Divulgación Velocidad angular de un sistema de N partículas

[Kinetico]

Motivación: i) Poder hallar de la manera más sencilla posible la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ de cualquier sistema de N partículas (sea un cuerpo rígido o no) respecto a cualquier sistema de referencia inercial o no inercial de manera tal que no sea necesario utilizar una componente radial y otra componente angular en cada una de las partículas del sistema. ii) Posteriormente, poder desarrollar una dinámica rotacional lo más sencilla posible que se pueda aplicar en cualquier sistema de referencia inercial o no inercial.


- - - Opción A - - -

- - - Cinemática - - -

En mecánica clásica, para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ de cualquier sistema de N partículas (que gira sobre su centro de masa) respecto al sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ de un sistema de referencia S' (que gira sobre su origen O') respecto al sistema de referencia S de manera tal que el origen O' del sistema de referencia S' coincida siempre con el centro de masa del sistema de partículas y que el momento angular ${\mathbf{L}}'$ del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S' siempre sea igual a cero.

Por lo tanto, el momento angular ${\mathbf{L}}'$ del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S' siempre es igual a cero.

${\mathbf{L}}' = \sum_i \, m_i \, ( \, {\mathbf{r}}_i' \times {\mathbf{v}}_i') = 0$

Ahora, la posición ${\mathbf{r}}_i'$ y la velocidad ${\mathbf{v}}_i'$ de la i-ésima partícula respecto al sistema de referencia S, están dadas por:

${\mathbf{r}}_i' ~=~ {\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}} ~=~ ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) ~=~ \bar{\mathbf{r}}_i$

${\mathbf{v}}_i' ~=~ {\mathbf{v}}_i - {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \times {\mathbf{r}}_i' - {\mathbf{V}} ~=~ ({\mathbf{v}}_i - {\mathbf{V}}) - {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \times ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) ~=~ \bar{\mathbf{v}}_i - {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \times \bar{\mathbf{r}}_i$

donde ${\mathbf{R}}$ y ${\mathbf{V}}$ son la posición y la velocidad respectivamente del centro de masa del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S.

Sustituyendo ${\mathbf{r}}_i'$ y ${\mathbf{v}}_i'$ en la primera ecuación, se obtiene:

$\sum_i \, m_i \, [ \, \bar{\mathbf{r}}_i \times ( \bar{\mathbf{v}}_i - {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \times \bar{\mathbf{r}}_i ) ] = 0$

$\sum_i \, m_i \, ( \bar{\mathbf{r}}_i \times \bar{\mathbf{v}}_i ) - \sum_i \, m_i \, [ \, \bar{\mathbf{r}}_i \times ( {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \times \bar{\mathbf{r}}_i ) ] = 0$

Puesto que $\bar{\mathbf{r}}_i \times ( {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \times \bar{\mathbf{r}}_i ) = |\bar{\mathbf{r}}_i|^2 \, {\boldsymbol{\omega}}_{S'} - ({\boldsymbol{\omega}}_{S'} \cdot \bar{\mathbf{r}}_i) \, \bar{\mathbf{r}}_i$, resulta:

$\sum_i \, m_i \, ( \bar{\mathbf{r}}_i \times \bar{\mathbf{v}}_i ) - \sum_i \, m_i \, [ \, |\bar{\mathbf{r}}_i|^2 \, {\boldsymbol{\omega}}_{S'} - ( {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \cdot \bar{\mathbf{r}}_i ) \: \bar{\mathbf{r}}_i \, ] = 0$

Como ${\boldsymbol{\omega}}_{S'} = \mathbf{1} \cdot {\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ (tensor unitario) y $( {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \cdot \bar{\mathbf{r}}_i ) \: \bar{\mathbf{r}}_i = ( \bar{\mathbf{r}}_i \otimes \bar{\mathbf{r}}_i ) \cdot {\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ (producto tensorial o diádico) entonces:

