1r ciclo Solenoide alrededor de una esfera

[Zhisi]

No se muy bien cómo hacerlo. Se me ha ocurrido lo siguiente:
A partir de la ecuación del campo que genera una espira en el eje horizontal $z$:

$\dst B_z =\frac{ \mu _0}{4 \Pi }\frac{I r^2 2 \Pi }{(z^2 +r^2 )^{3/2}}$

donde $r$ es el radio de la espira y $z^2 +r^2$ la distancia desde el eje de la espira a la espira.

Obtenemos el campo para el "solenoide esférico":

$\dst dB_z=\frac{ \mu _0}{4 \Pi }\frac{di r^2 2 \Pi }{(z^2 +r^2 )^{3/2}}$

donde $z^2 +r^2$ es la distancia desde el eje de la espira a la espira que será constante y llamaré $R$ es decir $z^2 +r^2=R^2$, $r$ es el radio VARIABLE de la espira es decir $r^2=R^2-z^2$ y $di=Indz$ es un diferencial de intensidad ($n$ densidad de espiras). Esto último no lo entiendo muy bien, pero para deducir un solenoide normal se utiliza. Agradecería que alguien me lo explicara.

Sustituyendo:

$\dst dB_z=\frac{ \mu _0}{4 \Pi }\frac{nIdz (R^2-z^2) 2 \Pi }{R {3}}$

Integrando respecto a $dz$ y evaluando en los límites $R$ y $-R$ obtengo:

$\dst B_z=\frac{ \mu _0}{2}\frac{nI }{R^3} (R^2(R-(-R)+\frac{1}{3}(R^3-(-R^3)))$

$\dst B_z=\frac{2}{3} \mu _0 n I$

FIN


¿Sugerencias?


Gracias.

[Al2000]

Re: Solenoide alrededor de una esfera

...
donde $z^2 +R^2$ es la distancia desde el eje de la espira a la espira que será constante y llamaré $r$ es decir $z^2 +R^2=r$, $R$ es el radio VARIABLE de la espira es decir $R^2=r^2+z^2$ y $di=Indz$ es un diferencial de intensidad ($n$ densidad de espiras). Esto último no lo entiendo muy bien, pero para deducir un solenoide normal se utiliza. Agradecería que alguien me lo explicara.
...

Zhisi, aquí veo varios problemas. Lo que presumo es un error de tipeo ($z^2 +R^2=r$, dimensionalmente inconsistente), un eror de despeje ($R^2=r^2+z^2$, signo de $z^2$) y un error de concepto ($di=Indz$, $n$ tratado como una constante). También, y a modo de crítica constructiva, fue muy mala la elección de los nombres de las variables, pues lo que llamas $r$ es la $R$ del enunciado del problema, con la consiguiente posibilidad de confusión.

Lo mas importante que debes notar es que si las espiras están uniformemente espaciadas en la superficie curva, entonces el espaciamiento según $z$ no será constante.

Aquí te pongo la solución (que yo creo es la) correcta. Me apoyo en un gráfico modificado a la carrera del cálculo del campo eléctrico de un hemisferio, que es lo que tengo a mano:



Partiendo del campo de una espira circular a lo largo del eje (omito el vector pues todos los campos a sumar son paralelos)

$$B = \frac {\mu_0 I} 2 \frac {R^2}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$$

y haciendo los cambios

$$x \to R \cos \theta$$

$$R \to R \, \mathrm {sen} \, \theta$$

$$I \to dI = \left(\frac {N I}{\pi R}\right) (R \, d \theta) = \frac {N I} \pi \, d \theta$$

queda

$$B = \frac {\mu_0 N I}{2 \pi R} \int_{0}^{\pi }\!\! \, \mathrm {sen}^2 \, \theta\, d \theta = \boxed {\frac {\mu_0 N I}{4 R}}$$

Saludos,

Al

[Zhisi]

Re: Solenoide alrededor de una esfera

Ya he arreglado los errores de tipeo, el resultado final (parece que además no sé sumar jaja!) y he cambiado los nombres de las variables tal y como indicas (no me había fijado en la nomenclatura del enunciado)

, tratado como una constante

Se me olvido decirlo, $n=\frac{N}{L}$ es la densidad de espiras donde $N$ es el número de espiras y $L$ la longitud del solenoide, en este caso $2R$.

si las espiras están uniformemente espaciadas en la superficie curva, entonces el espaciamiento según no será constante.

Esto no lo entiendo. Espera, creo que si jaja!! Tu consideras que están uniformemente espaciadas sobre la superficie curva y yo que lo están sobre el eje z. El enunciado no dice nada al respecto. En tu caso, las espiras más a la izqda estarán más cerca unas de otras y se irán separando conforme se acercan a la zona central de la esfera para volver a reducirse la distancia entre las espiras conforme se acercan al extremo de la derecha, de este modo se mantiene constante la distancia entre las espiras en la superficie curva pero no sobre el eje z. En mi planteamiento sucede lo contrario.

$I \to dI = \left(\frac {N I}{\pi R}\right) (R \, d \theta) = \frac {N I} \pi \, d \theta$

Lo que haces es poner la densidad de espiras (lo que yo llamo n) en función de la longitud de arco trazado por $\theta$ en lugar de en función de la distancia sobre el eje.

Creo que he entendido cómo lo haces.

Me parece que hemos hecho dos ejercicios distintos, en tu caso el número de espiras es menor que en el mío y por tanto el campo resultante también debería ser menor, si sustituyo la densidad de espiras en mi caso para compararlo con el tuyo queda:

$\frac{ \mu _0 NI}{3R}>\frac {\mu_0 N I}{4 R}$

Lo cual tiene sentido.

Probablemente me haya confundido en algo, pero por el momento estoy casiconvencido de lo que he planteado jajajaja!!


Gracias!!!!

[Zhisi]

Re: Solenoide alrededor de una esfera

He hablado con el profesor y lo plantea como tu dices, pero en el enunciado no lo deja claro, por lo que me ha dicho que son dos situaciones distintas, ambas válidas, pero que normalmente sucede que la denseidad es constante a lo largo de la curva y no a lo largo del eje, pero si se bobina con cuidado la esfera se puede hacer que la densidad sea constante a lo largo del eje.
Por tanto son dos ejercicios distintos.


Un saludo y gracias.