2o ciclo Superficie de separación de dieléctricos

[leo_ro]

1) Dos esferas conductoras concéntricas cuyo espacio está lleno con dos capas de dieléctrico de permitividades ε_r1 = 6 y ε_r2 = 2 . Siendo la rigidez dieléctrica para el primer medio E_d1=20000 [V/m] y para el segundo medio E_d2 = 15000 [V/m] .
Se pide calcular el radio de la superficie de separación entre los dos dieléctricos para que se alcance la rigidez simultáneamente en todo el material 1 y en todo el material 2 con la mínima diferencia de potencial.
En la primer esfera el radio es de 1[cm] y en la segunda es 6 [cm].

Lo que he hecho primeramente es calcular la carga de la esfera interior, sabiendo que el campo que está genera en el límite de esta esfera con el material 1 es 20 [kV/m]

$\dst q= 20[\frac{Kv}{ m}] 4 \pi 6 {\varepsilon}_{0} {(0.01[m])}^{2}=1.33 [nC]$

El campo en el límite del segundo material no puede debe ser 15 [KV/m], pero como los campos en ambos material no son iguales por las condiciones en los límites pero si lo son las densidades de desplazamiento, entonces:

$\dst D = 2 {\varepsilon}_{0} 15 [\frac{KV}{m }]= 2.655 *{10}^{-7} [C/{m}^{2}]$

Así que ya tengo todo para calcular la distancia X

ya que $\dst D = \frac{q}{4 \pi {x}^{2}}$

así que : $\dst x = \sqrt{\frac{1. 33 [nC]}{ (2.655 *{10}^{-7} [C/{m}^{2}]) 4 \pi}}=0.02 [m]$

Pero está mal porque el resultado me debe dar 0.03 [m], no sé en que falla la operatoria si supuestamente además está aplicada la condición en los límites.

[oscarmuinhos]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Hola leo_ro
Si se entiende por rigidez dieléctrica el mínimo valor del campo eléctrico para provocar la "ruptura" del dieléctrico (que el dieléctrico se vuelva conductor) creo que las condiciones de rigidez dieléctrica del enunciado habría que interpretarlas como que (siguiendo tu figura) en r=x el campo eléctrico ha de valer 20.000 V/m y en r=$r_2$ = 0,06 m el campo eléctrico ha de valer 15000 V/m.
Se tienen así dos ecuaciones y dos incógnitas (el radio x y la carga q) que, al resolverlas, yo obtengo x = 0,03 m.

Un saludo

[leo_ro]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Pero si vale 20000 [KV/m] el campo en b, entonces para distancias más cercanas a la esfera interior es mucho mayor ya que sigue la ley de los cuadrados el campo y este material, el ${\varepsilon}_{1}$ se rompería. En $r=x$ el valor del campo (en el límite del material ${\varepsilon}_{2}$) debería valer 15000 [KV/m] que es el valor de ruptura del dieléctrico.

[oscarmuinhos]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Pero si vale 20000 [KV/m] el campo en b, entonces para distancias más cercanas a la esfera interior es mucho mayor ya que sigue la ley de los cuadrados el campo y este material, el ${\varepsilon}_{1}$ se rompería. En $r=x$ el valor del campo (en el límite del material ${\varepsilon}_{2}$) debería valer 15000 [KV/m] que es el valor de ruptura del dieléctrico.

Tienes razón. No había caído en ello.
A ver si los ingenieros, más experimentados en este tipo de problemas, aportan algo

[Breogan]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Hola:

No se si voy a poder aportar algo acertado, pero lo voy a intentar.

