Divulgación Consulta sobre la Ecuación de Euler

[inakigarber]

Buenas tardes.
Buscando información sobre la Ecuación de Schrödinger, me he encontrado con la ecuación de Euler y he tenido curiosidad por deducirla.
$e^{ix}=cos(x)+isin(x)$
$e^{x+ij}=e^x*(cos(y)+isin(y))$
He intentado hacerlo mediante derivadas pero no lo he conseguido.
¿Qué me aconsejáis?
saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

Supongo que al ser una ecuación famosa tendrá un montón de demostraciones. Yo la más directa que conozco es mediante las series de Taylor de la exponencial, el seno y el coseno. En wikipedia la tienes. Cualquier duda dilo. Si lo que quieres es deducirla tú mismo, lo dicho: escribe la serie de Taylor de la exponencial y juega un poco con ella.

[alexpglez]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

Supongo que al ser una ecuación famosa tendrá un montón de demostraciones. Yo la más directa que conozco es mediante las series de Taylor de la exponencial, el seno y el coseno. En wikipedia la tienes. Cualquier duda dilo. Si lo que quieres es deducirla tú mismo, lo dicho: escribe la serie de Taylor de la exponencial y juega un poco con ella.

Ya que habéis iniciado el hilo, me gustaría preguntar. Mediante el desarrollo de la serie de Taylor del coseno, seno y exponencial, se deduce la fórmula de euler, pero qué significado tiene¿? La demostración parece más un descubrimiento empírico (o "una coincidencia") que una consecuencia formal de la naturaleza de las definiciones de función exponencial, trigonometría y números complejos (evidentemente es esto último pero no lo parece).. Pero, por qué ocurre¿?
Un saludo

[Visitante]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

Ya que habéis iniciado el hilo, me gustaría preguntar. Mediante el desarrollo de la serie de Taylor del coseno, seno y exponencial, se deduce la fórmula de euler, pero qué significado tiene¿? La demostración parece más un descubrimiento empírico (o "una coincidencia") que una consecuencia formal de la naturaleza de las definiciones de función exponencial, trigonometría y números complejos (evidentemente es esto último pero no lo parece).. Pero, por qué ocurre¿?
Un saludo

Cuando en una clase el matemático Bejamín Peirce demostró la identidad de Euler y la fórmula de euler, entonces dijo: [FONT=Arial]"Caballeros, esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos[/FONT][FONT=Arial] que debe ser verdad".

[/FONT]

[beliytxuri]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

Mira una deducción que se puede hacer mediante derivadas como era tu propósito inicial:

${e}^{i\theta} = f(\theta) + ig(\theta)$, donde $f$ es la parte real y $g$, la parte imaginaria.

Derivamos dos veces, obteniendo:

$-{e}^{i\theta} = f''(\theta) + ig''(\theta) = -f(\theta) - ig(\theta)$.

Sólo queda igualar las partes real e imaginaria y resolver la ecuación diferencial lineal de segundo orden $f''(\theta) + f(\theta) = 0$ con la condición inicial plausible de que cuando $\theta = 0, {e}^{i\theta} = 1$, ésto es, $f(0) = 1, g(0) = 0$.

El resultado es el esperado $f(\theta) = \cos\theta, g(\theta) = \sin\theta$.

Otra cosa es el "significado" de los números complejos. ¿Qué significa, por ejemplo, ${i}^{2 } = -1$? Nada especial. En principio, un artificio.

Fíjate únicamente en el modo en que fueron bautizados cuando aparecieron los pobres: complejo, imaginario...
Luego es cierto que, por su especial operatividad, tuvieron sus aplicaciones en física y geometría, pero no es menos cierto que el análisis de variable compleja nada o poco tiene que ver con el análisis de variable real.

Así que la mejor explicación sigue siendo la de Peirce.

Salud.

[Weip]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

Ya que habéis iniciado el hilo, me gustaría preguntar. Mediante el desarrollo de la serie de Taylor del coseno, seno y exponencial, se deduce la fórmula de euler, pero qué significado tiene¿? La demostración parece más un descubrimiento empírico (o "una coincidencia") que una consecuencia formal de la naturaleza de las definiciones de función exponencial, trigonometría y números complejos (evidentemente es esto último pero no lo parece).. Pero, por qué ocurre¿?
Un saludo

Tal como han dicho por arriba, la demostración no tiene ningún significado más allá de la interpretación de las series de Taylor. Si te fijas, en la prueba de wikipedia y la que ha mostrado beliytxuri nos ayudamos que la exponencial es compleja. Así, podemos hacer manipulaciones algebraicas que en los reales no podríamos hacer. Es por eso que la mayoría de demostraciones calculísticas no me gustan: no tienen ningún "truco" especial a parte del álgebra básica.

[alexpglez]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

Si entiendo, gracias. Aún así me sigue pareciendo una relación un tanto mística que parece que no se sabe por qué, si no que se ha demostrado que es así, aunque indirectamente por esa demostración mediante derivadas o series de Taylor, y no directamente por lógica mediante las definiciones de número imaginario, real, complejo, funciones trigonométricas y exponencial.

[Weip]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

Si entiendo, gracias. Aún así me sigue pareciendo una relación un tanto mística que parece que no se sabe por qué, si no que se ha demostrado que es así, aunque indirectamente por esa demostración mediante derivadas o series de Taylor, y no directamente por lógica mediante las definiciones de número imaginario, real, complejo, funciones trigonométricas y exponencial.

Bueno realmente sí se usa directamente la definición de número complejo, en ambas demostraciones. Sin ella, en la de las series no podríamos agrupar los términos en dos grupos y en la de beliytxuri no podríamos hacer la hipótesis ${e}^{i\theta} = f(\theta) + ig(\theta)$. Otra cosa que comentas: la definición de la exponencial en los complejos es su serie de Taylor. Y el seno y el coseno se definen a partir de su serie (luego con la fórmula de Euler se sustituye por las definiciones con exponenciales). Realmente la demostración es mucho más directa de lo que piensas.

Espero haber aclarado un poco la situación.

[beliytxuri]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

El nacimiento de los números complejos se debió a la incomodidad que suponía que ciertas operaciones algebraicas básicas como la radicación no eran cerradas en el cuerpo de los números reales. Es decir, la raíz cuadrada de un número real no es necesariamente un número real. Se empezó definiendo $\sqrt{-1}=i$ y se construyó el cuerpo aplicando las operaciones algebraicas en la forma natural.

Posteriormente, se pasó a analizar el resultado de las funciones analíticas usuales (exponenciación, trigonométricas, ...etc.), con la esperanza de que los resultados de estas operaciones efectuadas sobre complejos también fueran complejos. Al fin y al cabo, la clausura de las operaciones en $C$ era su marca de fábrica. Hubo suerte y no se obtuvieron contradicciones. Todas las operaciones sobre complejos se podían definir de forma coherente dentro del cuerpo $C$.

Ahora bien, si hubiera aparecido algún problema, (por ejemplo, si no hubiese habido manera en definir razonablemente ${e}^{i\theta }$ como un número complejo), no tengo ninguna duda en que alguien ya hubiera inventado un nuevo cuerpo para capturar la anomalía, (como se hizo con $\sqrt{-1}$, algo parecido a: sea $j ={e}^{i }$) y tendríamos hoy un nuevo cuerpo, si cabe, más "místico" que $C$.

Salud.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la Ecuación de Euler

Gracias;
Creo que ya voy entendiendo un poco más sobre la cuestión. De todos modos, seguiré reflexionando al respecto.