Pisos de un hotel

[jogares]

En un hotel el número de habitaciones libres disminuye con la altura y se da la circunstancia de que esta disminución es de 2 habitaciones por piso hasta llegar al último en el que solo queda una libre. Sabemos que, si se numeran consecutivamente las habitaciones libres comenzando en el primer piso, la habitación libre número 100 está en uno de los pisos 7, 8, 9. ¿Cuántos pisos tiene el hotel y cuántas habitaciones quedan libres?

[Alriga]

Re: Pisos de un hotel

¿Once pisos de altura y 121 habitaciones libres?

[Richard R Richard]

Re: Pisos de un hotel

aqui me lanzo

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si en el piso n hay una sola libre y crece de dos en dos , osea debemos sumar los impares hasta ver donde se ubica el 100 solo que de abajo hacia arriba

la suma de los impares siempre es un numero al cuadrado y^2

como voy numerando a la inversa tenemos que n^2-x^2= 100 y n-x puede ser 7 8 o 9

por diferencia de polinomios n+x = 100/ 7 o 100/8 o 100/9 o entonces 7<n<14 y x <5 con x < 5 sabemos que la diferencia debe ser cercana a 15 habitaciones por encima de la 100 n^2 debe ser cercano a 115 n= 100 no tiene sentido pues x=0 y n =10 queda fuera del enunciado

n=11 x=4 son 121 habitaciones libres la numero 100 libre contada hacia abajo esta en el piso 8 como dice el enunciado y en total son 11 pisos

[DiegoSH]

Re: Pisos de un hotel

Nunca se puede suponer que exista un piso con 100 habitaciones libres dado que nunca se va a poder tener en el ultimo piso una habitacion libre

[jogares]

Re: Pisos de un hotel

Nunca se puede suponer que exista un piso con 100 habitaciones libres dado que nunca se va a poder tener en el ultimo piso una habitacion libre

El enunciado no dice que hay un piso con 100 habitaciones libres sino que hay un piso en el que el número acumulado de habitaciones libres incluyendo todos los pisos anteriores es 100.
Saludos

[Soy un lego]

Re: Pisos de un hotel

Bueno, mi solución.

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Me da lo mismo que a Alriga y Richard. Averiguamos el número de habitaciones libres en la primera planta. Sabemos que la habitación libre número 100 puede estar en las plantas séptima, octava o novena. Calculamos los extremos.

Habitación libre número 100 justo por encima de la sexta planta:

100=x+(x-2)+(x-2*2)+(x-2*3)+(x-2*4)+(x-2*5)
x=21.67
El entero inmediatamente inferior es 21.


Habitación libre número 100 justo por debajo de la décima planta:

100=x+(x-2)+(x-2*2)+(x-2*3)+(x-2*4)+(x-2*5)+(x-2*6)+(x-2*7)+(x-2*8)+(x-2*9)
x=19
El entero inmediatamente superior es 20.


Las habitaciones libres en la primera planta pueden ser 20 ó 21, pero como sabemos que en la última planta hay una única habitación libre, en la primera planta sólo pueden haber 21 habitaciones libres.

1: 21
2 (19): 40
3 (17): 57
4 (15): 72
5 (13): 85
6 (11): 96
7 (9): 105
8 (7): 112
9 (5): 117
10 (3): 120
11 (1): 121

Hay 11 pisos y 121 habitaciones libres.