$\sum_i \, m_i \, ( \bar{\mathbf{r}}_i \times \bar{\mathbf{v}}_i ) - \sum_i \, m_i \, [ \, |\bar{\mathbf{r}}_i|^2 \, \mathbf{1} \cdot {\boldsymbol{\omega}}_{S'} - ( \bar{\mathbf{r}}_i \otimes \bar{\mathbf{r}}_i ) \cdot {\boldsymbol{\omega}}_{S'} \, ] = 0$

$\sum_i \, m_i \, ( \bar{\mathbf{r}}_i \times \bar{\mathbf{v}}_i ) - \sum_i \, m_i \, [ \, |\bar{\mathbf{r}}_i|^2 \, \mathbf{1} - ( \bar{\mathbf{r}}_i \otimes \bar{\mathbf{r}}_i ) \, ] \cdot {\boldsymbol{\omega}}_{S'} = 0$

Si definimos a $\sum_i \, m_i \, ( \bar{\mathbf{r}}_i \times \bar{\mathbf{v}}_i )$ como el momento angular ${\mathbf{L}}$ del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S y a $\sum_i \, m_i \, [ \, |\bar{\mathbf{r}}_i|^2 \, \mathbf{1} - ( \bar{\mathbf{r}}_i \otimes \bar{\mathbf{r}}_i ) \, ]$ como el tensor de inercia ${\mathbf{I}}$ del sistema de partículas con respecto al punto ${\mathbf{R}}$, entonces queda:

${\mathbf{L}} - {\mathbf{I}} \cdot {\boldsymbol{\omega}}_{S'} = 0$

Despejando ${\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ y como la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ del sistema de referencia S' respecto al sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S, finalmente se obtiene:

${\boldsymbol{\omega}} ~=~ {\mathbf{I}}^{-1} \cdot {\mathbf{L}}$

${\boldsymbol{\alpha}} ~=~ d({\boldsymbol{\omega}})/dt$

${\mathbf{L}} ~=~ \sum_i \, m_i \, ( \bar{\mathbf{r}}_i \times \bar{\mathbf{v}}_i ) ~=~ \sum_i \, m_i \, [ ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \times ({\mathbf{v}}_i - {\mathbf{V}}) ]$

${\mathbf{I}} ~=~ \sum_i \, m_i \, [ \, |\bar{\mathbf{r}}_i|^2 \, \mathbf{1} - ( \bar{\mathbf{r}}_i \otimes \bar{\mathbf{r}}_i ) \, ] ~=~ \sum_i \, m_i \, [ \, |({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}})|^2 \, \mathbf{1} - ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \otimes ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \, ]$

El sistema de partículas puede ser cualquier sistema de partículas (sea un cuerpo rígido o no) y si el sistema es de 1 sola partícula entonces el momento angular y la velocidad angular siempre son iguales a cero.

- - - Dinámica - - -

En mecánica clásica, para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) el momento angular ${\mathbf{L}}$ de un sistema de N partículas, puede ahora estar dado por:

${\mathbf{L}} = \sum_i \, m_i \, [ ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \times ({\mathbf{v}}_i - {\mathbf{V}}) ] = \sum_i \, m_i \, [ ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \times {\mathbf{v}}_i \, ] = \sum_i \, m_i \, [ \, {\mathbf{r}}_i \times ({\mathbf{v}}_i - {\mathbf{V}}) ]$

Derivando con respecto al tiempo, resulta:

$d({\mathbf{L}})/dt = \sum_i \, m_i \, [ ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \times ({\mathbf{a}}_i - {\mathbf{A}}) ] = \sum_i \, m_i \, [ ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \times {\mathbf{a}}_i \, ] = \sum_i \, m_i \, [ \, {\mathbf{r}}_i \times ({\mathbf{a}}_i - {\mathbf{A}}) ]$

Utilizando solamente la segunda igualdad, se tiene:

$d({\mathbf{L}})/dt = \sum_i \, m_i \, [ ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \times {\mathbf{a}}_i \, ]$

Ahora como en todo sistema de referencia inercial ${\mathbf{a}}_i = {\mathbf{F}}_i/m_i$ (así como en todo sistema de referencia no inercial considerando a las fuerzas ficticias) finalmente se obtiene:

$d({\mathbf{L}})/dt = \sum_i \, [ ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}) \times {\mathbf{F}}_i \, ] = {\mathbf{M}}$


- - - Opción B - - -


En mecánica clásica, para cualquier sistema de referencia S con origen O (inercial o no inercial) la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ de cualquier sistema de N partículas (que gira sobre el origen O) respecto al sistema de referencia S es igual a la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ de un sistema de referencia S' (que gira sobre su origen O') respecto al sistema de referencia S de manera tal que el origen O' del sistema de referencia S' coincida siempre con el origen O del sistema de referencia S y que el momento angular ${\mathbf{L}}'$ del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S' siempre sea igual a cero.