Primero se me ocurre aplicar Gauss entre las dos esferas concentricas, llamando qi a la carga libre de la esfera interior tenemos:

$\dst \oint_S \vec D .d \vec S =q_i$

por la simetría esférica del problema resulta que $\vec D$ es radial y de valor constante en la superficie de una esfera centrada con las dadas, por lo cual podemos escribir:

$\dst \vec D = D \ \hat u_r \quad y \quad d \vec S = dS \ \hat u_r$

$\dst \oint_S \vec D .d \vec S = \oint_S D dS = D \oint_S dS = D S =D 4 \pi r^2 = q_i$

$\dst D = \frac {q_i}{4 \pi r^2} \quad \forall \ r \ \in \ (r_i \ ; \ r_e)$

La existencia de dos dieléctricos nos permite obtener dos campos eléctricos $\vec E_1 \quad y \quad \vec E_2$, uno en cada dieléctrico.

$\dst \vec E_1 = \frac {\vec D}{\varepsilon_1} = \frac {q_i}{4 \pi \varepsilon_1 r^2}\ \hat u_r \quad \forall \ r \in \ (r_i \ ; \ r_i + \Delta r)$

$\dst \vec E_2 = \frac {q_i}{4 \pi \varepsilon_2 r^2} \ \hat u_r \quad \forall \ r \in \ ( r_i + \Delta r \ ; \ r_e)$

(por comodidad use las permitividades absolutas $\varepsilon_1 \ y \ \varepsilon_2$)

Los valores máximos que pueden adoptar estos campos son los respectivos valores de ruptura según el enunciado del problema, es decir:

$\dst |\vec E_1|_{max} = E_{d1}$

$\dst |\vec E_2|_{max} = E_{d2}$

el valor máximo del campo eléctrico en el 1º dieléctrico estará en en los puntos que corresponden al radio menor de este (porque la intensidad del campo eléctrico es inversamente proporcional al cuadrado del radio), que es el de la esfera interior (ri), es decir:

$\dst |\vec E_1|_{max} = E_{d1} = \frac {q_i}{4 \pi \varepsilon_1 r_i^2}$

y de esta despejamos qi:

$\dst q_i = E_{d1} 4 \pi \varepsilon_1 r_i^2$

Análogamente el valor máximo del campo E2 estará en el radio $r_i+\Delta r$:

$\dst q_i = E_{d2} 4 \pi \varepsilon_2 (r_i+\Delta r)^2$

igualando ambas expresiones:

$\dst E_{d1} 4 \pi \varepsilon_1 r_i^2 = E_{d2} 4 \pi \varepsilon_2 (r_i+\Delta r)^2$

$\dst \frac {E_{d1} \varepsilon_1 r_i^2}{E_{d2} \varepsilon_2} = r^2_i + 2 r_i \Delta r + (\Delta r)^2$

De esta ultima se obtiene una ecuación cuadrática con variable $\Delta r$, la cual tendrá dos soluciones para $\Delta r$, solo los valores positivos de estas raíces tienen sentido, las raíces negativas o imaginarias las podes descartar.
Si te da dos raíces reales, positivas e iguales el problema ya esta resuelto. Si en cambio te da dos raíces reales, positivas y distintas (que por el enunciado creo que este va a ser el caso) vas a tener que elegir una de ellas teniendo en cuenta que el enunciado nos dice "calcular el radio de la superficie de separación entre los dos dieléctricos para que se alcance la rigidez simultáneamente en todo el material 1 y en todo el material 2 con la mínima diferencia de potencial", para esto calculamos la ddp entre ambas esferas:

$\dst V_e - V_i = \int_{r_i}^{r_e} \vec E \ . \ d \vec r$

$\dst V_e - V_i = \int_{r_i}^{r_i + \Delta r} E_1 \ dr + \int_{r_i + \Delta r}^{r_e} E_2 \ dr$

y usando los dos valores de $\Delta r$ obtenidos anteriormente, vemos con cual obtenemos el mínimo valor de la ddp.

Si esta bien lo que hice, creo que la solución es inmediata. Si hay alguna duda o cualquier comentario hacela sin ningún reparo, si puedo con gusto te la contesto.

s.e.u.o.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Hola Breogán:
Gracias, antes de nada, por implicarte también en la solución de este problema que plantea leo_ro.

