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¿Cuándo es conmutativa la potencia?

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  • ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

    Se trata de encontrar los pares de enteros positivos y distintos tales que .

  • #2
    Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

    Escrito por ajotatxe Ver mensaje
    Se trata de encontrar los pares de enteros positivos y distintos tales que .

    vamos a replantearlo de la forma siguiente: Para un numero a, encontrar b de tal forma que cumpla .

    En esta ecuacion, haciendo logaritmos, se halla



    Si haceis la grafica de la funcion , vereis que tiene valores iguales, para
    , y para ,

    Por tanto, para cada valor de a>1, hay un valor de b>1 que cumple .
    Este valor se obtiene resolviendo.

    Comentario


    • #3
      Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

      He visto que la pregunta pide numeros enteros.

      Por lo que vimos antes, uno de los valores (a o b) debe estar entre 1 y e.

      El unico entero entre 1 y e es 2, y el valor de b que corresponde a a=2 no es entero.

      Por tanto, no hay soluciones enteras para

      Comentario


      • #4
        Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

        Perdon, me he equivocado.

        Para a=2, b=4. Asi que hay una unica solucion:

        Comentario


        • #5
          Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

          Cuando se trata de encontrar lo pares de enterosc,b tales qe c ala b =b ala c

          Comentario


          • #6
            Re: ¿Cuándo es conmutativa la potencia?

            Cuando se trata de encontrar las soluciones naturales de a^b=b^a se me ocurre una manera un tanto chapucera:

            supongamos que a>b, por lo que a=b^s con s>1, sustiyendo y aplicando logaritmos en base b tenemos las siguientes igualdades:

            a=b^s
            bs=b^s

            Para que las soluciones sean enteras positivas, s ha de ser entero y positivo, así que iré probando con los diferentes valores que puede tomar s.

            Si s=1, entonces tenemos que a=b que es la solución obvia.
            Si s=2, tenemos que b=b^2 que tiene a b=2 como solución no trivial y a=2^2=4. Por lo tanto 2^4=4^2
            Para s>2 tenemos que b es siempre un real mayor que 1 y menor que 2, por lo que ya no existen más soluciones.

            En resumen, las única soluciones naturales son a=b, a=2 y b=4 (o al inrevés).

            Un saludo, Juanma

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