Otras carreras 2 resortes 1 cuerpo

[LauraLopez]

A)

Como me pide la posicion de equilibrio igualo newton a cero, tomo como positiva para la izquierda

asi que tengo

${f}_{{e}_{1 } } -{f}_{{e}_{2 } } = 0$

$-{k}_{1 }{x}_{1 } = -{k}_{2 }{x}_{2 }$ aca estan bien los signos? aca estoy asumiendo que X1 y X2 son positivos sino aparecieria algun signo menos mas, pero no estoy segura si ambas deformaciones son positivas....

Para hallar las deformaciones tenog que

$3L = L + X_1 + L + X_2$

$X_1 = L - X_2$

Asi que de la ecuacion de antes despejo $X_2$ y tengo:

$X_2 = \frac{{K}_{1 }L }{{K}_{1 } + {K}_{2 } }$

Asi que la posicion de equilibrio medida por ejemplo desde la derecha sera :

${X}_{equil } = L + {X}_{2 }$

B)

Tomando como positiva la direccion hacia la izquierda si planteo newton tengo:

${f}_{e1 } - {f}_{e2 } = ma$

$- {{k}_{1 } }_{{x}_{1 } } - ( - {k}_{2 } {x}_{2 } ) = ma$

estoy haciedno bien lo de los signos? me confunde un poco y despues que mas puedo hacer?

[LauraLopez]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

Revisando el tema de los signos ahora que creo haberlo comprendido mejor supongo que lo que hice en el iniciso a es correcto

B)
Aca pense lo sieguiente, para que oscile lo tengo que desplazar de su posicion de equilibrio, entonces lo desplazo una longitud x hacia la derecha de forma que el resorte 1 se estira una distancia x y el resorte 2 se comprime la misma distancia, Luego:

${f}_{e1 } - {f}_{e2 } = ma$ tomo positivo hacia la izquierda

$-{k}_{1 }x - (-{k}_{2 }x) = ma$

$-K_1x + K_2x = ma$


$\dst \frac{\dd^2 x}{\dd t^2}= \frac{( K_2 - K_1 )}{ m}x$

$w = \sqrt{\frac{( K_2 - K_1 )}{ m}}$

Les parece que estan bien ambos incisos?

[LauraLopez]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

este me parece que lo volvi a hacer mal por el tema de los signos que sigo sin entender...mejor este lo miro una vez entendido el tema de los signos que estoy viendo en el otro hilo

[sheldon cooper2]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

Hola

Para el inciso b) te pide la frecuencia de oscilación $(f)$ o la frecuencia angular o pulsación $(\omega )$ ??

De todas formas lo que deduzco yo es lo siguiente:

La fuerza sobre la masa debida a cada uno de los resortes, irá en sentido contrario al desplazamiento, por tanto las dos negativas; es decir:

$$<br /> F= {F}_{1 } +{F}_{ 2} = -{k}_{ 1}\cdot x -{k}_{2 } \cdot x=-\left({k}_{1 }+{k}_{ 2} \right) \cdot x=-k\cdot x<br />$$

Luego:

$$<br /> k={k}_{ 1} +{k}_{ 2} <br />$$

Entonces:

$$<br /> \omega =\sqrt{\frac{k}{m } } =\sqrt{\frac{{k}_{1 }+{k}_{2 } }{ m} } <br />$$

Y si es la frecuencia:

$$<br /> f=\dst \frac{\omega }{2\cdot \pi } =\dst \frac{1}{2\cdot \pi } \cdot \sqrt{\frac{{k}_{1 }+{k}_{2 } }{ m}} <br />$$

Para el inciso a) no lo tengo muy claro , ni como hacerlo ni lo que has hecho tu.

Salu2.

[LauraLopez]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

esto que hice aca estaria mal entonces no? ${f}_{e1 } - {f}_{e2 } = ma$ porque asumi que una fuerza va para un lado y la otra para el otro pero seria q ambas van hacia el mismo sentido no?

me pide frecuencia de oscilacion que yo pense que eso era el omega , el omega no es la frecuencia de oscilacion natural? como te das cuenta que hace referencia a f ??

[arivasm]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

Como Laura me hizo en otro hilo una pregunta sobre aspectos de éste, permitidme que diga aquí cómo abordaría yo este ejercicio:

Lo mejor será que usemos una sola coordenada que marque de manera unívoca la posición del cuerpo. Por ejemplo, la del centro de la caja, de manera que sea una cantidad positiva hacia la derecha y con el cero en el extremo izquierdo. Llamaré $D$ a la anchura de la caja.

