1r ciclo Caída libre plus - Sugerencia que sugiere dudas

[Al2000]

El siguiente problema es una ligera modificación de un problema de Física II. El único cambio introducido es que el problema original en lugar de una fuerza F indica la existencia de un campo eléctrico E y la partícula está cargada. Transcribo el problema:

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Una partícula de masa $m$ está conectada a una cuerda con longitud $L$ y amarrada al punto P fijo. La partícula se suelta a partir del reposo cuando la cuerda forma un ángulo $\theta_0 = \pi/4$ con la horizontal. Una fuerza horizontal constante $F$ actúa sobre la partícula. ¿Cuánto vale el módulo de la velocidad de la partícula cuando la cuerda es horizontal ($\theta = 0$)? (Nota: Suponga que la cuerda permanece tensa en todo momento).

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Les dejo el enunciado para que se diviertan obteniendo la respuesta correcta. Lo que deseo preguntar es:

- ¿Cual es la condición necesaria para que se cumpla la sugerencia?

- Si refraseamos el problema y en lugar de poner como condición que el ángulo final sea cero ponemos como condición que la partícula cruce la línea horizontal, ¿se obtendría la misma respuesta?

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: Caída libre plus - Sugerencia que sugiere dudas

Éste ha sido mi intento, al que aún le falta algo. Por supuesto, si es que no me equivocado en algún sitio, cosa que no me extrañaría nada.

Para que la cuerda esté constantemente extendida debe ejercer una tensión $T\geq 0$. Tomando la componente centrípeta de la fuerza resultante esto equivale a que

$$T=m L\dot \theta^2+F\cos\theta-mg\sin\theta\geq 0$$

Puesto que el campo de fuerzas $\vec F$ es uniforme podemos asociarle una energía potencial $-F x = - F L \cos\theta$ que se sumará a la del peso $m g y=mg L \sin\theta$. Como la tensión o bien no existe (la cuerda no está tensa) o no realiza trabajo, la energía mecánica

$$E = \dst\frac{1}{2}m\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2 \right) + m g L \sin\theta - F L \cos\theta = m g L \sin\theta_0 - F L \cos\theta_0$$

será una constante del movimiento.

En particular, si se satisface (1), es decir, si la cuerda ejerce tensión, tenemos que

$\dst\frac{1}{2}m L^2\dot\theta^2 + m g L \sin\theta - F L \cos\theta = m g L \sin\theta_0 - F L \cos\theta_0$

es decir,

$$\dst\frac{1}{2}m L\dot\theta^2 + m g \sin\theta - F \cos\theta = m g \sin\theta_0 - F \cos\theta_0$$

Sumando miembro a miembro (1) y (3) tenemos que

$$\dst \frac{3}{2}m L \dot\theta^2\geq m g \sin\theta_0 - F \cos\theta_0$$

Como de (3) se sigue que

$$\dst\frac{1}{2}m L\dot\theta^2 = F (\cos\theta- \cos\theta_0) -m g (\sin\theta-\sin\theta_0)$$

substituyendo en (4) encontramos que

$$3 F (\cos\theta- \cos\theta_0) - 3 m g (\sin\theta-\sin\theta_0) \geq m g \sin\theta_0 - F \cos\theta_0$$

es decir

$$\dst \frac{F}{mg}\geq f(\theta) = \frac{3 \sin\theta-2\sin\theta_0}{3 \cos\theta-2\cos\theta_0}$$

Por tanto, ahora tenemos que estudiar la función $f(\theta)$, prestando especial atención a sus extremos positivos, en los intervalos $[0, \theta_0]$ y $(-\pi/2,\theta_0]$.

Al derivarla nos encontramos con que carece de extremos relativos, pues para ello tendría que cumplirse que $\cos(\theta-\theta_0)=3/2$.

Con respecto a sus asíntotas verticales, vemos que éstas se corresponden con la condición

$$\dst\cos\theta=\frac{2}{3}\cos\theta_0$$

que evidentemente no se cumplirá en el intervalo $[0, \theta_0]$ pero sí en el $(-\pi/2,\theta_0]$, concretamente en un punto $\theta_c$ del subintervalo $(-\pi/2,-\theta_0)$.

Por tanto, la primera conclusión es que si el movimiento está restringido a valores positivos de $\theta$, la condición buscada será que

$$F\geq mg\tan\theta_0$$

pues el mayor valor posible para el lado derecho de (7) es $f(\theta_0)=\tan\theta_0$.

En lo que se refiere a la posibilidad de que pueda haber ángulos negativos, tenemos que para ellos el numerador de $f(\theta)$ será negativo, mientras que el denominador será positivo para ángulos en $(\theta_c,0]$ y negativo para $(-\pi/2,\theta_c)$.

Por tanto, la cuestión es ahora si la masa podrá alcanzar o no dicho valor: si no puede tendremos garantizada la tensión de la cuerda (pues es $f(\theta)< 0$), incluso para $F=0$; si puede hacerlo entonces la conclusión será bien diferente, pues al ser $f(\theta_c)=\infty$ no será posible mantener la tensión de la cuerda para ningún valor de $F$.

Para responder esa pregunta podemos prestar atención a los puntos de retroceso, que nos proporcionan los ceros de la energía cinética (5) (en realidad, esa expresión es la energía cinética dividida por $L$). Evidentemente, el único positivo es $\theta=\theta_0$. Asimismo, habrá uno negativo, solución de la ecuación

$$\dst\frac{F}{m g}=\frac{\sin\theta-\sin\theta_0}{\cos\theta-\cos\theta_0}$$

y hasta aquí es precisamente a donde he llegado...

[arivasm]

Re: Caída libre plus - Sugerencia que sugiere dudas

Hay veces que uno se lía sin la más mínima necesidad... Creo que hay un enfoque muchíiiisimo más simple:

Consideremos la fuerza $R$ resultante del peso y la fuerza aplicada $F$. Como sus componentes son constantes $R$ también lo será. Por tanto, la partícula está sometida a dicha fuerza y la tensión, para la que buscaremos bajo qué condiciones es no negativa.

Sea $\alpha$ el ángulo que forma $R$ con la horizontal, $\tan\alpha=mg/F$. Si giramos los ejes de manera que el eje X coincida con la dirección de $R$ vemos fácilmente que tenemos un péndulo simple!, cuyo punto de retroceso es el ángulo inicial $\theta_0+\alpha$. Evidentemente, el otro será el opuesto.

La condición para que siempre haya tensión es muy sencilla: $\theta_0+\alpha\leq 90^\circ$, es decir, $\dst\arctan\frac{mg}{F}\leq 90^\circ-\theta_0$. Como entre -90º y 90º la función tangente es monótona creciente, esto equivale a decir que $\dst\frac{mg}{F}\leq \tan(90^\circ-\theta_0)=\frac{1}{\tan\theta_0}$, luego, efectivamente, debe cumplirse que $F\geq mg\tan\theta_0$.

Como vemos, no hay diferencia entre que deba cumplirse o no que $\theta\geq 0$

Saludos, Al!. Un problema muy bonito!