En lo que yo veo, esto que haces tú viene a ser exactamente lo mismo que plantea leo_ro, solo que utilizando él $x$ donde tu utilizas $r_1 + \Delta r_1$. O sea que $x$ (leo_ro) = $r_1 + \Delta r_1$ (Breogan). Y, efectivamente, al resolver, conducen a la misma solución.
El problema de leo_ro reside en que esa solución $x = r_1 + \Delta r_1= 0,02$ m y, según su solucionario, debiera de dar $x = r_1 + \Delta r_1$= 0,03 m

Saludos

[Breogan]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Hola:

Creo que tenes razón oscar, nunca fui bueno para revisar el trabajo ajeno.
Igual voy a terminar el proceso de mi post anterior, si tomamos la ecuación cuadrática a la que llegue en el mensaje anterior:

$\dst \frac {E_{d1} \varepsilon_1 r_i^2}{E_{d2} \varepsilon_2} = r^2_i + 2 r_i \Delta r + (\Delta r)^2$

y reemplazamos valores (sin unidades) queda:

$\dst \frac {20000 \ 6 \ \varepsilon_0 \ 1^2}{ 15000 \ 2 \ \varepsilon_0} = 1^2 + 2 \ 1 \ \Delta r + (\Delta r)^2$

$\dst 4 = 1 + 2 \ \Delta r + (\Delta r)^2$

$\dst (\Delta r)^2 + 2 \ \Delta r - 3 = 0$

Cuyas raíces son:

$\dst \Delta r_1 = 1 \quad y \quad \Delta r_2 = - 3$

Así que el resultado es el mismo que el dado por leo-ro.

Después de revisar un par de veces mis post no encuentro fallas aritméticas o conceptuales en ellos (si ustedes encuentran alguno me harían un favor si me lo señalan).
Si no hay algún error habrá que contemplar distintas posibilidades, que el resultado del solucionario no este bien, que nuestra interpretación del enunciado sea errónea, o que el enunciado del problema este equivocado o mal transcrito.

Voy a pensar un poco en las alternativas y si llego a alguna conclusión la posteo.

Gracias

Suerte

[leo_ro]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Me parece que la resolución parte de que el sistema es un capacitor esférico, y la carga de la esfera interior es igual a la carga de la esfera exterior por lo que igualando las expresiones de las cargas se despejaría la distancia. Pero lo más importante o por lo menos lo que me intriga es por qué estaría mal la resolución que hice al principio, ya que no le veo un error lógico. A ver si en estos días consigo la resolución y la posteo.

Saludos.

- - - Actualizado - - -

Lo tengo, la carga en las esferas son:

$q= E 4 \pi {r}^{2} \varepsilon$

La carga en la esfera 1 es igual a la carga en la esfera 2:

${E }_{m1}4 \pi {x}^{2} 6{\varepsilon}_{0}={E }_{m2}4 \pi {b}^{2} 2{\varepsilon}_{0}$

$x= \sqrt{\frac{{E }_{m2}{b}^{2} 2}{{E }_{m1} 6}}=0.03[m]$

Igualmente no entiendo por qué está mal el planteo que hice inicialmente.

[Breogan]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Hola:

leo-ro, el razonamiento que realizaste en el post #1, que yo explaye en el post #5 es totalmente correcto (salvo que alguien diga lo contrario).

Como expuse en el pòst #7:

.....Si no hay algún error habrá que contemplar distintas posibilidades, que el resultado del solucionario no este bien, que nuestra interpretación del enunciado sea errónea, o que el enunciado del problema este equivocado o mal transcrito.

resulto que el error es de interpretación del enunciado, cito la parte relevante:

......... para que se alcance la rigidez simultáneamente en todo el material 1 y en todo el material 2 ........

nosotros interpretamos que los campos de ruptura de cada material se alcanzaba en sus respectivos radios menores, dejando al resto del volumen de los dieléctricos con un campo eléctrico por debajo de su respectivo campo de ruptura.

