2o ciclo máximo crecimiento de la función según gradiente

[Julián]

La dirección del vector gradiente en un punto de una función escalar nos da la dirección en donde la función crece más, para una función $f: {R}^{2}\to R$la dirección está dada por $<dx,dy>$ y las componentes del vector son las derivadas parciales. así que resulta

$\nabla f = <\frac{\alpha f}{\alpha x }, \frac{\alpha f}{\alpha y }>.<dx,dy> = \frac{\alpha f}{\alpha x }\hat{\imath} + \frac{\alpha f}{\alpha y }\hat{\jmath}$

Pero ¿por qué siempre se da el máximo crecimiento en la dirección de $<dx,dy>$ y no en otra dirección dada por algún otro vector $\hat{v}=<{\hat{v}}_{x},\hat{v}}_{y}>$? es decir, ¿por qué se toma para calcular el cociente incremental de la función la dirección de los ejes coordenados? como si en esa dirección todas pero todas las funciones crecerían más.

saludos.

[arivasm]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

En primer lugar, la expresión que pones es incorrecta, pues

$$\dst\vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec\imath+\frac{\partial f}{\partial y}\vec\jmath$$

Quizá estabas pensando en esta otra:

$$\dst \dd f=\vec\nabla f \cdot \dd\vec r= \frac{\partial f}{\partial x}\dd x+\frac{\partial f}{\partial y}\dd y$$

Por tanto, creo que no has comprendido bien la idea: la dirección de máximo crecimiento de f no es el vector desplazamiento infinitesimal genérico $\dd\vec r=(\dd x,\dd y)$, sino la del vector gradiente, $\vec\nabla f$.

Lo que expresa (2) es cuánto cambia el valor de la función si se produce un desplazamiento infinitesimal arbitrario: será el producto escalar del gradiente y dicho desplazamiento que, como sabes, implica quedarse con la *proyección* del gradiente sobre la dirección de dicho desplazamiento.

[Julián]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

ah gracias. entonces replanteo la pregunta. ¿por qué la dirección del vector gradiente es la de máximo crecimiento?

Suponiendo que para calcular las derivadas parciales de una función escalar ($f:{R}^{2}\toR$ tenemos que tomar como constante una variable.

$\frac{\alpha f}{ \alpha x }= {\ell}_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x , y) - f(x,y) }{\Delta x }$

$\frac{\alpha f}{ \alpha y }= {\ell}_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y+\Delta y) - f(x,y) }{\Delta y }$

es decir tomamos una variable constante y a la otra le damos un pequeño incremento, el cociente incremental entre la función y la variación de dicha varible es la derivada parcial con respecto a esa variable.

¿por qué el vector gradiente indica la dirección de máximo crecimiento? si las componentes de este son las derivadas parciales y estas nos dan la relacion de la taza de variación de la función con respecto a una de las variables. No veo en donde estas pueden indicar la direccion de máximo creciemiento.

saludos.

[arivasm]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

Las derivadas parciales te dan las componentes del vector gradiente en un sistema de coordenadas dado. Si el sistema se eligiese de tal manera que, por ejemplo, el eje X apuntase en la dirección de máxima variación de la función en un punto determinado, entonces la variación en cualquier sentido transversal (ejes Y y Z) sería nula.

Para visualizarlo pensemos en un caso bidimensional: la gráfica de la función es un paisaje. Lo anterior equivale a decir, si elijo el eje X en la dirección de la pendiente en cierto lugar, en dirección Y no cambiará la altura.

La elección de otro sistema de coordenadas es simplemente una rotación de los ejes: el gradiente sigue apuntando en la misma dirección, pero tiene componentes no nulas, cuyas relaciones son un simple cambio de variables (dada por la matriz de la rotación), que podemos aplicar con la regla de la cadena.

Quizá la mejor manera de verlo desde un punto de vista exclusivamente matemático sea la expresión que te indiqué antes:

$$\dst \dd f=\vec\nabla f \cdot \dd\vec r= \frac{\partial f}{\partial x}\dd x+\frac{\partial f}{\partial y}\dd y$$

¿Cómo debe apuntar $\dd\vec r$ para que df sea lo mayor posible? Como interviene un producto escalar, la respuesta es clara: en la misma dirección y sentido que tenga el gradiente.

