1r ciclo Onda transversal. Densidad de energía, máximos, mínimos y nodos.

[gdonoso94]

Hola, tengo el siguiente ejercicio en el que me he quedado atascado en un apartado:

Una onda transversal se propaga en forma de onda plana en una región del espacio de densidad volumétrica de masa $\rho=750 kg/m^3$, de manera que el desplazamiento de las partículas del maerial respecto de la posición de equilibrio viene dado por:

$$\dst y(x,t)=0,1\sin 2\pi (x/4-t/0,02)$$

donde x está expresado en metro sy t en segundos. Se pide:

a) Escribir la ecuación diferencial de ondas cuya solución es la citada onda.
[...]
c) Calcular la densidad de energía cinética por unidad de volumen en la posición x=4 m y el tiempo t=0,8 s.

Si a una distancia de 50 m del foco la onda incide en una superficie y se refleja totalmente sin cambio de fase:

d) Calcular la distancia entre un máximo y un mínimo consecutivos.
e) Calcular el número de nodos que aparecerán como consecuencia de la superposición de la onda y su eco.

En realidad sólo he conseguido hacer el apartado b), que pide cosas como la longitud de onda, la frecuencia angular, etc...

El problema es que en los apuntes de mi profesor no viene nada en relación a la densidad de energía y mucho menos de máximos y mínimos...

¿Alguien podría echarme una mano?

Gracias

[angel relativamente]

Re: Onda transversal. Densidad de energía, máximos, mínimos y nodos.

a) Sin ser un experto en el tema, al ser una onda armónica tendrá como ecuación diferencial la clásica $\dst \dfrac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v^2} \cdot \dfrac{\partial^2 y } {\partial t^2 }$, ¿no?

c) No entiendo esta cuestión. En física, la densidad de energía se refiere a una energía por unidad de volumen, por lo que "una densidad de energía por unidad de volumen" no creo yo que tenga mucho sentido que te la pidan en este contexto. A lo mejor te están pidiendo la densidad de energía y les ha salido un enunciado redundante, o quizá tan solo te pidan la energía cinética (que es densidad de energía por volumen).

El d) y el e) parecen un clásico de superposición. Tienes dos ondas iguales y de sentidos opuestos que se encuentran. Para el número de nodos es sencillo de proceder, pues hay un nodo cada media longitud de onda. Y lo de la distancia entre un máximo y un mínimo, ¿no es precisamente dos veces la amplitud ?

Saludos

[gdonoso94]

Re: Onda transversal. Densidad de energía, máximos, mínimos y nodos.

Gracias por contestar Ángel.
Para el apartado a) yo he pensado lo mismo, pero me parece muy escueto, quizá haya que desarrollar algo, o eso pienso.

c) Supongo que se referirá a la densidad de energía, pero ¿para qué me da ciertos valores de posición y tiempo? La densidad de energía de una onda armónica es algo así como:

$\dst \frac{\dd E}{\dd V}=\frac{1}{2}\rho \omega^2 \psi_0^2 c$

¿Dónde introduzco los valores de x y t? (Puede que la ecuación anterior tenga algún fallo, la he escrito de cabeza)

d) y e) ¿Sencillamente tengo que suponer la misma onda en sentido contrario y superponerla? Si hago eso obtendría algo de esta forma:

$\dst \phi=2A\cos(\frac{\delta}{2})\sin(kx-\omega t+\frac{\delta}{2})$

¿Sería únicamente sacar el valor de la longitud de onda de ahi? Por cierto, ¿la distancia entre máximo y mínimo no sería media longitud de onda?

Gracias.

Un saludo!

[Breogan]

Re: Onda transversal. Densidad de energía, máximos, mínimos y nodos.

Hola:

Hola, tengo el siguiente ejercicio en el que me he quedado atascado en un apartado:

Una onda transversal se propaga en forma de onda plana en una región del espacio de densidad volumétrica de masa $\rho=750 kg/m^3$, de manera que el desplazamiento de las partículas del maerial respecto de la posición de equilibrio viene dado por:

$$\dst y(x,t)=0,1\sin 2\pi (x/4-t/0,02)$$

a) Escribir la ecuación diferencial de ondas cuya solución es la citada onda.

La ecuacion de onda general es:

$\dst \nabla^2 f(x,y,z,t)=\frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 f(x,y,z,t)}{\partial t^2}$

En este caso el problema es unidimensional, y la ecuación anterior queda:

$\dst \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial x^2} = \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2}$


Si queres verificar, reemplaza la ecuación de onda del enunciado en la ecuación anterior, y con un valor apropiado de c (constante) se debe verificar una igualdad

c) Calcular la densidad de energía cinética por unidad de volumen en la posición x=4 m y el tiempo t=0,8 s.

La velocidad de una partícula afectada por la onda del enunciado sera:

$\dst v_p=\frac{\partial y(x,t)}{\partial t}$

Si consideramos que la partícula es de tamaño diferencial, podemos decir que su masa es:

$dm=\rho dV$

y la energía cinética de este elemento diferencial de masa sera:

$\dst dE=\frac 1 2 dm\ v_p^2=\frac 1 2 \rho dV\ \left(\frac{\partial y(x,t)}{\partial t} \right)^2$

de donde la densidad de energia es:

$\dst \frac {dE}{dV}=\frac 1 2 \ \rho \ \left(\frac{\partial y(x,t)}{\partial t} \right)^2$



Creo !!!!

Suerte

[angel relativamente]

Re: Onda transversal. Densidad de energía, máximos, mínimos y nodos.

¿la distancia entre máximo y mínimo no sería media longitud de onda?

Correcto, si lo que tomas es la distancia horizontal, no la vertical tal como yo había interpretado. Aunque releyendo el enunciado (ya que hablan de "consecutivos"), tiene más sentido tu interpretación.


Saludos