El desarrollo de la opción B es el mismo que el desarrollo de la opción A y las ecuaciones de la opción B son las mismas que las ecuaciones de la opción A con la particularidad que ${\mathbf{R}}$, ${\mathbf{V}}$ y ${\mathbf{A}}$ siempre son iguales a cero, ya que ahora no representan la posición, la velocidad y la aceleración del centro de masa del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S sino que representan la posición, la velocidad y la aceleración del origen O del sistema de referencia S respecto al sistema de referencia S.

La ventaja de la opción B es que el momento angular y la velocidad angular de un sistema de 1 sola partícula no siempre son iguales a cero.


- - - Generalizando - - -


En mecánica clásica, para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) el momento angular ${\mathbf{L}}$ de cualquier sistema de N partículas (sea un cuerpo rígido o no) con respecto a un punto O (con posición ${\mathbf{R}}_o$ y velocidad ${\mathbf{V}}_o$) puede ahora estar dado por:


${\mathbf{L}} \,=\, \sum_i \, m_i \, [ \, ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \times ({\mathbf{v}}_i - {\mathbf{V}}_o) \, ]$

$d({\mathbf{L}})/dt \,=\, \sum_i \, m_i \, [ \, ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \times ({\mathbf{a}}_i - {\mathbf{A}}_o) \, ]$

${\mathbf{M}}_o \,=\, \sum_i \, [ \, ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \times ({\mathbf{F}}_i - m_i {\mathbf{A}}_o) \, ]$

${\mathbf{I}} \,=\, \sum_i \, m_i \, [ \, |({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o)|^2 \, \mathbf{1} - ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \otimes ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \, ]$


Por lo tanto, en cualquier sistema de N partículas, se tiene:


${\mathbf{L}} \,=\, {\mathbf{I}} \cdot {\boldsymbol{\omega}}$

${\mathbf{M}} \,=\, {\mathbf{I}} \cdot {\boldsymbol{\alpha}}$


${\boldsymbol{\omega}} \,=\, {\mathbf{I}}^{-1} \cdot {\mathbf{L}}$

${\boldsymbol{\alpha}} \,=\, {\mathbf{I}}^{-1} \cdot {\mathbf{M}}$


${\mathbf{M}} ~=~ {\mathbf{M}}_o \,+\, {\mathbf{M}}_1 \,+\, {\mathbf{M}}_2$

${\mathbf{M}}_o \,=\, + \sum_i \, [ \, ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \times ({\mathbf{F}}_i - m_i {\mathbf{A}}_o) \, ]$

${\mathbf{M}}_1 \,=\, - \sum_i \, m_i \, ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \times \{ \, 2 \, {\boldsymbol{\omega}} \times ({\mathbf{v}}_i - {\mathbf{V}}_o) \, \}$

${\mathbf{M}}_2 \,=\, + \sum_i \, m_i \, ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \times \{ \, {\boldsymbol{\omega}} \times [ \, {\boldsymbol{\omega}} \times ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \,] \, \}$


- - - Observaciones - - -


Estas ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia (inercial o no inercial)

Los sistemas de referencia inerciales nunca deben introducir las fuerzas ficticias sobre ${\mathbf{F}}_i$ y los sistemas de referencia no inerciales siempre deben introducir las fuerzas ficticias sobre ${\mathbf{F}}_i$.