[Julián]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

Gracias por tu respuesta. Entonces por lo que entendí la dirección de máximo crecimiento para funciones escalares del tipo $f:{R}^{2} \to R$ siempre el crecimiento de la función está en relación con los ejes $x$ y $y$ es por esto que las componentes del vector de máximo crecimiento son la variación de la función con respecto a uno de esos ejes.

Las funciones que tienen variables $x$ y $y$ por ejemplo, el vector máximo crecimiento siempre tendrá direcciones con respecto a $x$, es decir, $\hat{\imath}$ y $y$ , $\hat{\jmath}$. ¿es así?

Por lo que puedo concluir que como el valor de la función está en relación de $x$ y $y$, la función varía en las direcciones $\hat{\imath}$ y $\hat{\jmath}$, y como varía en esas direcciones es lógico pensar que el gradiente tendrá esas direcciones ($\hat{\imath}$ y $\hat{\jmath}$) y cuyas componentes son las variaciones de la función con respecto a uno de esos ejes, tomando como constante el otro.

Les agradecería su respuesta porque llevo bastante tiempo sin entender este tema. No sé por qué me cuesta entenderlo pero no me quiero quedar simplemente con aceptar una definición sino que quiero entenderla

saludos.

[arivasm]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

el vector máximo crecimiento siempre tendrá direcciones con respecto a $x$, es decir, $\hat{\imath}$ y $y$ , $\hat{\jmath}$. ¿es así?

Exactamente igual que cualquier otro vector.

Por lo que puedo concluir que como el valor de la función está en relación de $x$ y $y$, la función varía en las direcciones $\hat{\imath}$ y $\hat{\jmath}$, y como varía en esas direcciones es lógico pensar que el gradiente tendrá esas direcciones ($\hat{\imath}$ y $\hat{\jmath}$) y cuyas componentes son las variaciones de la función con respecto a uno de esos ejes, tomando como constante el otro.

Lo que escribes es correcto. Sólo añadiré que la función también varía en cualquier otra dirección. Por ejemplo, puedes pensar en una recta(*) que no sea paralela a alguno de los ejes; al recorrerla la función también irá variando, ¿cuánto? si $\dd\vec r=\dd x\hat\imath+\dd y\hat\jmath$ es la expresión de la variación infinitesimal que se produce al ir recorriendo la recta(*), la función experimentará una variación $\dst\dd f=\frac{\partial f}{\partial x}\dd x+\frac{\partial f}{\partial y}\dd y$.

(*) o cualquier curva arbitraria

[hennin]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

[PHP]¿por qué siempre se da el máximo crecimiento en la dirección del gradiente y no en otra dirección dada por algún otro vector ?[/PHP]

Les agradecería su respuesta porque llevo bastante tiempo sin entender este tema. No sé por qué me cuesta entenderlo pero no me quiero quedar simplemente con aceptar una definición sino que quiero entenderla

Esa es la actitud propia de un científico

Te lo demostraré matemáticamente que es como se ve rigurosamente sin apelar a incrementos ni geometría:

Sea $f:A\subset R^n\to R$ diferenciable en $x_0 \in A$. Por definición existe una aplicación lineal que cumple la definición clásica de diferenciabilidad.

Esta aplicación lineal, denotada por $df(x_0)$, está únicamente determinada por los vectores de la base escogida (la canónica, para simplificar). Por ser lineal, se tiene que:

$df(x_0)(x)=<x,df(x_0)(e_i)>$.

Teniendo en cuenta que si f es diferenciable en un punto, entonces dicha aplicación es justo la derivada direccional en dicho punto (basta tomar $h=tv$ con t real, de la definición, y despejar):

$df(x_0)(v)=D_vf(x_0)$ con $v\in R^n$ una dirección.

Entonces: $df(x_0)(v)=<\nabla f(x_0),v>$.

Luego en el caso en el que comentas, se tiene que $A \subset R^2$.

$df(x_0)=<\nabla f(x_0),v>=\left\vert{\nabla f(x_0)} \right\vert{}\left\vert{v} \right\vert{} \cos \theta$, cuyo máximo valor se tiene cuando $\theta =0$.

Es decir, cuando $v= \lambda \nabla f(x_0)$ y como v es una dirección (norma igual a 1), $\lambda =\dst\frac{1}{\left\vert{} \nabla f(x_0) \right\vert{} }$. (si el gradiente es cero, no hay problema, pues la diferencial sería la aplicación nula).

Luego finalmente, obtenemos que la aplicación diferencial alcanza su máximo valor en la dirección $v= \dst\frac{\nabla f(x_0)}{\left\vert{} \nabla f(x_0) \right\vert{} }$, que era justo lo que querías ver.

