Uno de Óptica

[[Beto]]

[FONT=Comic Sans MS]Hola, a continuación presento el siguiente ejercicio:

La superficie plana de una placa de vidrio $V$ con índice de refracción $n$, está recubierta con una fina capa de otro vidrio de espesor $e$, cuyo índice de refracción es $n'$. Desde el exterior incide luz de longitud de onda $\lambda$ en forma rasante, formando un ángulo de $90^0$ con la normal a la superficie. Parte de la luz penetra en $V$, atravesando $V'$. ¿Qué espesor aproximado debe de tener la capa de vidrio $V'$ para que la intensidad de luz que penetra en $V$ sea máxima?

El problema que tengo al resolverlo es la parte que indica que la luz incide de forma rasante, si es así ¿Cómo es posible que penetre en el vidrio?[/FONT][FONT=Comic Sans MS] Supongo que en este ejercicio se tiene que tratar a la luz como una onda pero no encuentro la manera.
[/FONT] [FONT=Times New Roman][FONT=Comic Sans MS]
Gracias de antemano.[/FONT][/FONT]

[aLFRe]

Re: Uno de Óptica

Modificado en parte

Hola.

No iba a responder al post porque estoy seguro de lo que voy a decir
pero me extraña que el redactor del problema lo haya planteado así.

Me explico: como ya sabes en una interfase de un dieléctrico, las componentes tangenciales
de los campos eléctrico y magnético deben de satisfacer unas condiciones
de contorno: sumas lo que hay arriba en la dirección tangencial
( amplitudes con signo ) y eso debe de coincidir con lo que hay abajo.
Esto te da las relaciones de Fresnel ( coeficientes de amplitudes )
o razón entre las amplitudes de los campos transmitidos y reflejados
para los dos modos independientes TE y TM.
t transmitido,
i incidente

$t_{\perp}=\left(\frac{E^{ot}_{\perp}}{E^{oi}_{\perp}}\right)= \frac{2 \sin \theta_t \cos \theta_i}{\sin (\theta_i + \theta_t)}$

$t_{\parallel}=\left(\frac{E^{ot}_{\parallel}}{E^{oi}_{\parallel}}\right)=\frac{2 \sin \theta_t \cos \theta_i}{\sin (\theta_i + \theta_t)\cos (\theta_i - \theta_t)}$

Yo diría ( y perdón si me equivoco ) que el enunciado del problema
te está plantenado la posibilidad de que se propague una onda evanescente
en la plaquita interpuesta.
La onda evanescente tiene una amplitud que decae exponencialmente
y no transmite energía... esto es fácil de ver calculando el vector de Poynting
y haciendo el promedio temporal...
Que yo recuerde, la onda evanescente se produce cuando hay reflexión total
( el rayo va de un medio más denso a otro menos denso )...
en este caso no es así...
( en realidad podría funcionar si la placa tuviese un indice inferior al del aire,
y vuelve a estar el problema de la incidencia rasante )
pero ademas
las expresiones de Fresnel tienen un $\cos(\theta_i)$
en el numerador, para $\theta_i=\frac{\pi}{2}$ incidencia rasante...
cualquiera de los coeficientes de transmisión ( TE Y TM ) son 0
y no hay onda evanescente... el campo en el otro medio es 0.

No sé... perdona que no te haya podido ayudar...
he preferido recuperar el post por si alguien más te cuenta algo.

Un saludo y próspero año 2008.

Añadido: El efecto que se describe en el problema viene en "Optica" de Justiniano Casas,
en concreto en la página 199 de mi edición ( 7ª) y se llama efecto tunel óptico.
Pero sigo sin entenderlo para incidencia rasante.

[[Beto]]

Re: Uno de Óptica

[FONT=Comic Sans MS]Hola aLFRe, permíteme anotar los datos numéricos que proporciona el problema:

$n=1,50$; $n'=1.40$; y el medio exterior es el aire $n_0=1$, además se tiene que $\lambda=5500 A^0$ (no se colocarle el circulito al símbolo de Amstrongs ).

