x en función de y. Naturalmente, el primer limite será x=0 (estamos integrando solo un cuadrante). El segundo limite vendrá de la definición de elipse,

    \displaystyle x = a \sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}\ .

    Así, pues, el área será

    \displaystyle A = 4 \int_0^b \mathrm{d}y \int_0^{a \sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}}    \mathrm{d}x \ .

    La primera integral será trivial de hacer. Para hacer la segunda, utiliza el cambio que te dan, y = b \cos t.
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  3. #3
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    serias capas de terminar el ejercicio porfa??

    esop chau y gracias

    te lo agradeceria mucho

  4. #4
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Cita Escrito por virolo Ver mensaje
    serias capas de terminar el ejercicio porfa??
    ¡Sí que soy capaz! ¿Y tú?
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  5. #5
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Cita Escrito por pod Ver mensaje
    ¡Sí que soy capaz! ¿Y tú?
    por algo te digo que lo termines poh

    chau gracias

  6. #6
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Cita Escrito por virolo Ver mensaje
    por algo te digo que lo termines poh

    chau gracias
    ¿Si lo hago que aprenderías tú? Por lo menos inténtalo, y dinos que es lo que te causa dificultados.
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  7. #7
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Pues yo lo veo resuelto, simplemente hay que desarrolar la integral, si no sabes, pues dínoslo.

  8. #8
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Cita Escrito por _FoX_ Ver mensaje
    Pues yo lo veo resuelto, simplemente hay que desarrolar la integral, si no sabes, pues dínoslo.
    no se

  9. #9
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Disculpad que me meta, pero ya lo tienes hecho:

    Primero te piden hacer una integral trivial y hacer el cambio de variable y=bcost, que lo sustituyas en la expresion donde de forma facil obtendras una expresion trigonometrica (no se te olvide cambiar tambien los limites de la integracion).
    Finalmente obtienes la integral de una funcion trigonometrica, muchisimo mas facil que la integral de una raiz cuadrada.

    Y a unas muy malas, siempre puedes hacerlo por induccion (o sera deduccion): conociendo el area de una figura geometrica sencilla, puedes inducir (o deducir no me aclaro) el area de la elipse.

    No se si servira de ayuda, pero me uno a eso de no dar la solucion asi como asi

  10. #10
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Quizás el problema es no saber como llevar a cabo la integral, pero si sabes hacer integrales simples, para hacer esta integral doble solo integra primero con respecto a una variable considerando las demás constantes y así hasta acabar con la ultima integral.

  11. #11
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Quizás el problema está en realizar la primera integral

    A=4 \int^{b}_{0} dy \int^{a\sqrt{1-\frac{y^{2}}{b^{2}}}}_{0} dx=4 a \int^{b}_{0} \sqrt{1-\frac{y^...


    Ahora ya tienes un integral respecto una única variable y pod ya te ha indicado el cambio y=bcos t

    Saludos

  12. #12
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Cita Escrito por Frank Ver mensaje
    Quizás el problema está en realizar la primera integral

    A=4 \int^{b}_{0} dy \int^{a\sqrt{1-\frac{y^{2}}{b^{2}}}}_{0} dx=4 a \int^{b}_{0} \sqrt{1-\frac{y^...


    Ahora ya tienes un integral respecto una única variable y pod ya te ha indicado el cambio y=bcos t

    Saludos

    Bueno, ahora que ya sabemos hacer el problema por integrales, se puede buscar una forma más elegante de hacerlo, que no requiera saber ninguna integral (aunque si requiere saber hacer cambios de variable).

    Partiendo de la expresion anterior, y haciendo los cambios de variable y=bu, y x=av, queda la expresion:

    A=4 a b \int^{1}_{0} du \int^{\sqrt{1-v^{2}}}_{0} dv

    Ahora, nos damos cuenta de que las integrales en u y en v corresponden al area de un cuadrante de circulo de radio unidad. Si nos acordamos de la primaria, el area de un circulo de radio R es \pi R^2. Por tanto, el area de un cuadrante de circulo de radio unidad es \pi /4. Por tanto, queda

    A = 4 a b (\pi /4) = a b \pi


    ¿Se os ocurre ahora un procedimiento para calcular el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c?