Como el extremo izquierdo de la caja está en $x-D/2$, la componente x de la fuerza que ejerce el resorte de la izquierda será $-k_1\left(x-\frac{D}{2}-L\right)$ (el signo - es porque si $x-D/2>L$ apuntará hacia la izquierda).

Como el extremo derecho estará en $x+D/2$, la longitud del resorte derecho será $3L-(x+D/2)=3L-x-D/2$, y entonces la deformación de este resorte será $3L-x-D/2-L=2L-x-D/2$. Cuando sea $3L-x-D/2>L$, es decir, cuando el resorte derecho se alargue, tirará de la masa hacia la derecha (es decir, en sentido positivo). En definitiva, la fuerza que ejerce será $k_2\left(2L-x-\frac{D}{2}\right)$.

Por tanto, la fuerza resultante sobre la masa será

$$F_x=-k_1\left(x-\frac{D}{2}-L\right)+k_2\left(2L-x-\frac{D}{2}\right)=-(k_1+k_2)x+(k_1-k_2)\frac{D}{2}+L(k_1+2k_2)$$

.

La posición de equilibrio será entonces la que haga nula dicha fuerza, es decir,

$\dst x_0=\frac{(k_1+2k_2)L+(k_1-k_2)\frac{D}{2}}{k_1+k_2}$

Con respecto al período de la oscilación, podemos escribir (1) como

$F_x=-(k_1+k_2)(x-x_0)$

con lo que encontramos inmediatamente que el sistema equivale a un único resorte de constante la suma de las constantes, de manera que, tal como dijo Sheldon Cooper2, el período será

$\dst T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}}$

[LauraLopez]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

volviendo a los signos...... aca como hay mas de un resorte ya no es valido aplicar el razonamiento de antes veo o sea decir que la fuerza elastica sera siempre -kx porque aca un resorte tiene -kx pero el otro tiene kx positivo veo....

O sea cuando tenga 2 resortes SI tengo que tener mas cuidado y analizar para que lado apunta la fuerza elastica ? y si es para el lado positivo sera Kx y si es para el lado negativo sera -kx ??
Con un resorte solo habiamos dicho que sin importar si apunta para el lado positivo o negativo porque durante la oscilacion ira variando siendo a veces positiva y otras negativa igualmente siempre valdra -kx

[arivasm]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

Como habrás visto, personalmente encuentro más cómodo relacionar la deformación con la fuerza y analizar el signo de la componente en función de hacia dónde apunte. Lo del $F_{el,x}=-kx$ no deja de ser el mismo análisis, para un único resorte.

[LauraLopez]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

........pero si es lo mismo que con 1 resorte yo tendria que plantear que

$-{k}_{1 }{x}_{1 } - {k}_{2 }{x}_{2 } = ma = 0$

Donde x1 y x2 son las deformaciones que encontras vos y tendria diferencias en los signos con respecto a lo que haces vos


$-k_1\left(x-\frac{D}{2}-L\right) - k_2\left(2L-x-\frac{D}{2}\right) = 0$


Una vez que habia entendido lo de -ky ahora vuelvo a caer en dudas.... que hice mal esta vez?

Y el inciso b no entiendo como hiciste....quisiera ver como se llega a la ecuacion diferencial asi ahi puedo encontrar omega y luego la frecuencia...

Cuando sheldon dice esto :$F= {F}_{1 } +{F}_{ 2} = -{k}_{ 1}\cdot x -{k}_{2 } \cdot x=-\left({k}_{1 }+{k}_{ 2} \right) \cdot x=-k\cdot x$ porque esta bien? si no hay un mismo x para ambos resortes sino que uno se deforma un x1 y el otro un x2 que son los valores que antes calculaste...

Lo que ocurre aca es que hay un resorte que tiene la componente para un lado y el otro para el sentido contrario asi que como sucede esto aca tenog que decir que -k1x1 + k2x2 = 0 ? o sea la escribo como +k2x2 ?

[LauraLopez]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

Lo que no me queda del todo claro es que se supone que tiene q seguir valiendo lo de antes y me decis q lo sigue haciendo.... o sea que no piense en el modulo sino en la componente que siempre sera -kx entonces en la ecuacion pongo directamente eso pero no me da el resultado es mas mira aca estos 2 ejemplos mas...

tanto en el ejercicio que estamos viendo como en estos 2 casos para encontrar la posicion de equilibrio en los 3 yo plantearia que

-k1x1 - k2x2 = ma = 0

Tratando de hacer lo mismo que aprendi en el otro hilo de 1 resorte que Fe= -kx siempre!

