1r ciclo Campo y potencial gravitatorio.

[Zhisi]

Hola estoy intentando el siguiente ejercicio pero no me aclaro.

Calcula el campo y el potencial gravitatorio a una distancia z de una lámina uniforme e infinita de materia, de masa por unidad de superficie $\sigma$

El campo lo he sacado sumando, mediante una integral evaluada en cero e infinito, los sucesivos anillos concentricos, donde la masa de cada anillo es $\sigma 2\pi rdr$ y el resultado obtenido es: $g=-G\sigma 2\pi$ que creo que está bien, pero no se como obtener el potencial.
En clase nos explicaron como hacer otro ejercicio similar pero no hay quien lo entienda. Lo que tengo en los apuntes es que $dV=-gdx$ pero si el potencial es respecto a un punto P en el espacio, ese punto debe ser una constante con respecto al origen, lo que varía es la distancia del punto al plano conforme van creciendo los anillos.
Además me enredo con los signos y no me aclaro.

Gracias.

PD: acabo de encontrar un hilo con un ejercicio similar, donde se explica la parte del campo http://forum.lawebdefisica.com/threa...ita-de-materia y por lo que veo que esa parte la tengo bien.

¿Cómo calculo el potencial?

[arivasm]

Re: Campo y potencial gravitatorio.

Aplica $V=-\int \vec g \cdot \dd \vec r$. Puedes tomar un camino perpendicular a la lámina, puesto que las equipotenciales son paralelas a ella. Por supuesto, el valor de la constante de integración depende de qué punto escojas como 0 para el potencial. En este caso no podrás situarlo en el infinito. Si no me equivoco, el resultado debe ser $g h$, siendo $h$ la "altura" con respecto a dicho punto y teniendo en cuenta la simetría de ambos lados de la lámina.

[Zhisi]

Re: Campo y potencial gravitatorio.

Entoces ¿es así de sencillo? $V=- \int gdr = G \sigma 2 \pi z= -gz$
En ese caso la distancia que se utiliza es la distancia del punto P al plano. Yo creía que se tenía que utilizar la distancia de los distintos puntos del plano al punto P y por eso la integral...

Gracias.

[Al2000]

Re: Campo y potencial gravitatorio.

...
¿Cómo calculo el potencial?

Abundando en lo que te respondió arivasm, si ubicas el plano de masa en el plano YZ, entonces para $x > 0$ tienes que $\boldsymbol g = - 2 \pi \sigma G\, \boldsymbol u_x,\,\, d \boldsymbol r = dx\, \boldsymbol u_x$ y te queda:

$$V_{(x)} = - \int_C \boldsymbol g \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r = - \int_{x_0}^{x}\!\! (- 2 \pi \sigma G\, \boldsymbol u_x) \boldsymbol \cdot (dx\, \boldsymbol u_x) = 2 \pi \sigma G (x - x_0)$$

donde $x_0$ es la posición del punto de referencia desde el cual se mide el potencial. Si por simplicidad elegimos $x_0 = 0$, entonces $V_{(x)} = 2 \pi \sigma G x,\,\, x \geqslant 0$. Si quieres generalizar para todos los valores de $x$, tomarás entonces valor absoluto: $V_{(x)} = 2 \pi \sigma G |x|$.

Nota que el resultado es similar al familiar $U = m g h$ que usamos para la energía potencial gravitacional, en donde se elige la altura de referencia según convenga y el potencial (o energía) aumenta según nos alejamos del "plano".

Saludos,

Al

[Icegirl]

Re: Campo y potencial gravitatorio.

Yo tambien tengo el mismo problema que resolver, y no entiendo exactamente como haceis la integral definida para que al final os de . Si me pudieseis explicar como lo habeis echo os lo agradecería.

Muchas gracias de todas formas porque me estais siendo de mucha ayuda =)