Por último, decir que en todo momento, la diferencial es una aplicación lineal cuya norma (en el espacio vectorial de funciones lineales, que es normado) es igual a la norma del gradiente en $R^n$

Saludos.

PD: si no entiendes algún paso porque he omitido los que considero fáciles, encantado estaré de mostrártelos.

[Julián]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

Gracias por respoder nuevamente he podido pulir un poco la idea. ahora puedo expresar mejor la duda en puntual.

existe una superficie en el espacio $f(x,y):{R}^{2}\to R$ si nos paramos en un pto. en el interior, desde ese punto podemos ir hacia infinitas direcciones donde la función varía en cada una de ellas (salvo quizás en algunas direcciones que están en el mismo nivel) ¿por qué entonces la mayor variación se da siempre en la dirección de los ejes coordenados?


saludos.

[arivasm]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

¿por qué entonces la mayor variación se da siempre en la dirección de los ejes coordenados?

¡Eso es falso!

[hennin]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

La elección de la base canónica no implica lo que dices, es simplemente arbitrario.

[Julián]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

Pero si el vector gradiente tiene componentes $<\frac{\alpha f}{\alpha x },\frac{\alpha f}{\alpha y }$ por lo que $\nabla f (x,y) = \frac{\alpha f}{\alpha x } \hat{\imath} + \frac{\alpha f}{\alpha y }\hat{\jmath}$

en donde el vector $\nabla f (x,y)$ se forma de la suma de los vectores $\frac{\alpha f}{\alpha x } \hat{\imath}$ y $\frac{\alpha f}{\alpha y }\hat{\jmath}$. Es decir en la dirección de $\hat{\imath}$ una cantidad $\frac{\alpha f}{\alpha x }$ y en a dirección $\hat{\jmath}$ una cantidad $\frac{\alpha f}{\alpha y }$. Pero tanto$\frac{\alpha f}{\alpha x }$ como $\frac{\alpha f}{\alpha y }$ es la razón del cambio de la función con respecto la dirección de uno de los ejes dejando al otro constante. Pero la función varía en todas las direcciones, ¿no es posible que en otra dirección se encuentre una variación diferencial de la funcion mayor que la de la dirección de los ejes?, ¿así que esa razón de cambio no tendría que estar en vez de las derivadas parciales?

[hennin]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

Al hacer la "suma" que dices, tienes en cuenta el cambio en todas las direcciones, basta coger 3 linealmente independientes.

A la pregunta

¿no es posible que en otra dirección se encuentre una variación diferencial de la funcion mayor que la de la dirección de los ejes?

Te respondo diciendo que vuelvas a ver la demostración, y ahí está la respuesta.

[Julián]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

Es que de la demostración hay cosas que no entiendo.

supongo que $df({x}_{0})$ es la derivada parcial evaluada en el punto ${x}_{0}$

pero ¿qué es $df({x}_{0}) (x)$? ¿la función derivada parcial?

saludos

[arivasm]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

$\\d f(x_0,y_0)$ (yo lo escribiré para una función de dos variables) no es la derivada parcial, sino el diferencial de la función, calculado en el punto $(x_0,y_0)$. Los físicos acostumbramos a identificarlo con el cambio que experimentará la función cuando se pase desde dicho punto a otro próximo $(x_0+\dd x,y_0+\dd y)$, donde las diferencias se eligen arbitrariamente. Los matemáticos, en cambio, adoptan un punto de vista más formal (y general), e identifican df con una función, que podemos, por tanto, denotar por $\\d f(x_0,y_0)(x,y)$ que equivale a tomar, en la gráfica (que será tridimensional) de $f(x,y)$ el plano tangente a la misma en $(x_0,y_0)$.

[Julián]

Re: máximo crecimiento de la función según gradiente

Ah ya entendí. Mi confusión venía por relacionar en el espacio el vector gradiente $\nabla f(x,y)$ de la función $f: A \subset {R}^{2} \to {R}$ que está en el espacio.
Para visualizarlo en el plano $xy$ trazamos todos lo puntos que tienen el mismo valor de la función, estos forman curvas de nivel. La variación de la función $d f(x,y)$, que sería de una curva de nivel proyectada en el plano $xy$ a otra. El vector gradiente es el vector en el plano $xy$ cuya dirección es la mas corta hacia otra curva de nivel. ¿es así?