1r ciclo Radio de convergencia

[Julián]

El desarrollo de la función $\sin (z)$ con $z \in C$ en $z=\pi /4$ es

$sin (z)=\frac{{(-1)}^{n} {(z- \pi / 4)}^{2n+1}}{(2n+1)! }$

Tengo que encontrar el radio de convergencia pero en ninguna parte se menciona como. Solamente que las series de potencia son convergentes si cumplen los requisistos de los criterios. Pero estos no nos dan el radio de convergencia sino si la serie converge o no. ¿alguna ayuda de que es lo que tengo que hacer o como?

saludos.

[gdonoso94]

Re: Radio de convergencia

Sobre los reales yo aplicaba el criterio del cociente y el valor que me daba era el radio de convergencia que usaba, luego tenía que comprobar qué ocurría en los extremos de ese valor, ya que era un valor absoluto.

No sé si en complejos se hará igual.

Un saludo!

[Breogan]

Re: Radio de convergencia

Hola:

El desarrollo de la función $\sin (z)$ con $z \in C$ en $z=\pi /4$ es

$sin (z)=\frac{{(-1)}^{n} {(z- \pi / 4)}^{2n+1}}{(2n+1)! }$

Tengo que encontrar el radio de convergencia pero en ninguna parte se menciona como. Solamente que las series de potencia son convergentes si cumplen los requisistos de los criterios. Pero estos no nos dan el radio de convergencia sino si la serie converge o no. ¿alguna ayuda de que es lo que tengo que hacer o como?

saludos.

Mucho no me acuerdo del tema pero primero una aclaración, creo que los desarrollos de sen z, y de sen (z-z0) son:

$\dst sen\ z=\sum_{n = 0}^\infty \frac{{(-1)}^{n} }{(2n+1)! }\ {z}^{2n+1}$

$\dst sen\ (z-z_0)=\sum_{n = 0}^\infty \frac{{(-1)}^{n} }{(2n+1)! }\ {(z-z_0)}^{2n+1}$

Y como dijo gdonoso94 los criterios de convergencia son los mismos que para las series de variable real, es decir:

Dada $\dst f(z-z_0)=\sum_{n = 0}^\infty\ a_n\ (z-z_0)^n$ si existe $\rho>0\ \in\ R$ tal que $\dst \rho=\lim_{n \to \infty}\frac 1 {\sqrt[n]{\left\vert{a_n} \right\vert{}}}$ ó $\dst \rho=\lim_{n \to \infty}\frac {\left\vert{a_n} \right\vert{}}{\left\vert{a_{n+1}} \right\vert{}}$ la serie converge absolutamente para todo z tal que $\left\vert{z-z_0} \right\vert{}<\rho$, y los limites del intervalo se deben analizar individualmente.

Ademas, con idénticas condiciones del punto anterior, para todos los z tal que $\left\vert{z-z_0} \right\vert{}>\rho$ la serie diverge.

Por lo menos es lo que me parece recordar.

Suerte