  13. #13
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Hay una forma de calcular el volumen de un elipsoide de semiejes a, b y c, de la siguiente manera. El método se llama el método de las secciones, y consiste en coger un trozo infinitesimalmente fino de rodaja, digamos, creada por un plano, y seccionar así a todo el cuerpo por un haz de planos paralelos, y posteriormente sumar todas estas secciones infinitesimalmente finas y obtener así el volumen. Esta última suma puedes deducir que será una integral definida. Veamos el caso particular de una elipsoide:

    La ecuación canónica o reducida de una elipsoide es:

    \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1

    Si nosotros ahora vamos haciendo secciones por planos paralelos al plano XY, es decir, del tipo z = k, manipulando la ecuación de arriba tendremos

    \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{k^2}{c^2} = 1

    \displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}= 1 - \frac{k^2}{c^2}

    \displaystyle \frac{x^2}{a^2(1 - \frac{k^2}{c^2} ) } + \frac{y^2}{b^2(1 - \frac{k^2}{c^2} ) } = 1...

    Es decir, las figuras que tenemos son elipses de semiejes \displaystyle a \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}} y \displaystyle b \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}}

    Sabemos que el área de una elipse es \pi ab

    Operando: \displaystyle \pi a \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}} b \sqrt{1 - \frac{k^2}{c^2}} = \pi ab (1 - \frac{k...

    Lo que tenemos que hacer ahora es integrar esta expresión entre -c y c, ya que esta función que hemos obtenido es la función área en función de k, es decir, en función de z. \displaystyle \pi ab (1 - \frac{z^2}{c^2}) dz es un elemento de volumen infinitesimalmente fino, así que:

    \displaystyle \int_{-c}^{c} \pi ab (1 - \frac{z^2}{c^2})~dz

    que, resuelta, nos da el resultado que buscábamos:

    \displaystyle \frac{4}{3}\pi abc

    Es útil reflexionar este resultado. ¿Qué pasaría si a = b = c?

    Espero que haya resuelto tu duda. Si no entiendes algo, no dudes en preguntar.

    Saludos.

  14. #14
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    Hola genios! es mi primer mensaje, voy a calcular el área de un cuadrante de elipse. Sin integrales dobles.

    tenemos las dos ecuaciones de la elipse:

    (1) : \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1

    (2) : x = a\cos\phi
    y = b\sin\phi

    De (1) tenemos que y=b \displaystyle\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}

    en lugar de integrar respecto de x, hacemos el cambio de variable en (2): \displaystyle\frac{x}{a} = \cos\phi

    Para calcular un cuadrante de elipse, tomamos los límtes de integración (\frac{\pi}{2}, 0)

    Como vamos a integrar respecto de \phi, necesitaremos convertir dx en d\phi:

    de \displaystyle\frac{x}{a} = \cos\phi tenemos x = a\cos\phi, por tanto, dx = -a\displaystyle\sin\phi d\phi

    De modo, que la integral del área para un cuadrante queda:

    A = \displaystyle\int_\frac{\pi}{2}^0 b\sqrt{1-\cos^2{\phi}}  (-a)\sin\phi  d\phi  =  -ab\int_\frac{\...

    Ahora empleamos la siguiente identidad trigonométrica: 2\sin^2{\phi} = 1 - \cos{2\phi} ==> \sin^2{\phi} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{2\phi}}{2}

    Por lo tanto, A = -\displaystyle\frac{ab}{2}\int_\frac{\pi}{2}^0 d\phi - \frac{ab}{2}\int_\frac{\pi}{2}^0 \cos{2\ph...

    = 0 + \displaystyle\frac{ab\pi}{4} -\frac{ab}{4}\int_\frac{\pi}{2}^0 2\cos{2\phi} d\phi

    = \displaystyle\frac{ab\pi}{4}-\frac{ab}{4}\sin0 +\frac{ab}{4}\sin\pi =

    = \displaystyle\frac{ab\pi}{4} u. a.

    Ale, arreglao. Para el área de una elipse entera, multiplicar por 4.

    Me ha gustao esto del LATEX.
    Última edición por Pirata de Silla; 25/02/2009 a las 20:53:26.

  15. #15
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    Predeterminado Re: calcular el area de una elipse

    muy sencillo
    S: en nuestro caso sera el simbolo de la integral en el intervalo 0<t<2 PI

    el jacobiano de la parametrizacion de una elipse es = a*b cuando haces una transformacion de la elipse a*b* S dt al evaluar en el intervalo queda
    A=a*b*pi

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