Divulgación Ligaduras

[Lorentz]

Buenas, no comprendo totalmente el concepto de ligadura:
En wikipedia la definen como "son las condiciones sobre coordenadas de un sistema que están sujetas a restricciones independientes de las fuerzas actuantes"
Podríais explicármelo un poco?

[Weip]

Re: Ligaduras

En palabras llanas, las ligaduras son condiciones sobre las coordenadas en forma de ecuaciones. Son "restricciones" que se han de cumplir. Esto es un tema amplio y creo que complicado para ti, así que prefiero dejarte con esta definición un poco de andar por casa y ya irás viendo.

[alexpglez]

Re: Ligaduras

Por ejemplo una fuerza de ligadura que sufre una partícula sería la normal a la superficie sobre la que está apoyada, matemáticamente se puede modelar mediante un punto de vista newtoniano como

$$\dot \vec p=\vec N+\vec F$$

Desde otro punto de vista, eligiendo un buen sistema de coordenadas generalizadas independientes que defina completamente el movimiento. Mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden obtener las ecuaciones de movimiento.
Supongamos un movimiento por un plano inclinado (consideramos el movimiento bidimensional para simplificar): Tenemos la ligadura: $y=mx-n$, y está en función de x, por tanto ya no tenemos dos coordenadas independientes, si no una. Escribamos las ecuaciones con la coordenada generalizada x.

$$T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(\dot x^2+ \dot y ^2)=\frac{1}{2}m(\dot x^2+ k^2 \dot x ^2)=\frac{1}{2}m\dot x^2(1+ k^2)$$

Simplemente he hallado la energía cinética en función de x y $\dot x$, le he llamado k para no confundir la pendiente del plano con la masa. Por ejemplo si actuase la fuerza de gravedad.

$$V=mgy=mg(kx+n)$$

Construyo la lagrangiana.

$$L=T-V=\frac{1}{2}m\dot x^2(1+ k^2)-mg(kx+n)$$

Y aplico:

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}-\frac{\partial L}{\partial x}=0$$

$$(1+k^2)m\ddot x+mgk=0$$

Si no me he equivocado.

$$\ddot x=-g\frac{k}{k^2+1}$$

Que la aceleración se hace 0 cuando k es 0 o infinito y tiene un máximo cuando k=-1. Resultados totalmente conocidos.

Yo tengo una duda acerca de por qué eligiendo el sistema de coordenadas adecuado, por qué se hace nulo el trabajo virtual de las fuerzas de ligadura.¿?

- - - Actualizado - - -

Ah y se me olvidó, si quieres saber la aceleración de la otra componente y, cómo $y=kx+n$ sacas que, $\dot y=k \dot x$,

$$\ddot y = k \ddot x=-g\frac{k^2}{k^2+1}$$

[felmon38]

Re: Ligaduras

Alex..., no te debe extrañar que el trabajo de las fuerzas de ligadura te salga cero porque tú has impuesto esa condición al considerar que con esa ligadura no hay pérdida de energía por lo que la fuerza generalizada correspondiente sería cero. Podías haber pensado en la misma ligadura, la del plano inclinado, pero con rozamiento y ya, el segundo miembro de la ecuación de Lagrange, no sería cero sino la fuerza generalizada de ligadura
Saludos

[Lorentz]

Re: Ligaduras

De acuerdo, bueno, le he estado echando un vistazo a las ecuaciones de Euler-Lagrange y creo que me queda más claro lo que quieren decir