Otras carreras Extremo

[Gaz]

Hola, tengo este ejercicio:$h(x,y,z)=x^2y^4z^6$ sujeto a x+y+z=1 z,y,x>0

y he echo lo siguiente:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

bueno y luego con el landa que hago? lo pongo en funcion de las demas?

[xXminombreXx]

Re: Extremo

Bueno, veo que estás usando la técnica de los multiplicadores de Lagrange. Este dice lo siguiente:

$\dst \nabla f = \lambda \nabla g$

Viene a significar que el vector $\nabla f$ es paralelo a $\nabla g$.

$\nabla g$ es un vector normal a la restricción, y $\nabla f$ es el vector de máximo crecimiento de f, por definición de gradiente. Al ser paralelos indica que crecer (o decrecer) más, supondría salir de la restricción. Tienes que multiplicar $\lambda$ por el grad g y resolver el sistema que te queda, es decir, hallar los puntos en los que el gradiente de f es proporcional o paralelo al de g.

Un saludo.

[Gaz]

Re: Extremo

es lo que hice, plantear el sistema de ecuaciones , pero no me daba bien la solución, supongo que habrá sido un fallo numerico

[xXminombreXx]

Re: Extremo

Vale, pues puede que haya sido fallo de cálculo o que la función haga algo raro, la verdad es que no lo he hecho. Te he dicho lo que te he dicho porque en latex has puesto mal la etiqueta lambda

gradf(2xy^4z^6,x^24y^3z^6,6z^5x^2y^4)=\landa(1,1,1)

Y no se veía, creía que te lo habías comido, pero sí, sería así.

[Gaz]

Re: Extremo

Vale, pues puede que haya sido fallo de cálculo o que la función haga algo raro, la verdad es que no lo he hecho. Te he dicho lo que te he dicho porque en latex has puesto mal la etiqueta lambda

gradf(2xy^4z^6,x^24y^3z^6,6z^5x^2y^4)=\landa(1,1,1)

Y no se veía, creía que te lo habías comido, pero sí, sería así.

pues no sé que echo mal he echo esto: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Despjenado queda $2xy^4z^6=x^24y^3z^6$ que las z^6 se van y el y^3 y el x quedando.: $4x=2y \to x=y/2$ entonces se despeja la siguiente ecuacion: $x^24y^3z^6=6z^5x^2y^4$ quedando $z=3y/2$

después eso se pone e nla ecuacion: x+y+z=1, quedando $y/2+y+3y/2=1$ y despjeando da : y=1/3, y debería de dar 1 :s

[xXminombreXx]

Re: Extremo

Tu solución es buena. Te queda considerar las soluciones en las que no puedes dividir por ninguna de las variables al ir despejando porque alguna de ellas es 0. Si x=1, y=z=0, ese punto también cumple las condiciones, tiene derivadas parciales 0, y pertenece a la restricción, en este caso sería un punto mínimo, porque en cuanto te muevas en la restricción y alguno de ellos cambie de 0, entonces tienen un producto necesariamente positivo: x²y⁴z⁶. Para el punto que tu obtienes (1/6,1/3,1/2), en principio tendrías que hacer el hessiano para ver si cumple el criterio de Sylvester, queda una matriz horrible, así que seguramente haya algún argumento geométrico que permita facilitar el asunto.

Por si te interesa, he "ploteado" la función en el entorno de ese punto, y queda así:



He despejado la z de la restricción, he sustituido para tener una función que podamos dibujar de R²->R. Así que te tiene que salir un máximo.

Un saludo.

[Gaz]

Re: Extremo

pero el problema es que no sé en que fallo en esa ecuación, poruqe al sacar la y ya saco las demás de golpe... pero hay algun fallo en ese calculo y no sé cual