Pero me doy cuenta de que es imposible que en los 3 ejemplos sea asi poque cuando esatn en paralelo si ambas fuerzas elasticas apuntan hacia el mismo lado pero en los otros 2 ejemplos cuando una apunta para un lado la otra apunta hacia el contratrio... es asi? pero como reflejo esto en la ecuacion de newton ? si se supone que siempre debo poner -kx.....??

[arivasm]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

se supone que siempre debo poner -kx.....??

No, Laura. No es así. Lo que dije antes era que debías pensar en el sentido de la fuerza y otorgarle a su(s) componente(s) el signo que corresponda en el sistema de referencia que uses. No siempre debes poner $-kx$. Había un ejercicio, con un único resorte, en el que sí era $f_x=-kx$.

Por otra parte, veo que manejas como "coordenadas" las deformaciones de los resortes. Es un enfoque válido, pero que te obliga a relacionarlas después y no siempre será fácil relacionarlas con las coordenadas del móvil, que son las que aparecen en la aceleración!. Por ejemplo, en el ejercicio de este hilo, tus $x_i$ son $x_1=x-\frac{D}{2}-L$ y $x_2=2L-x-\frac{D}{2}$ (recordemos que he llamado $x$ a la coordenada del centro de la caja).

Por tanto, mi consejo es que no sigas esa línea, sino la que está en el corazón de la dinámica newtoniana: establecemos la posición de los cuerpos mediante sus coordenadas $\vec r_i$ en un sistema de referencia; reconocemos las fuerzas que actúan sobre cada partícula, y las expresamos en función de las coordenadas de los cuerpos participantes; finalmente sumamos (recordemos que son vectores) las fuerzas que actúan sobre cada partícula e igualamos con masa por aceleración (segunda derivada del vector de posición).

De esta manera, en este ejercicio, y en los dos nuevos que citas, son movimientos unidimensionales de una sola partícula. Por tanto, conviene manejar una sola coordenada (en realidad, en la figura de la izquierda de tu último post serán dos, pues conviene introducir una segunda partícula de masa nula que sería el punto de unión de ambos resortes -una alternativa más cómoda es substituir el par de resortes por uno equivalente, cuya constante es la inversa de la suma de las inversas de las constantes-).

[LauraLopez]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

Bueno la verdad que no entiendo y me desanima no entenderlo.... pense que te habia entendido pero se ve que no....lo que ahora entiendo es que eso de -kx de momento para aca no vale por lo menos en la forma "mecanica" que intente encontrar para resolver este estilo de ejercicios asi que me quedo con que en ejercicios donde solo tenga 1 resorte ahi si la fuerza elastica siempre valdra -kx ( que el porque de esto creo haberlo entendido bien en tu explicacion).

Ahora cuando tengo estos distintos casos con mas de un resorte yo intente resolverlo de la misma forma que hice con aquel ejercicio de 1 resorte o sea plantear newton donde la sumatoria de las fuerzas las igualaba a masa por aceleracion.
No es que quiera ser testaruda de resolverlo asi! sino que es la unica forma que conocia...
Quiero seguir tu consejo de la forma de como resolverlos pero el problema es que no se como es esa forma que decis....

En este ejercicio como en los otros dos que agrege veo que tengo 2 fuerzas elasticas y 2 deformaciones no entendi eso que me decis de la manera en la que yo tomo las deformaciones, pero no importa quisiera entender como es tu manera de hacerlo asi empiezo a hacerlos asi.

Entonces quiero tratar de para resolver este tipo de ejercicios olvidarme de que la fuerza elastica siempre se opone al desplazamiento y que por ende vale -kx porque si pienso eso en estos ejercicios veo dos deformaciones entonces me lleva a decir -k1x1 -k2k2 y te entiendo que me decis que esto este mal aunque no veo exactamente porque.

Finalmente de que forma tengo que pensar estos ejercicios? plantear la sumatoria de las fuerzas elasticas e igualarlas a cero para hallar la posicion de equilibrio? en cuando a las deformaciones de cada resorte respectivamente no me conviene usar un x1 y x2 por lo que te endendi, entonces como seria?

