1r ciclo Potencial creado por tres esferas conductoras concéntricas huecas y contunuidad de la función potencial

[Etmoides]

Hola, tengo alguna duda con este problema, dice lo siguiente:

Tres esferas conductoras concéntricas huecas tienen radios 1, 2 y 3 cm, estando las dos últimas conectadas entre sí. Si se carga la capa de 1 cm con 1 nC, hallar el potencial en todo el espacio. ¿Es la función potencial continua?

Por la ley de Gauss yo he llegado a que el campo eléctrico para radios r respecto del centro de las esferas es E=kq/r^2 para (I) 3<r y (III) 1<r<2, y 0 para (IV) 0<r y (II) 2<r<3.

El problema es que, siendo dV=-Edr, no sé qué constante tomaría el potencial en (II) y (IV). Por otra parte, si toma un valor constante en esos intervalos, habría una discontinuidad de salto finito, ¿no?

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Potencial creado por tres esferas conductoras concéntricas huecas y contunuidad de la función potencial

La función potencial es continua. Usualmente se toma que el potencial en un punto infinitamente alejado es nulo, de manera que empezarías en la región (I) ajustando la constante para que V($\infty$) = 0 y luego irías progresando hacia los valores mas bajos de r ajustando la constante en cada región para que la función sea continua. Por supuesto que si a ti se te antoja hacerlo al revés estás en tu perfecto derecho... puedes ajustar la constante en la región (IV) para que V(0) = 0 y luego ir progresando hacia los valores mas altos de r ajustando las constantes para que la función sea continua.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Etmoides]

Re: Potencial creado por tres esferas conductoras concéntricas huecas y contunuidad de la función potencial

De todos modos, es que no saldría continua. En (I) y (III) el potencial sale V=kq/r, y en (II) y (IV) una constante por ser el integrando cero. Y en los extremos de (II), V(2)=kq/2 y V(3)=kq/3, pensando en el gráfico de V frente a r, al ser abcisas diferentes, para que fuera continua deberíamos tener como potencial en el tramo una línea con pendiente que las uniera, pero no es el caso... No sé si me explico.

Por otra parte, ¿en el tramo (II) el potencial que valor tomaría, el mismo que en r=3 o el mismo que en r=2? ¿Por qué?

[Al2000]

Re: Potencial creado por tres esferas conductoras concéntricas huecas y contunuidad de la función potencial

Empieza con la región (I):

(I) $r > r_3$: $\dst E_{(r)} = \frac {k q} {r^2} \quad \Rightarrow \quad V_{(r)} = \frac {k q} r + C_1$

Estableciendo como referencia que $V_{(\infty )} = 0$, se obtiene que $C_1 = 0$.

Sigues con la región (II):

(II) $r_2 < r < r_3$: $\dst E_{(r)} = 0 \quad \Rightarrow \quad V_{(r)} = C_2$

Estableciendo que el potencial varíe continuamente en la frontera $r = r_3$: $\dst C_2 = \frac {k q} {r_3}$.

Luego la región (III):

(III) $r_1 < r < r_2$: $\dst E_{(r)} = \frac {k q} {r^2} \quad \Rightarrow \quad V_{(r)} = \frac {k q} r + C_3$

Estableciendo que el potencial varíe continuamente en la frontera $r = r_2$: $\dst \frac {k q} {r_2}+ C_3 = \frac {k q} {r_3} \quad \Rightarrow \quad C_3 = k q \left(\frac 1 {r_3} - \frac 1 {r_2}\right)$.

Finalmente la región (IV):

(IV) $0 < r < r_1$: $\dst E_{(r)} = 0 \quad \Rightarrow \quad V_{(r)} = C_4$

Estableciendo que el potencial varíe continuamente en la frontera $r = r_1$: $\dst C_4 = \frac {k q} {r_1} + k q \left(\frac 1 {r_3} - \frac 1 {r_2}\right) \quad \Rightarrow \quad C_4 = k q \left(\frac 1 {r_1} - \frac 1 {r_2} + \frac 1 {r_3}\right)$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

EDITO para añadir gráfico:

[Etmoides]

Re: Potencial creado por tres esferas conductoras concéntricas huecas y contunuidad de la función potencial

Muchas gracias! Ya lo veo claro