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integral p'/p = 2pi*i*n

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  • integral p'/p = 2pi*i*n

    Otro:

    Sea un polinomio de grado y suficientemente grande tal que no se anule en . Si es el círculo de radio centrado en el origen, muestre que

    .

    Siempre son bienvenidas sugerencias. Gracias.

  • #2
    Re: integral p'/p = 2pi*i*n

    Por el teorema fundamental del álgebra, p(z) tiene exactamente n ceros. Como no hay ninguno fuera de C, todos están en su interior. En cada uno de los ceros, ,, puedes escribir p(z) como una serie de Taylor (no de Laurent, puesto que es regular). Te darás cuenta de dos cosas: todos los ceros corresponden a polos (de orden 1), y que el residuo correspondiente siempre es 1.
    La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
    @lwdFisica

    Comentario


    • #3
      Re: integral p'/p = 2pi*i*n

      Al argumento de Pod habria que añadir el caso en el polinomio tuviera raices multiples (por ej P(z)=z^2). Entonces, hay raices dobles, que corresponden a polos de orden 2 en P'(z)/P(z) . Habria que ver que, si la raiz es doble, el residuo es 4Pi i

      Comentario


      • #4
        Re: integral p'/p = 2pi*i*n

        Escrito por carroza Ver mensaje
        Al argumento de Pod habria que añadir el caso en el polinomio tuviera raices multiples (por ej P(z)=z^2). Entonces, hay raices dobles, que corresponden a polos de orden 2 en P'(z)/P(z) . Habria que ver que, si la raiz es doble, el residuo es 4Pi i
        Bueno, en ese caso el residuo debería ser 2, no . En general, debería el grado del polo.
        La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
        @lwdFisica

        Comentario


        • #5
          Re: integral p'/p = 2pi*i*n

          Escrito por arturo Ver mensaje

          Sea un polinomio de grado y suficientemente grande tal que no se anule en . Si es el círculo de radio centrado en el origen, muestre que

          .
          Gracias a todos.

          He utilizado el principio del argumento para resolverla que dice algo asi:

          -----------------------------------------------

          Sea analitica dentro y sobre una curva simple cerrada excepto para un número finito de de polos dentro de . Entonces



          donde N y P son, respectivamente, el número de ceros y polos de dentro de .

          ---------------------------------------------

          Entonces, como tiene n ceros y es un polinomio, se aplica el teorema anterior .

          Si no se sabe el teorema se puede utilizar integrales de linea.

          Una disculpa por escribirlo apresuradamente, prometo escribir la demostración del teorema.

          Se aceptan sugerencias y correcciones.

          Comentario


          • #6
            Re: integral p'/p = 2pi*i*n

            No me queda muy claro tu argumento.

            Un polinomio de orden n puede tener menos de n ceros, si tiene raices multiples.

            Por ejemplo, x^n es de orden n, pero tiene un unico cero (x=0).

            En este caso, no se somo se aplicaria tu formula general.

            Sin embargo, en esa situacion, p'(x)/p(x) = n x^(n-1)/x^n = n /x, tiene un polo simple, de residuo n,
            con lo cual se cumple tu expresion.

            Total, que podriamos decir que, en general, p'(x)/p(x) tiene solo polos simples, y el residuo en cada polo es igual al orden de la raiz de p(x) que genera el polo.
            Con ello, por el teorema de los residuos, la integral es 2pi i por la suma de los ordenes de los ceros del polinomio, y eso si es igual al orden del polinomio.

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