La interpretación correcta del enunciado es que los campos de ruptura de cada material se alcanza en los diámetros mayores de cada material, dejando de esa forma el resto del volúmen de los dieléctricos con un campo eléctrico mayor que los respectivos campos de ruptura, haciendo que en todo el material 1 y en todo el material 2 se alcance la ruptura del material.

El desarrollo que pusiste en el post #8 no tiene que ver con la carga de la esfera exterior, es el mismo procedimiento de Gauss (que aplicaste anteriormente) pero con la nueva condición de frontera debida a la interpretación correcta del enunciado, campo eléctrico de ruptura de los dos dieléctricos en sus respectivos radios mayores.

s.e.u.o.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Me parece que la resolución parte de que el sistema es un capacitor esférico, y la carga de la esfera interior es igual a la carga de la esfera exterior por lo que igualando las expresiones de las cargas se despejaría la distancia. Pero lo más importante o por lo menos lo que me intriga es por qué estaría mal la resolución que hice al principio, ya que no le veo un error lógico. A ver si en estos días consigo la resolución y la posteo.

Lo tengo, la carga en las esferas son:

$q= E 4 \pi {r}^{2} \varepsilon$

La carga en la esfera 1 es igual a la carga en la esfera 2:

${E }_{m1}4 \pi {x}^{2} 6{\varepsilon}_{0}={E }_{m2}4 \pi {b}^{2} 2{\varepsilon}_{0}$

$x= \sqrt{\frac{{E }_{m2}{b}^{2} 2}{{E }_{m1} 6}}=0.03[m]$

Igualmente no entiendo por qué está mal el planteo que hice inicialmente.

Hola leo_ro y Breogán
Yo opinaría como hace Breogán en el post #9: que tu solución en el post #1 (que coincide con la de Breogán en el post #5) es la solución correcta, porque lo que haces en este post se parece más a un "apaño" para obtener un x=0,03 que una solución, porque ese mismo razonamiento, en lo que yo veo, lo tendrías en cualquier otro valor del radio 0,01 m <$r_1$ < 0,06 m. ¿O no?

De tratarse de un capacitor, lo cual no se dice en el enunciado, podría tratar de expresarse la diferencia de potencial entre esas dos esferas conductoras en función del radio x correspondiente a la esfera de separación de los dos dieléctricos y minimizar esta diferencia de potencial (porque el enunciado habla de minimo potencial) para obtener el radio x de esa superficie esférica de separación entre dieléctricos.
Yo obtengo para el potencial la siguiente expresión:
$\dst V_0-V_1 = \frac{Q}{4\pi.\varepsilon_0}\left[ \left(\frac{1}{6.r_0} - \frac{1}{6.x} \right)-\left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{2r_1}\right)\right]$

donde $r_0 = 0,01$ m; $r_1 =0,06$ m

Pero, a partir de aquí, no acierto a introducir la dependencia del potencial con la rígidez de uno y otro dieléctrico.

Saludos

[leo_ro]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Igualmente no tiene sentido que los campos alcancen el nivel de la ruptura del dieléctrico en sus radios mayores porque en todo caso el material se rompería, debido al campo para valores de distancia menores al radio mayor.

[Breogan]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Hola:

Para que la corriente que circula por el dieléctrico supere el valor seguro de funcionamiento de este (que se rompa el dieléctrico) el campo eléctrico debe alcanzar o superar el campo de ruptura a lo largo de todo el dieléctrico (en el sentido de la ddp), si en una parte del dieléctrico no se alcanza dicho valor esta permanece siendo aislante.

