Secundaria Notación de Leibnizt

[Visitante]

¿Hay algún lugar donde pueda aprender acerca de la notación de Leibniz para las derivadas? Es decir, como nombrarlas, etc... Es que este es el que se usa en física y yo estoy acostumbrado a la notación matemática $f`(x)$

PD: Me equivoqué al escribir Leibniz en el título del hilo.

[Weip]

Re: Notación de Leibnizt

Ah no, si es solo un detalle de nada. La notación de Leibniz consiste en decir que $\dst\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} }$ es la derivada respecto a $x$. Si la aplicas a una función, $\dst\frac{\mathrm{dy(x)} }{\mathrm{d} x}=y'(x)$. A veces también se pone $\dst\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{dx} } y(x)$. Para las derivadas de orden superior $y^n(x)$se utiliza $\dst\frac{\mathrm{d}^n }{\mathrm{d} x^n}$.

Solo es esto.

[Alephero]

Re: Notación de Leibnizt

Como te han dicho más arriba, básicamente consiste en usar $\frac{d}{dx}$ para escribir derivadas, y normalmente se suelen omitir las variables de las que depende una función. Por ejemplo, si tenemos la posición de un objeto que depende del tiempo, $r(t)$, su velocidad es su derivada, $v=\frac{dr}{dt}$, y como ves omitimos las variables.

Puntos importante de esta notación son la regla de la cadena y la derivada de la función inversa.

Si tienes una función f(g(x)), su derivada respecto a x es f'(g(x))·g'(x), lo que en notación de Leibnitz se escribe como $\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}$ ("derivas f respecto a lo de dentro, y derivas lo de dentro respecto a x") que debido a la similitud que tiene con las fracciones, es más fácil de recordar mnemotécnicamente hablando.

En cuanto a la derivada de la funcion inversa, tenemos f(x)=y una función cualquiera, y f-1(y)=x su inversa; en notación de Lagrange, la derivada de la inversa es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , lo que en notación de Leibnitz se escribe como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , que vuelve a ser, por la similitud con las fracciones, "lógico".

[alexpglez]

Re: Notación de Leibnizt

En cuanto a la derivada de la funcion inversa, tenemos f(x)=y una función cualquiera, y f-1(y)=x su inversa; en notación de Lagrange, la derivada de la inversa es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , lo que en notación de Leibnitz se escribe como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , que vuelve a ser, por la similitud con las fracciones, "lógico".

Reescribo la última fórmula que creo que no se entiende bien.

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

Si, mirándolo con esta notación se ve en realidad el significado de la derivada, una división de infinitésimos.
Hay otras muchas notaciones: $v=\frac{dr}{dt}=r'=r'(t)=r'_t=\dot r$, $a=\frac{d^2 r}{dt^2}=r''=r''(t)=r''_{t,t}=\ddot r$, $\frac{d^n r}{dt^n}=r^{(n)}(t)$.
Es simplemente una notación, dependiendo del texto, yo veo más legible a veces escribirlo como fracción cuando quieres detallarlo, escribirlo como puntos encima para ahorrar porque se sobreentienda respecto a qué derivas, escribirlo como un "exponente" cuando realizas por ejemplo una derivada nésima de una función de una variable. Lo importante es saber las distintas notaciones para poder leer bien cualquier tipo de texto.

[Visitante]

Re: Notación de Leibnizt

Esto no lo entiendo:
Si
$f`(x))=\frac{df}{dx }$
Entonces qué significa?
df=f`(x)dx

[alexpglez]

Re: Notación de Leibnizt

Esto no lo entiendo:
Si
$f`(x))=\frac{df}{dx }$
Entonces qué significa?
df=f`(x)dx

Pues significa:

$$df=f'(x)dx=\frac{df}{dx}dx=df$$

- - - Actualizado - - -

Se ve que se llega a lo mismo. La utilidad del diferencial radica en el cálculo de integrales, bueno supongo que esto ya lo sabes, y después en cálculo multivariable es superútil.