La magnitud ${\mathbf{M}}$ contiene un momento "real" $( \, {\mathbf{M}}_o \, )$ y dos momentos "ficticios" $( \, {\mathbf{M}}_1$ y ${\mathbf{M}}_2 \, )$

Los sistemas de referencia inerciales y los sistemas de referencia no inerciales siempre deben introducir los momentos "ficticios" sobre ${\mathbf{M}}$.

La magnitud ${\mathbf{M}}$ puede hallarse desde $[ \, d({\mathbf{L}}')/dt = \sum_i \, m_i \, ( \, {\mathbf{r}}_i' \times {\mathbf{a}}_i') = 0 \, ]$ (Opción A) utilizando el mismo procedimiento que se utilizó para hallar ${\boldsymbol{\omega}}$ pero esta vez es para hallar ${\boldsymbol{\alpha}}$ (y sabiendo que ${\boldsymbol{\alpha}}={\boldsymbol{\alpha}}_{S'}$)

Al trabajar con cualquier sistema de N partículas (sea un cuerpo rígido o no) entonces casi nunca el tensor de inercia ${\mathbf{I}}$ puede permanecer constante.

La ecuación ${\mathbf{M}}_o \,=\, \sum_i \, [ \, ({\mathbf{r}}_i - {\mathbf{R}}_o) \times ({\mathbf{F}}_i - m_i {\mathbf{A}}_o) \, ]$ solamente es válida si ${\mathbf{A}}_o$ es igual a cero o si ${\mathbf{A}}_o$ puede quitarse de la ecuación.

En cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) la elección del punto O es libre pero teniendo en cuenta el punto anterior.

Si el punto O es el origen del sistema de referencia S entonces ${\mathbf{R}}_o$, ${\mathbf{V}}_o$ y ${\mathbf{A}}_o$ siempre son iguales a cero.

Si el punto O es un punto fijo o si tiene velocidad vectorial constante respecto al sistema de referencia S entonces ${\mathbf{A}}_o$ es igual a cero.

Si el punto O es el centro de masa del sistema de partículas entonces ${\mathbf{V}}_o$ y ${\mathbf{A}}_o$ se pueden quitar de las ecuaciones ya que las ecuaciones obtenidas son iguales a las ecuaciones originales.

La velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ de cualquier sistema de partículas (con respecto al punto O) siempre es igual a la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ de un sistema de referencia S' (cuyo origen siempre coincide con el punto O) en el cual el momento angular ${\mathbf{L}}'$ del sistema de partículas siempre es igual a cero.

[felmon38]

Re: Velocidad angular de un sistema de N partículas

Kinético, ¿Cual es tu duda? ¿Qué es la velocidad angular de un sistema de partículas cualquiera?
Saludos

[Kinetico]

Re: Velocidad angular de un sistema de N partículas

felmon38, Saludos. La motivación es la siguiente: dado cualquier sistema de N partículas entonces a través del cálculo poder determinar su posición, su velocidad, su aceleración, su velocidad angular y su aceleración angular (como un todo, como una unidad) a partir de las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las partículas que integran dicho sistema. Todo esto para cualquier sistema de referencia (inercial o no inercial)

La posición, la velocidad y la aceleración, es relativamente sencillo, se obtienen a partir del centro de masa del sistema de partículas y luego derivando con respecto al tiempo.

${\mathbf R}=\sum_i m_i \, {\mathbf r}_i / M$

${\mathbf V}=d(\sum_i m_i \, {\mathbf r}_i / M)/dt = \sum_i m_i \, {\mathbf v}_i / M$

${\mathbf A}=d^2(\sum_i m_i \, {\mathbf r}_i / M)/dt^2 = \sum_i m_i \, {\mathbf a}_i /M$

La aceleración angular ${\boldsymbol{\alpha}}$ se obtiene derivando con respecto al tiempo la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$.

${\boldsymbol{\alpha}}=d({\boldsymbol{\omega}})/dt$

Por lo tanto, faltaría hallar la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ de cualquier sistema de N partículas respecto a cualquier sistema de referencia (inercial o no inercial) Y por último, relacionar lo obtenido con las magnitudes de la dinámica.