En un capacitor plano el campo en el dieléctrico es constante, por lo cual se alcanza la ruptura en todo el dieléctrico al mismo tiempo. En un capacitor esférico o cilíndrico el campo varia con la inversa del cuadrado del radio y puede haber partes del dieléctrico que estén en ruptura (conductoras), y otras no (aislantes) en serie. Es como tener en serie un cable con tensión y un aislante cualquiera, aunque lo toques no circula corriente.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Hola Breogan y hola leo_ro:

Hola:
Para que la corriente que circula por el dieléctrico supere el valor seguro de funcionamiento de este (que se rompa el dieléctrico) el campo eléctrico debe alcanzar o superar el campo de ruptura a lo largo de todo el dieléctrico (en el sentido de la ddp), si en una parte del dieléctrico no se alcanza dicho valor esta permanece siendo aislante.
En un capacitor plano el campo en el dieléctrico es constante, por lo cual se alcanza la ruptura en todo el dieléctrico al mismo tiempo. En un capacitor esférico o cilíndrico el campo varia con la inversa del cuadrado del radio y puede haber partes del dieléctrico que estén en ruptura (conductoras), y otras no (aislantes) en serie. Es como tener en serie un cable con tensión y un aislante cualquiera, aunque lo toques no circula corriente.
Suerte

Con esta suposición, planteé yo el problema en el post #2, mas ahora, después de la respuesta de leo_ro, tengo dudas sobre si al alcanzar el campo el nivel de ruptura en un punto se rompe o no se rompe ya todo el dieléctrico.
Si la situación física es la que dice Breogan en este post anterior, la solución sería la que adelanté en el post #2 que, efectivamente, da la solución que pone el solucionario de leo_ro

Si se entiende por rigidez dieléctrica el mínimo valor del campo eléctrico para provocar la "ruptura" del dieléctrico (que el dieléctrico se vuelva conductor) creo que las condiciones de rigidez dieléctrica del enunciado habría que interpretarlas como que (siguiendo tu figura) en r=x el campo eléctrico ha de valer 20.000 V/m y en r= = 0,06 m el campo eléctrico ha de valer 15000 V/m.
Se tienen así dos ecuaciones y dos incógnitas (el radio x y la carga q) que, al resolverlas, yo obtengo x = 0,03 m.

$E_x = \dst \frac{Q}{4\pi.6\varepsilon_0.x^2}=20000$

$E_2 = \dst \frac{Q}{4\pi.2\varepsilon_0.0,06^2}=15000$

Dividiendo miembro a miembro, se nos cancela la carga quedando el radio x como única incógnita. Resolviendo se obtiene, efectivamente, x=0,03 m

Saludos.

Y REPASANDO LOS POST ANTERIORES, TAMBIEN VALE LA SOLUCIÓN DE LEO_RO EN EL POST #8. PORQUE AL FIN ES RESOLVER EL SISTEMA ANTERIOR POR OTRO CAMINO.

[Al2000]

Re: Superficie de separación de dieléctricos

Me disculpan si mi intervención es para meter mas ruido. Si interpreto el enunciado como "hallar el valor de x que hace que el campo en la totalidad de los dos dieléctricos iguale o supere sus respectivas tensiones de ruptura" entonces me planteo las siguientes condiciones:

$$E_1(x) = E_{d1},\,\,\,E_2(b) = E_{d2},\,\,\, V \rightarrow \text {min}$$

El campo en cada dieléctrico lo puedo escribir

$$E_1(r) = \frac {E_{d1} x^2}{r^2},\,\,\,E_2(r) = \frac {E_{d2} b^2}{r^2}$$

de donde obtengo la diferencia de potencial a través de los dos dieléctricos

$$V = E_{d1} x^2 \left(\frac 1 a - \frac 1 x\right) + E_{d2} b^2 \left(\frac 1 x - \frac 1 b\right)$$

Lamentablemente para hallar el mínimo de esta función hay que resolver un polinomio de grado 3 y no he obtenido una solución simbólica. El resultado para los datos numéricos suministrados en el enunciado es $x = 2.56\,\mathrm{cm}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$