POr otro lado en el inciso b

entiendo que cuando dicen esto : $F= {F}_{1 } +{F}_{ 2} = -{k}_{ 1}\cdot x -{k}_{2 } \cdot x=-\left({k}_{1 }+{k}_{ 2} \right) \cdot x=-k\cdot x$ estan asumiendo que los 2 resortes tienen la misma deformacion no? lo cual me parece raro.... y ademas no veo como llegan a la solucion de encontrar omega (w) la solucion que conozco es la de a partir de la ecuacion diferencial detectar ahi el termino que multiplica al x

Perdon por lo molesta pero en serio me re cuesta esto de los signos me parece por un lado muy dificl por otro pienso que deberia ser re facil y por eso me da mas bronca aaj pero hasta ya sueño con los resortes a las noches me van a volver loca! jaja

Bueno si me podes explicar la forma en que se resuelve y listo la adopto como que se hace asi y listo! luego trato de replicar tu metodo con los otros 2 que agrege al final y veo si asi lo logre entender o sino tambien podria ser muy util si me recomendas algun libro donde expliquen este tipo de cuestiones de los signos de las fuerzas elasticas o ejercicios resueltos de esto donde vea como es que se recomienda hacerlo ya que parece que siempre los encaro por el lado complicado jajaa
Gracias!

[arivasm]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

En el post #6 te he resuelto el problema de este hilo con el método que te dije antes: una coordenada para la masa, expresar las deformaciones en función de ella y así encontrar las componentes de la fuerzas, sumarlas e igualar con masa por aceleración (en realidad, la componente de la aceleración).

Sobre la posición de equilibrio, ciertamente es la que corresponde con una fuerza resultante nula (recuerda los ejercicios de estática, que seguro que has hecho: equilibrio de fuerzas y de momentos -aunque esto último aquí no aporta nada-).

Fíjate que el resultado para este ejercicio depende del tamaño de la caja, cosa que me costará mucho descubrir si me empeño en manejar las deformaciones $x_1$ y $x_2$.

Respecto de lo que dices de que los dos resortes tendrán la misma deformación, para nada será así. Insisto, entra en juego el tamaño de la caja. Me da la nariz que quien hace ese tipo de suposiciones está dando por hecho que la caja mide L, cosa que el enunciado no dice por ningún sitio y además incluso en ese caso las deformaciones serían opuestas (si uno está estirado el otro está contraído).

-------

De todos modos vuelvo, aún a costa de ser pesado, a insistir en lo del principio: ¡usemos las leyes de Newton tal cual y así no tenemos problema!

Pondré el ejemplo de la figura de la derecha en el post #10. Llamemos $x$ a la coordenada de la esquina derecha de la caja, tomada positiva hacia la izquierda y con su cero en la derecha de la figura. De esa manera, las longitudes de ambos resortes serán ambas $x$. Sus deformaciones serán $x-L_1$ y $x-L_2$, donde llamo $L_i$ a la longitud natural de cada resorte.

Ahora voy a pensar en alto y en exceso para que me sigas (y no tengas que soñar con los resortes y los dichosos signos): ¿qué pasa si $x$ es mayor que la $L_i$?, es decir, si uno de los resortes mide algo más que su longitud natural: la fuerza elástica que este ejerce irá dirigida hacia la derecha, que es el sentido que he elegido como negativo. Además es proporcional a la deformación $x-L_i$. Por tanto, dicha fuerza será $-k_i(x-L_i)$.

Como quizá suceda que sueñe por las noches con resortes y no esté seguro de lo que acabo de decir, voy a pensar en qué sucederá si $x$ es menor que una $L_i$: como el resorte medirá menos que su longitud natura empujará hacia la izquierda, es decir, en sentido positivo. ¿Me sirve la última fórmula que he escrito o debo manejar una función definida a trozos?. Veamos: si $x<L_i$, entonces $x-L_i<0$ y $-k_i(x-L_i)>0$, lo que significa que esta expresión para la componente de la fuerza también me sirve para este caso.

Por tanto, tengo que las dos fuerzas elásticas pueden describirse con vectores cuyas componentes en el sistema de referencia que he elegido son $-k(x-L_i)$. Si no tengo más fuerzas, la resultante tendrá por componente $-k_1(x-L_1)-k_2(x-L_2)$ y eso lo igualo con $m\ddot x$.

[LauraLopez]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

Esta ultima explicacion en especial la parte que pensas en voz alta es la que mas entendi pero (siempre hay un pero) justo en este ejemplo se da el caso podriamos decir "igual" a lo que tenia antes con 1 resorte porque por mas que sean 2 resortes ambos siempre se comprimen o estiran al mismo tiempo con lo cual al igual que ese ejempo de 1 resorte si veo claramente que siempre vale -kx.

