1r ciclo Integración por partes

[AlejandroR]

[FONT=verdana]Hola, [/FONT]

[FONT=verdana]He echo un ejercicio, con 2 sustituciones diferentes y me da resultados diferentes y no entiendo por qué, es este ejemplo:[/FONT]

[FONT=verdana] siendo t=sinx ,dt=cosxdx, dx=dt/cosx [/FONT]

[FONT=verdana]y luego el mismo ejercicio pero sustituyendo t=2+cosx, me da el resultado : -log(2+cosx)[/FONT]


[FONT=verdana]por qué?? cual es el error de la primera? no deberían de dar los 2 resultados iguales?? [/FONT]


[FONT=verdana]Gracias![/FONT]

[gdonoso94]

Re: Integración por partes

El primer cambio de variable está mal hecho. Ten en cuenta que si cambias de variable, cambias todas las variables, por tanto no pueden quedarte por ahí ninguna $x$. El problema es que al despejar x aparecen arcosenos y arcocosenos, con lo que queda una integral fea. A parte de esto, no sé si te das cuenta, pero es una integral "directa":

La derivada de $2+\cos(x)$ es $-\sin(x)$. Introduciendo un signo negativo dentro y fuera de la integral te queda que:

$$-\int{-\frac{\sin(x)}{2+\cos(x)}\dd x}=-\log(2+\cos(x))+K$$

Donde $K$ es una constante.

Saludos!

[AlejandroR]

Re: Integración por partes

y esta integral: (1/tan^4x +1/tan^2x)dx

haciendo cotx=1/tanx t=cotx,dt=-1/sen^2xdx, dx=-sen^2xdt

quedando integralt^4+t^2)dt

su resultado final es -sen^2(t^5/5+t^3/3) y luego se sustituye la t=cotx y ya está , no?


Gracias!

[sater]

Re: Integración por partes

gdonoso, no es logaritmo neperiano?
o bueno quizá es tu notación, yo siempre lo pongo como Ln xD

[gdonoso94]

Re: Integración por partes

Sater: sí, efectivamente me refiero a logaritmo neperiano. En la carrera apenas se usan los logaritmos decimales, en cuyo caso se expresan como: $log_10$

En cuanto a esa integral, entiendo que te refieres a:

$$\int{\frac{1}{\tan^4(x)}+\frac{1}{\tan^2(x)}}\dd x=\int{\cot^4(x)+\cot^2(x)}\dd x$$

Pues bien, esa integral nunca se me ocurriría realizarla por partes, más que nada porque es un coñazo de integral, utilizaría la fórmula de reducción de la cotangente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Donde, en nuestro caso, $m=4$.

Escribiendo cotangente como cosecante: $\cot^2(x)=\csc^2(x)-1$

Luego nuestra integral se convierte en algo así como:

$$I=-\int{1}\dd x+\int{\csc^2(x)}\dd x-\frac{1}{3}\cot^3(x)-\int{\cot^2(x)}\dd x=$$

$$=-x-\cot(x)-\frac{1}{3}\cot^3(x)-\int{csc^2(x)-1}\dd x=$$

$$=-x-\cot(x)-\frac{1}{3}\cot^3(x)+x+\cot(x)=-\frac{1}{3}\cot^3(x)+K$$

Creo que no me he equivocado en ningún sitio, pero sinceramente después de escribir todo esto con LaTeX da bastante pereza revisarlo.

Si encontráis algún fallo decídmelo!

Un saludo!

[AlejandroR]

Re: Integración por partes

Hola gdonoso, Gracias, pero debo de hacerla con sustitución, y noentiendo por que mejor de otra forma, ya que parece fácil... sustituirla cotx = t y ya está, no? lo único que después habría que hacer sustituciones con propiedades trigonométricas, no?

[gdonoso94]

Re: Integración por partes

Lo veo algo más complicado. La integral [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , ya la sabes hacer, no? (voy a omitir el simbolo diferencial y esas cosas...)

Vamos a por la de $\int\frac{1}{tan^4(x)}=cot^4(x)=cot^2(x)\cdot cot^2(x)$

Ahora bien, sustituimos un $cot^2(x)$ por $csc^2-1$.

$$\int cot^2(x) csc^2(x)-\int cot^2(x)$$

(Esta ultima integral sabemos hacerla ya, me refiero a la de $\cot^2(x)$).

La integral que queda la realizas por sustitución tomando $u=cot(x)$ y ya sale, si no me equivoco, de la forma [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Que supongo que sabes hacer.


Un saludo!

[AlejandroR]

Re: Integración por partes

gdonoso, la verdad que lo entiendo, pero por qué no así?

[FONT=Courier New]
[/FONT][FONT=Courier New][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[/FONT][FONT=Courier New]t=cot, dt=1dx/-sen^2x , dx=-sen^2xdt , [/FONT]
[FONT=Courier New]$\int{(t^4(x)+t^2(x)-sen^2x)dt}$


[/FONT][FONT=Courier New]$-sen^2x({\frac{t^5}{5}+\frac{t^3}{3}})$
[/FONT]
que luego se sustituye t por cot(x)

cual es el fallo ahí¿

Esto es lo que no entiendo, por qué sustituyendo la t por cot(x) no se puede hacer , no sé donde tengo el error
Gracias!

[gdonoso94]

Re: Integración por partes

Te ocurre lo mismo que antes, cuando cambias variable tienes que cambiar TODAS las variables, o hacer que se anulen, lo cual es bastante complicado en este caso.