Ahora veamos lo que he avanzado, se tiene que el rayo incide desde el medio exterior, pero en el caso del problema $n_i< n_t$, motivo por el cual es de esperarse que no ocurra una reflexión total interna, sería diferente si fueran rayos X (aunque supongo que para el caso no interesa mucho pues la incidencia es de forma rasante).

Si no mal recuerdo la onda evanecesnte transmitida esta dada por:

[/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]$\displaystyle E_t=E_{0t}e^{-\beta y}e^{i(k_t\sin\theta_i/n_{ti}-\omega t)}$

[/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]Aunque no recuerdo el valor de $\beta$ ni la forma en que se llegaba a esa expresión (corríjanme si está mal escrita). Voy a tratar de deducirla si lo hago luego lo anoto. De ser esto así el primer paso consistiría en deducir esa expresión.
[/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]
Llegado a este punto (es decir teniendo la ecuación de la onda transmitida) ¿qué criterio se debe de tomar para determinar el espesor tal que la intensidad transmitida sea máxima?

Pd: Lo que me intriga un poco es el por que de la transmisión de la onda ¿Se debe tal vez a la dispersión que experimenta la luz al propagarse?

Un Saludo.[/FONT]

[aLFRe]

Re: Uno de Óptica

Primero, he estado toda la noche dándole vueltas a la cabeza
no he resuelto el problema,
pero se me ha ocurrido lo siguiente:
Tienes un rayo de luz que incide rasante $\theta_i= \frac{\pi}{2}$
( consideramos el problema plano,
en tu elección de coordenadas esa dirección es x y a la perpendicular y )
en el aire n_0=1...
y de alguna forma penetra en el vidrio n= 1,50

Bién... imagina la situación al revés... el rayo viaja por el vidrio e incide sobre
la interfase vidrio-aire... con un angulo $\theta_t > \theta_L$
siendo $\theta_L$ el ángulo límite
se produciría una onda evanescente en el aire
que decae exponencialmente según z, esto es para z grande no hay onda
y por tanto tampoco campos electricos y magnéticos
y progresa segun x...
y esto es exáctamente de lo que partimos.

Habría un problema... una onda evanescente no transmite energía...
si iluminas la interfase de un dieléctrico pues ¿ dónde va la energía ?
suponemos que la onda continúa su viaje sobre la superficie...
y esto rompería también la equivalencia de ambas situaciones.


Y ahora viene lo bueno... si inviertes una trayectoria del rayo
en la Óptica todo funciona
El único problema que he encontrado es que desde ese punto de vista
el rayo incidente daría lugar a un rayo reflejado... que no sé explicarlo
en el problema inicial.

Ahora entro en lo que me comentas:

[FONT=Comic Sans MS]

Si no mal recuerdo la onda evanecesnte transmitida esta dada por:

[/FONT] [CENTER][FONT=Comic Sans MS]$\displaystyle E_t=E_{0t}e^{-\beta y}e^{i(k_t\sin\theta_i/n_{ti}-\omega t)}$

Te falta una coordenada espacial creo
Tienes amortiguamiento en la y correcto pero los frentes de onda deben
de ser planos perpendiculares a la x...
Vamos a usar esta notación ' para el medio donde se propaga la onda evanescente,
perdón si me equivoco porque Justiniano usa las velocidades en cada medio y las frecuencias
en lugar de los números de onda
Si $N=\frac{n'}{n}$
$\beta = \frac{k' \sqrt{\sin^2 \theta_i -N^2}}{n}$
$\vec{E}_t= \vec{E}_0 \exp (-\beta z) \exp (j(\omega t - k( x\sin \theta_i)))$

[FONT=Comic Sans MS]Aunque no recuerdo el valor de $\beta$ ni la forma en que se llegaba a esa expresión (corríjanme si está mal escrita). Voy a tratar de deducirla si lo hago luego lo anoto. De ser esto así el primer paso consistiría en deducir esa expresión.
[/FONT]

Deducirla es muy fácil.
En Justiniano se expresan los campos eléctricos ( ondas planas ) del rayo incidentes y transmitido ( el refractado )
en coordenadas rectangulares planas
y se supone que se sigue cumpliedo la ley de Snell para incidencia superior al angulo límite $\theta_i$
el seno debe de ser mayor que 1
( no existe ningún ángulo real que lo verifique pero eso no es relevante ahora
puesto que como te he dicho... los frentes de onda se propagan de forma perpendicular
a la interfase )
por lo que el coseno $\cos \theta=\sqrt{( 1 - \sin^2\theta )}$
se vuelve imaginario
Al contruir la onda transmitida eso sale de la exponencial compleja como exponencial real con argumento negativo
que es un amortiguamiento en la z, que no en la x.