P/D: También faltaría desarrollar ${\boldsymbol{\alpha}}$ como se hizo con ${\mathbf V}$ y con ${\mathbf A}$ en este item. Se tendría que poder obtener esto a partir de ${\boldsymbol{\alpha}}=d({\mathbf{I}}^{-1} \cdot {\mathbf{L}})/dt$ o a partir de saber (item #1) que la aceleración angular ${\boldsymbol{\alpha}}$ del sistema de partículas debe ser igual a la aceleración angular ${\boldsymbol{\alpha}}_{S'}$ del sistema de referencia S' respecto al sistema de referencia S (utilizando la ecuación $\sum_i \, m_i \, ( \, {\mathbf{r}}_i' \times {\mathbf{a}}_i') = 0$ y una nueva ecuación de transformación de ${\mathbf{a}}_i'$ respecto al sistema de referencia S) En ambos casos debería obtenerse (en teoría) una misma ecuación de ${\boldsymbol{\alpha}}$

[felmon38]

Re: Velocidad angular de un sistema de N partículas

Kinético, no me extraña que tengas problemas con la velocidad angular porque, que yo sepa, únicamente se puede definir en un sistema de partículas que se comporten como sólido rígido. Suerte en tu estudio.
Saludos

[pod]

Re: Velocidad angular de un sistema de N partículas

Kinetico, ¿quieres saber la velocidad angular de las partículas respectu su centro de masas, o la velocidad angular del centro de masas respecto de un sistema de referencia externo?

Como dice felmon, la primera estrictamente sólo existe si tienes un sólido rígido (como mucho podrías hacer una media, pero no tendria una interpretación muy simple). La segunda, puede ser hayada a partir de posición y velocidad del centro de masas, como si de una única partícula se tratara.

[Kinetico]

Re: Velocidad angular de un sistema de N partículas

pod, Gracias.

Quiero obtener la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ y la aceleración angular ${\boldsymbol{\alpha}}$ de cualquier sistema de partículas (sea un cuerpo rígido o no) para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) Creo que esto es posible si se define (o se redefine) a la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ y a la aceleración ${\boldsymbol{\alpha}}$ de cualquier sistema de partículas como iguales a la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ y a la aceleración angular ${\boldsymbol{\alpha}}_{S'}$ que un sistema de referencia S' (cuerpo rígido ideal) debería tener respecto al sistema de referencia S de manera tal que el origen O' del sistema de referencia S' coincida siempre con el centro de masa del sistema de partículas y que el momento angular ${\mathbf{L}}'$ del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S' siempre sea igual a cero.

Luego quiero relacionar lo obtenido con la dinámica (con las fuerzas ${\mathbf{F}}$ y con los momentos ${\mathbf{M}}$) Aquí, por lo puesto en #Dinámica del item #1, convendría definir (o redefinir) el momento angular de la i-ésima partícula (cuerpo puntual de cualquier sistema de partículas) con respecto al punto ${\mathbf{R}}$ (centro de masa) Esto haría que el momento angular de un sistema de 1 sola partícula sea siempre igual a cero (lo cual me parece lógico) y que las ecuaciones de esta dinámica tomen (en teoría) una forma más sencilla.

Por lo tanto, el centro de masa de cualquier sistema de partículas podría tener posición, velocidad y aceleración, pero no podría tener velocidad angular y aceleración angular (por como se quiere definir o redefinir al momento angular) En cambio cualquier sistema de partículas (sea un cuerpo rígido o no) podría tener posición, velocidad y aceleración a través de su centro de masa (que es un punto) y velocidad angular y aceleración angular a través de lo dicho arriba.

Me parece que poder ampliar de una manera sencilla la mecánica clásica rotacional más allá del cuerpo rígido tal vez podría ser interesante. Posiblemente haya algo o mucho en internet sobre esto, pero yo no tuve aún la suerte o la capacidad de encontrarlo.

Saludos.

[pod]

Re: Velocidad angular de un sistema de N partículas

pod, Gracias.