Donde me cuesta verlo seria en por ejemplo el ejercicio de este hilo que me explicaste en el post 6 donde no tenes al estilo de este ultimo ejemplo ambas fuerzas elasticas negativas digamos..

sino que te aparece una positiva y una negativa y es ahi donde aparece en mis sueños los signos ya que no puedo aplicar la "super ley" de decir siempre -kx sino que voy a tener uno que es -kx pero el otro sera +kx

Me refiero a esto:
$F_x=-k_1\left(x-\frac{D}{2}-L\right)+k_2\left(2L-x-\frac{D}{2}\right)$

Si no es demasiada molestia te pediria si se me podes razonar esto de la misma forma que me explicaste anteriormente (cuando pensas en voz alta ) asi creo que finalmente veria claramente como difinis los signos de las fuerzas elasticas y el porque uno de ellos sera positivo

Gracias!!

PD: ahh y mas alla de esto de los signos esa ultima parte que haces pare el inciso b
como llegas a esto? $F_x=-(k_1+k_2)(x-x_0)$ y como de eso sabes finalmente el resultado que aca como dije antes no necesito encontrar una ecuacion diferencial cuya solucion conozca para ahi poder determinar el valor de omega?

[arivasm]

Re: 2 resortes 1 cuerpo

Vamos con la primera pregunta. Como llamé $x$ a la coordenada del centro de la caja, y tomé el cero de coordenadas a la izquierda y sentido positivo hacia la derecha, el extremo izquierdo de la caja estará en $x-\frac{D}{2}$ y el extremo derecho en $x+\frac{D}{2}$.

El resorte de la izquierda medirá la distancia entre 0 y el extremo izquierdo de la caja, es decir, $x-\frac{D}{2}$. Como su longitud natural es $L$ su alargamiento será $x-\frac{D}{2}-L$. Si éste es una cantidad positiva (es decir, si $x-\frac{D}{2}>L$) la fuerza que ejerce el resorte sobre la caja apuntará hacia la izquierda, es decir, tendrá una componente negativa, y de ahí que $\dst F_{1,x}=-k_1\left(x-\frac{D}{2}-L\right)$.

Aunque innecesario, podemos pensar en cómo será que esa fuerza apunte hacia la derecha (es decir, que $F_{1,x}>0$). Para ello el resorte deberá estar comprimido, es decir, que $x-\frac{D}{2}<L$, pero entonces $x-\frac{D}{2}-L<0$ y la fórmula anterior para $F_{1,x}$ seguirá dando cuenta del comportamiento correcto.

Vamos ahora con el resorte de la derecha. Tiene un extremo en $3L$ y el otro en $x+\frac{D}{2}$. Por tanto, su longitud será $3L-(x+\frac{D}{2})$. Restándole su longitud natural, encontramos que su alargamiento será $\left[3L-(x+\frac{D}{2})\right]-L=2L-x-\frac{D}{2}$.

Como antes, puedo ver que si esa cantidad es positiva es porque el resorte es más largo que $L$ entonces realizará una fuerza hacia la derecha, tratando de acortarlo. Por tanto, la componente x de dicha fuerza será $\dst F_{2,x}=k_2\left(2L-x-\frac{D}{2}\right)$.

El resto es simplemente aplicar que para hallar la suma de los vectores $\vec F= \vec F_1+\vec F_2$ sumamos componente a componente, es decir,

$$\dst F_x=-k_1\left(x-\frac{D}{2}-L\right)+k_2\left(2L-x-\frac{D}{2}\right)$$

Con respecto a cómo poner esta fuerza en función de $x_0$, seré sincero: no hice ningún cálculo, sino puro empleo de la experiencia. De todos modos, vamos a demostrarlo: la posición de equilibrio $x_0$ es la que hace nula la fuerza resultante, es decir, $\dst k_1\left(x_0-\frac{D}{2}-L\right)=k_2\left(2L-x_0-\frac{D}{2}\right)$.

Podemos escribir esta última expresión de esta manera

$$\dst (k_1+k_2)x_0=-k_1\left(-\frac{D}{2}-L\right)+k_2\left(2L-\frac{D}{2}\right)$$

Si ahora separamos en (1) lo que tiene $x$ de lo que no, es decir,

$\dst F_x=-k_1x-k_2x-k_1\left(-\frac{D}{2}-L\right)+k_2\left(2L-\frac{D}{2}\right)$

al comparar con (2) reconocemos claramente $(k_1+k_2)x_0$ en el lado derecho, de manera que ciertamente $F_x=-(k_1+k_2)(x-x_0)$