Números de Bronowski

[Jaime Rudas]

El número 410256 tiene una curiosa característica: al pasar el 4 del extremo izquierdo al extremo derecho el número queda dividido por 4. O sea: 410256/4=102564. ¿Cuál es el menor número para el cual, al pasar el 2 del extremo izquierdo al extremo derecho el número queda dividido por 2?

Saludos.

[Machinegun]

Re: Números de Bronowski

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Si mis cuentas no me engañan el menor número que cumple con la condición solicitada es uno astronómicamente grande. Claro, a lo mejor algo se me escapó y la respuesta es mucho más razonable y, por lo mismo, menos sorprendente, pero a mí me resulto el siguiente numerote:

210 526 315 789 473 684

En realidad, si esta es la respuesta correcta, es relativamente fácil obtenerla.

Saludos

[Jaime Rudas]

Re: Números de Bronowski

Correcto, Machinegun: ese es el menor número que cumple la condición.

[Alriga]

Re: Números de Bronowski

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N=aB siendo "a" una sola cifra y "B" un entero con un número arbitrario de cifras
M=Ba
Se pide que N/2=M

$N=a \cdot 10^n +B$

$M=10 \cdot B+a$

$\dfrac{a \cdot 10^n +B}{2}=10 \cdot B+a$

Operando:

$B=a \cdot \dfrac{10^n -2}{19}$

Ahora hay que ir probando los diferentes $10^n-2$ hasta encontrar un múltiplo de 19

n	10^n	(10^n) - 2	[(10^n) - 2] / 19
1	10	8	0,4
2	100	98	5,2
3	1.000	998	52,5
4	10.000	9.998	526,2
5	100.000	99.998	5.263,1
6	1.000.000	999.998	52.631,5
7	10.000.000	9.999.998	526.315,7
8	100.000.000	99.999.998	5.263.157,8
9	1.000.000.000	999.999.998	52.631.578,8
10	10.000.000.000	9.999.999.998	526.315.789,4
11	100.000.000.000	99.999.999.998	5.263.157.894,6
12	1.000.000.000.000	999.999.999.998	52.631.578.947,3
13	10.000.000.000.000	9.999.999.999.998	526.315.789.473,6
14	100.000.000.000.000	99.999.999.999.998	5.263.157.894.736,7
15	1.000.000.000.000.000	999.999.999.999.998	52.631.578.947.368,3

Y como el EXCEL solo opera con 15 cifras aquí me quedé anoche, llegando únicamente a la conclusión de que el número buscado es muy grande.

Esta mañana he reemprendido las operaciones para n=16 y n=17 con la calculadora del Windows, que permite más decimales y por fin:

$\dfrac{10^{17} -2}{19}=5.263.157.894.736.842$ ¡entero!

Luego el primer "B" será $B=5.263.157.894.736.842 \cdot 2 =10.526.315.789.473.684$ y la primera pareja que cumple lo solicitado:

$N=210.526.315.789.473.684$

$M=105.263.157.894.736.842$

La siguiente pareja de números que cumpliría que, trasladando la primera cifra de la izquierda a la última de la derecha se obtiene un número que es la mitad del original, sería:

$B=5.263.157.894.736.842 \cdot 3 =15.789.473.684.210.526$

$N=315.789.473.684.210.526$

$M=157.894.736.842.105.263$

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: Números de Bronowski

¡Estupendo, Alriga!: tu técnica es impecable. El primero está bien, pero el segundo, no es que esté mal, sino que no cumple con una condición: que la cifra que se traslada es el 2, no el 3.


¿Leíste el último comentario de Machinegun? Lo pregunto porque el sistema que yo hallé, que supongo que es el mismo que el de Machinegun, es algo más simple que el tuyo, pero, en realidad, no sirve para hallar el verdadero número de Bronowski y me late que tu sistema si sirve para el efecto.


El número de Bronowski es el número más pequeño para el cual, al pasar la primera cifra del extremo izquierdo al extremo derecho, el número queda multiplicado por 1,5.