Llegado a este punto (es decir teniendo la ecuación de la onda transmitida) ¿qué criterio se debe de tomar para determinar el espesor tal que la intensidad transmitida sea máxima?

Verás... yo no he hecho nada con este tipo de ondas,
aparecieron en Electrodinámica y en Ondas Electromagnéticas Guíadas
luego no lo sé.
Puedes elegir el que tu uses por ejemplo para la descarga del condensador,
1, 2 o 3 $\tau$

Pd: Lo que me intriga un poco es el por que de la transmisión de la onda ¿Se debe tal vez a la dispersión que experimenta la luz al propagarse?

No tiene pinta de ser un problema de dispersión,
puesto que te da 1 única longitud de onda por lo cual hay 1 única frecuencia.

Las leyes de la reflexión y refracción ( la de Snell ),
más allá de que se deduzcan inicialmente para la Óptica Geométrica...
se deducen también para medios isótropos considerando los campos asociados
a la luz, eléctrico y magnético, que deben de cumplir
las condiciones de contorno en un dieléctrico usuales, esto es continuidad
de las componentes tangenciales del campo eléctrico $\vec{E}$ y de las
de las componentes tangenciales del campo magnético $\vec{H}$
Y la existencia de la onda evanescente sale generalizando la ley de Snell.

El problema es que la literatura que yo tengo es un poco confusa
y no sé casar esto con lo que he dicho
de que los coeficientes de transmisión tienden a 0 para incidencia rasante...
aunque es cierto que las gráficas que tengo son para incidencia
de un medio con indice de refracción menor a otro mayor...

[[Beto]]

Re: Uno de Óptica

Hola, estoy reviviendo este hilo luego de mucho tiempo, la razon es que le he dado una solución al ejercicio y quisiera me digan si es que esta bien, bueno ahi va:

[FONT="Comic Sans MS"]Analizando el cambio de fase aire - capa delgada [/FONT]

El ángulo con respecto a la normal con el que ingresa el haz de luz es tal que:

$$\sin\theta=\frac{1}{n'}$$

Esto por la ley de Snell. Hasta aquí concuerda mi resultado.

Y de aquí se puede concluir que:

$$\cos\theta=\frac{\sqrt{n'^2-1}}{n'}$$

[FONT="Comic Sans MS"]Ahora para analizar la interferencia calculo la diferencia de fase que existe:[/FONT]

La diferencia de fase ocasionada por las reflexión es:

$$\delta_1=\pi$$

La diferencia de fase debido a la trayectoria es:

$$\delta_2=\frac{2en'(2\pi)}{\lambda\cos\theta}$$

Luego la diferencia e fase total $\delta=\delta_1+\delta_2$, para que la intensidad de luz que pasa sea máxima (interferencia constructiva), debe de ser un múltiplo entero de $2\pi$, es decir:

$$2m\pi=\pi+\frac{2en'(2\pi)}{\lambda\cos\theta}$$

de donde despejando el espesor $e$ y haciendo uso de (1) se obtiene que:

$$e=(2m-1)\frac{\lambda\sqrt{n'^2-1}}{4n'^2}$$

Luego tomo $m=0$, para tomar el primer máximo de la interferencia constructiva que se produce.

Lo que no me cuadra es que la respuesta me tendría que dar:

$$(2 L + 3) d/\cos\theta = (1 + K) \lambda / n'$$

donde $d$ es el espesor del vidrio $V'$, lambda la longitud de onda de la luz en el aire, y $K,L$ enteros $(0,1,2...)$

¿Me podrían dar alguna indicación o si me falta considerar algo más para llegar a esa respuesta que me dan?

Gracias de antemano.