[Weip]

Re: Notación de Leibnizt

Esto no lo entiendo:
Si
$f`(x))=\frac{df}{dx }$
Entonces qué significa?
df=f`(x)dx

Lo que te ha de quedar claro es que la notación $\dst\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ no tiene nada que ver con los diferenciales. Es una notación que se define en bloque y expresa "derivación". En muchos libros encontrarás que el cociente se puede separar para escribir $df=f'(x)dx$ porque es más intuitivo. Aunque esto se puede hacer, no estás multiplicando ni dividiendo nada. $df$ es, por definición, $df=f'(x)x$. Usando esto tenemos que $dx=x'(x)x=x$ así que podemos sustituir y queda $df=f'(x)dx$. Usando la notación de Leibniz, $df=\dst\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}dx$. Fíjate que $\dst\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ te está diciendo que estás derivando mientras que el $dx$ es sólo multiplicar por $x$. Para las integrales pasa lo mismo: el $dx$ del final no significa nada en el cálculo clásico.

En resumen, esas dos expresiones no tienen relación alguna. Se parecen porque a la hora de operar es más fácil y permite dar justificaciones más rápido. Pero no las confundas.

[Visitante]

Re: Notación de Leibnizt

Lo que te ha de quedar claro es que la notación $\dst\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ no tiene nada que ver con los diferenciales. Es una notación que se define en bloque y expresa "derivación". En muchos libros encontrarás que el cociente se puede separar para escribir $df=f'(x)dx$ porque es más intuitivo. Aunque esto se puede hacer, no estás multiplicando ni dividiendo nada. $df$ es, por definición, $df=f'(x)x$. Usando esto tenemos que $dx=x'(x)x=x$ así que podemos sustituir y queda $df=f'(x)dx$. Usando la notación de Leibniz, $df=\dst\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}dx$. Fíjate que $\dst\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ te está diciendo que estás derivando mientras que el $dx$ es sólo multiplicar por $x$. Para las integrales pasa lo mismo: el $dx$ del final no significa nada en el cálculo clásico.

En resumen, esas dos expresiones no tienen relación alguna. Se parecen porque a la hora de operar es más fácil y permite dar justificaciones más rápido. Pero no las confundas.

Entonces es que entendí mal el la expresión (df=f`(x)dx, es que pensé que $df/dt$ al ser una regla para representar la derivada no puedes multiplicar de esta manera: $dx*\frac{df}{dx }=df$ y que se vaya dx con dx, es un error mío de lectura.
Dejando ese error de lado, creo que entiendo lo que quiere decir, para estar seguro, ¿dx significa una cantidad muy pequeña de x?

Pd: También he visto este símbolo $\frac{\partial f}{\partial x}$, ¿Es eso otra manera de representar una derivada?

[Weip]

Re: Notación de Leibnizt

¿dx significa una cantidad muy pequeña de x?

No. Pero muchos libros e incluso físicos, ingenieros te dirán que sí porqué en su día Newton y Leibniz lo creyeron así (aunque ellos mismos sabían que la cosa no cuadraba si los diferenciales eran pequeños pero nunca llegaron a solucionar el tema). Aunque es muy intuitivo, es más fácil para dar justificaciones que de forma rigurosa tardaríamos más en explicarlo.

Mi recomendación es la siguiente: en textos de física, interpretarlo como que son infinitesimales, teniendo en cuenta siempre que no es algo matemáticamente correcto si no más bien una forma de imaginárselo. Multiplicarlos y dividirlos aunque sea incorrecto la mayoría de las veces llegarás a expresiones que son ciertas. En textos de matemáticas, borra la idea de la cabeza y trátalas como funciones normales y corrientes.

Pd: También he visto este símbolo $\frac{\partial f}{\partial x}$, ¿Es eso otra manera de representar una derivada?

No. Ese símbolo significa derivada parcial. Para que te hagas una idea, es una generalización de la derivada normal y corriente pero para funciones en varias variables (del estilo $f(x, y)=x^2+y^2)$.

En este caso el símbolo $\partial f$ no significa nada, no es ningún diferencial ni tampoco tiene interpretación física. Igual lo podrás ver en textos de geometría y de otras áreas, pero no están relacionados con los conceptos del análisis de los que estamos hablando.

Espero haberte ayudado.