[Alriga]

Re: Números de Bronowski

¿Cuál es el menor número para el cual, al pasar el 2 del extremo izquierdo al extremo derecho el número queda dividido por 2?
Saludos.

Este era el enunciado del problema. Es cierto que dice al "pasar el 2" A eso he respondido con la primera pareja.
Es cierto que la segunda pareja que he puesto no es "pasando un 2", sino pasando la primera cifra de la izquierda a la derecha, (sea la cifra que sea, en este caso un 3), el resultado es la mitad de la cifra original. OK, es una amplición gratuita del problema por mi parte que no cumple el enunciado original, perdón.
Pero ahora dices.

El número de Bronowski es el número más pequeño para el cual, al pasar la primera cifra del extremo izquierdo al extremo derecho, el número queda multiplicado por 1,5.

Y ahora sí que me he perdido: ¿1.5? Eso no lo decía el enunciado. El enunciado no decía "queda multiplicado por 1.5" decía "queda dividido por por 2"
Saludos.

[Machinegun]

Re: Números de Bronowski

Y con el método sencillo que encontré, también se puede calcular el menor número para el cual, al pasar el 3 del extremo izquierdo al extremo derecho el número queda dividido por 3. Y ese número es mucho más grande que el que corresponde al caso del 2 (a menos que me haya equivocado al ir haciendo sumas sencillitas, lo cual no sólo no es imposible, sino que tampoco es improbable).

Saludos

[Jaime Rudas]

Re: Números de Bronowski

Y ahora sí que me he perdido: ¿1.5? Eso no lo decía el enunciado. El enunciado no decía "queda multiplicado por 1.5" decía "queda dividido por por 2"

Sí, es que expliqué mal: en el problema que planteé, en efecto, la condición era que quedaba dividido por 2 y tú lo resolviste muy bien. Lo que traté de explicar es que tu método de resolver el problema tiene la ventaja de que, además de resolver este, creo que también sirve para resolver otros similares, pero más complicados como, por ejemplo, el de averiguar cuál es el número de Bronowski, que se define como el número más pequeño para el cual, al pasar la primera cifra del extremo izquierdo al extremo derecho, el número queda multiplicado por 1,5. O sea, creo que tu sistema sirve para resolver este nuevo problema, pero sé que el sistema que yo utilicé para resolver el problema del 2, aunque es mucho más sencillo que el tuyo, no sirve para obtener el número de Bronowski.

- - - Actualizado - - -

Y con el método sencillo que encontré, también se puede calcular el menor número para el cual, al pasar el 3 del extremo izquierdo al extremo derecho el número queda dividido por 3. Y ese número es mucho más grande que el que corresponde al caso del 2 (a menos que me haya equivocado al ir haciendo sumas sencillitas, lo cual no sólo no es imposible, sino que tampoco es improbable).

A mí también me da que tiene 33% más cifras y sospecho que utilizamos el mismo método que no requiere más que saber sumar.

[Alriga]

Re: Números de Bronowski

... averiguar cuál es el número de Bronowski, que se define como el número más pequeño para el cual, al pasar la primera cifra del extremo izquierdo al extremo derecho, el número queda multiplicado por 1,5

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Sí creo que el método también funciona para el caso 1.5:
N=aB
M=Ba
3/2 N=M

$\dfrac 3 2 (a \cdot 10^n + B) = 10 \cdot B +a$

$B=\dfrac{a \cdot (3 \cdot 10^n -2)}{17}$

n	10^n	(3·10^n) - 2	[(3 ·10^n) - 2] / 17
1	10	28	1,6
2	100	298	17,5
3	1.000	2.998	176,4
4	10.000	29.998	1.764,6
5	100.000	299.998	17.646,9
6	1.000.000	2.999.998	176.470,5
7	10.000.000	29.999.998	1.764.705,8
8	100.000.000	299.999.998	17.647.058,7
9	1.000.000.000	2.999.999.998	176.470.588,1
10	10.000.000.000	29.999.999.998	1.764.705.882,2
11	100.000.000.000	299.999.999.998	17.647.058.823,4
12	1.000.000.000.000	2.999.999.999.998	176.470.588.235,2
13	10.000.000.000.000	29.999.999.999.998	1.764.705.882.352,8
14	100.000.000.000.000	299.999.999.999.998	17.647.058.823.529,3