Quiero obtener la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ y la aceleración angular ${\boldsymbol{\alpha}}$ de cualquier sistema de partículas (sea un cuerpo rígido o no) para cualquier sistema de referencia S (inercial o no inercial) Creo que esto es posible si se define (o se redefine) a la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}$ y a la aceleración ${\boldsymbol{\alpha}}$ de cualquier sistema de partículas como iguales a la velocidad angular ${\boldsymbol{\omega}}_{S'}$ y a la aceleración angular ${\boldsymbol{\alpha}}_{S'}$ que un sistema de referencia S' (cuerpo rígido ideal) debería tener respecto al sistema de referencia S de manera tal que el origen O' del sistema de referencia S' coincida siempre con el centro de masa del sistema de partículas y que el momento angular ${\mathbf{L}}'$ del sistema de partículas respecto al sistema de referencia S' siempre sea igual a cero.

Luego quiero relacionar lo obtenido con la dinámica (con las fuerzas ${\mathbf{F}}$ y con los momentos ${\mathbf{M}}$) Aquí, por lo puesto en #Dinámica del item #1, convendría definir (o redefinir) el momento angular de la i-ésima partícula (cuerpo puntual de cualquier sistema de partículas) con respecto al punto ${\mathbf{R}}$ (centro de masa) Esto haría que el momento angular de un sistema de 1 sola partícula sea siempre igual a cero (lo cual me parece lógico) y que las ecuaciones de esta dinámica tomen (en teoría) una forma más sencilla.

Por lo tanto, el centro de masa de cualquier sistema de partículas podría tener posición, velocidad y aceleración, pero no podría tener velocidad angular y aceleración angular (por como se quiere definir o redefinir al momento angular) En cambio cualquier sistema de partículas (sea un cuerpo rígido o no) podría tener posición, velocidad y aceleración a través de su centro de masa (que es un punto) y velocidad angular y aceleración angular a través de lo dicho arriba.

Me parece que poder ampliar de una manera sencilla la mecánica clásica rotacional más allá del cuerpo rígido tal vez podría ser interesante. Posiblemente haya algo o mucho en internet sobre esto, pero yo no tuve aún la suerte o la capacidad de encontrarlo.

Saludos.

En realidad se sabe bastante de esto desde mucho antes de que hubiera Internet. Según la wikipedia (te recomiendo leer la parte de historia del artículo de los tres cuerpos) fue en 1887 cuando Poincaré y Bruns demostraro que no existe solución general para el caso n = 3, imagínate para n arbitrario. Lo que intentas hacer, parece, no es resolver la dinámica del movimiento, sino describir la cinemática.

La forma estándar de hacer todo esto es la siguiente: se divide el movimiento en dos partes: el movimiento del centro de masas y el movimiento de las partículas al rededor del centro de masas. El movimiento del centro de masas es básicamente lo que tienes en las tres primeras ecuaciones de tu mensaje #3. Puedes definir una velocidad angular respecto de un origen externo de la misma forma que se hace en una sola partícula. El movimiento de una partícula respecto del centro de masas se obtiene simplemente restando, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . La velocidad se obtiene simplemente derivando, y en general tendrá componente radial (las partículas se pueden alejar y acercar al centro de masas) y angular.

En la aproximación de sólido rígido hay dos ventajas: primero, la velocidad (relativa) radial es cero, y la velocidad angular (relativa) es la misma para todas las partículas.

[Kinetico]

Re: Velocidad angular de un sistema de N partículas

Gracias, pod. Voy a examinar el link. Por el momento no quiero trabajar con una componente radial y otra componente angular en cada una de las partículas del sistema. Sí, lo que quiero es describir la cinemática del sistema a través de las fuerzas y/o momentos que actúan sobre éste.

P/D 1: Listo, creo que ya están hechas todas las correcciones en el item #1. pod, me sirvió de mucho lo que escribiste en el item #7 sobre componentes radial y angular desde el centro de masa de un sistema de partículas para entender algo que no podía entender. Gracias!

P/D 2: En el item #1 sólo habría que agregar que de la generalización también se deduce que el momento angular ${\mathbf{L}}$ de un sistema aislado de N partículas permanece constante si los momentos internos ${\mathbf{M}}_{o{\hspace{+0.12em}(int)}}$ logran anularse.