[Visitante]

Re: Notación de Leibnizt

No. Pero muchos libros e incluso físicos, ingenieros te dirán que sí porqué en su día Newton y Leibniz lo creyeron así (aunque ellos mismos sabían que la cosa no cuadraba si los diferenciales eran pequeños pero nunca llegaron a solucionar el tema). Además de que es muy intuitivo, es más fácil para dar justificaciones que de forma rigurosa tardaríamos más en explicarlo.

¿Entonces por qué a veces me encuentro con dL refiriéndose a una cantidad muy pequeña de longitud que tiende a cero según entiendo?

[alexpglez]

Re: Notación de Leibnizt

Si y no. No tengo el nivel suficiente para decirte, no porque no sepa, si no porque no me lo han explicado nunca formalmente y yo en parte parezco de los que cómo dijo Weip:

No. Pero muchos libros e incluso físicos, ingenieros te dirán que sí porqué en su día Newton y Leibniz lo creyeron así (aunque ellos mismos sabían que la cosa no cuadraba si los diferenciales eran pequeños pero nunca llegaron a solucionar el tema). Aunque es muy intuitivo, es más fácil para dar justificaciones que de forma rigurosa tardaríamos más en explicarlo.

Así que mejor que te acabe de responder él, pero intentaré aportar algo.
La derivada se define:

$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}=y'$$

Ahora para el diferencial, podemos "pasar" el dx hacia el otro lado:

$$\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{dy}{dx}\Delta x=\frac{dy}{dx}dx=dy$$

Lo que te da ahora no es una función, tampoco un número, es una relación entre dos variables, que aunque se pueden ver como infinitesimales, no son infinitesimales, ya que no son números. Si que es verdad que usando diferenciales después se puede hacer aproximaciones, asociando un número a dx y a dy como si fueren simples Deltas mayúsculas, pero dx y dy no son números.
Igual que integral, que aunque venga de definirse de:

$$\int y dx=\lim_{\Delta_i x \to 0}\sum_i y \Delta_i x$$

Integrar no es mutiplicar, aunque tenga un símil, no es lo mismo, precisamente ese símil es lo que tenga esa simbología. Pero son operaciones totalmente diferentes.


Por cierto, lo de las derivadas parciales voy a retomar el ejemplo de Weip.

pero para funciones en varias variables (del estilo

Si derivas parcialmente con respecto a x o a y.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y^2$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+2y$$

Ahora imagínate que y depende de x, la derivada parcial seguirá siendo la misma, pero la derivada total la podríamos calcular conociendo y(x) y su derivada.

$$\frac{df}{dx}=2x+2y\frac{dy}{dx}$$

Si te fijas he derivado los dos términos, por eso esta última derivada se llama total y las anteriores derivadas, parcial.

[Weip]

Re: Notación de Leibnizt

¿Entonces por qué a veces me encuentro con dL refiriéndose a una cantidad muy pequeña de longitud que tiende a cero según entiendo?

Por motivos históricos: se tardaron muchos pero que muchos años en formalizar el cálculo de Newton y Leibniz. Como pasaron los años y los "infinitesimales" era tan útiles, se quedó la interpretación hasta nuestros días. De hecho es muy fácil demostrar que los diferenciales reales no son infinitesimales, tan sólo hay que comprobar las definiciones a pelo.

A mí lo único que me preocupa es que hay autores que creen de verdad que son infinitesimales. Yo mismo pasé meses intentado saber que pasaba con los diferenciales porque esto era un lío (queda patente en un hilo mío "Dudas acerca del diferencial de una función"). Al final salí de dudas.

Pero lo que he dicho: en textos de física creete que son pequeños. En matemáticas, cambias el chip. De hecho es muy habitual en matemáticas suprimir los "diferenciales" (que son de notación, no son operativos). Así pues, para poner una integral muchas veces se pone $\dst \int f$ y ya está. El mensaje de alexpglez también te puede ser útil para que veas la perspectiva general.

[angel relativamente]

Re: Notación de Leibnizt

A riesgo de decir algo que ya se haya dicho porque confieso que he leído el hilo muy por encima, en electromagnetismo cuando se toma un diferencial de volumen te dicen: ¡Pero cuidado que ese diferencial no sea muy pequeñito que tiene que contener cargas!