No hay enteros hasta n=14 que es donde llega la precisión del EXCEL, pero para n=15 con la calculadora del Windows:

$\dfrac{(3 \cdot 10^{15} -2)}{17}=176.470.588.235.294$ Que es entero, luego:

N=1.176.470.588.235.294
M=1.764.705.882.352.941

$N \cdot \dfrac 3 2 =M$ como se pide para el número de Bronowski.

Saludos

[Jaime Rudas]

Re: Números de Bronowski

¡Perfecto, Alriga!

Mi método para resolver el primer problema (supongo que es parecido al que encontró Machinegun) es este:

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De acuerdo con las condiciones del problema, resulta que se debe cumplir que un número terminado en 2 sumado dos veces nos debe dar un número cuya primera cifra sea 2. o sea, algo como:

**********2
**********2
========
2**********

(Por supuesto, el número de asteriscos no tiene que ser igual al número de cifras)

Ahora bien, 2+2=4, por lo que resulta:

**********2
**********2
========
2*********4

Como el resultado termina en 4, la penúltima cifra del número es 4:

*********42
*********42
========
2*********4

4+4=8 nos da la penúltima cifra del resultado:

*********42
*********42
========
2********84

que es la antepenúltima del número:

********842
********842
========
2*******684

y así sucesivamente:

*******6842
*******6842
========
2******3684

hasta que llegamos a un resultado de 2 sin resto:

105263157894736842
105263157894736842
=================
210526315789473684

En cuanto al número de Bronowski, el procedimiento que leí hace mil años no me acuerdo dónde es el siguiente:

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Supongamos que nuestro número se compone de las cifras a, b, c, d,... hasta n. El número es pues:

abcd...n

entonces se debe cumplir:

1.5 x abcd...n = bcd...na

lo convertimos en decimales (dividiendo por 10^w, donde w es el número de cifras):

1.5 x 0,abcd...n = 0,bcd...na

lo convertimos en decimal periódico:

1.5 x 0,abcd...nabcd...nabcd...na... = 0,bcd...nabcd...nabcd...na... (1)

por otro lado tenemos:

10 x 0,abcd...nabcd...nabcd...na... = a,bcd...nabcd...nabcd...na... (2)

Restamos (1) de (2)

8.5 x 0,abcd...nabcd...nabcd...na... = a

0,abcd...nabcd...nabcd...na... = a / 8.5

Hacemos a = 1 y obtenemos:

0,abcd...nabcd...nabcd...na... = 1 / 8.5 =
0,117647058823529411764705882352941176470588235294...

como el periodo es 1176470588235294 entonces este número cumple con la condición. No es difícil comprobar que si a es cualquier otra cifra, resulta un número mayor, por lo que este es el número de Bronowski.

A propósito, se llama número de Bronowski porque parece que fue el matemático Jakov Bronowski quien lo publicó por primera vez por allá por los años 50 del siglo pasado. Este Bronowski es el mismo de una magnífica serie documental científica que quizás los más veteranos recuerden: El ascenso del hombre.

[Richard R Richard]

Re: Números de Bronowski

Epa!!! me lo he perdido y halle la solución

en general el número a que cumple la condicion para cualquier n divisor es

$a=\dfrac{n^2(\notcien{1}{x}-1)}{10n-1}$

con cualquier proceso iterativo subiendo x de a una unidad llegaremos a un entero alguna vez, el tema sería demostrar que el valor de x esta acotado en función de n

como

$x=\log_{10}\left (\dfrac{a(10n-1)}{n^2}+1\right )$

$lim_{n\to\infty} x(n)=0$

creería que siempre va a haber solución


Saludos