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Introducción Ec. Diferenciales

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  • 1r ciclo Introducción Ec. Diferenciales

    Me han puesto que una función diferencial es del tipo:

    y si es una función de variable separadas, podemos expresar lo anterior como:


    puesto que

    ¿Pero qué significa tiene esta igualdad? ¿Que la velocidad de variación de una función a medida que va cambiando es igual a ? Es decir, que la tangente de la función es igual a ?

    Y cuando hemos despejado: y hacemos la integral de ambas, ¿estamos diciendo que el área encerrada por la función es la misma que la encerrada por la función ?
    i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

    \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

  • #2
    Re: Introducción Ec. Diferenciales

    Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
    ¿Que la velocidad de variación de una función a medida que va cambiando es igual a ?
    Estás interpretando una derivada parcial como una derivada normal. Piénsala como una derivada direccional respecto a (1,0,0).

    Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
    Es decir, que la tangente de la función es igual a ?
    Creo que te estás liando. es una función, no la recta tangente de . La tangente de en un punto determinado la obtienes con los métodos que te enseñaron en bachillerato.

    Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
    Y cuando hemos despejado: y hacemos la integral de ambas, ¿estamos diciendo que el área encerrada por la función es la misma que la encerrada por la función ?
    Falta un diferencial en el miembro izquierdo para que la integración tenga sentido. O eso o el del lado derecho sobra. Otra cosa, no sé de donde despejas, esto me gustaría que lo detallaras. En todo caso la respuesta a tu pregunta es sí siempre que acabes de darle sentido a tu expresión.

    Comentario


    • #3
      Re: Introducción Ec. Diferenciales

      Escrito por Weip Ver mensaje
      Piénsala como una derivada direccional respecto a (1,0,0)
      ¿Qué es una derivada direccional?

      Escrito por Weip Ver mensaje
      Falta un diferencial en el miembro izquierdo para que la integración tenga sentido. O eso o el del lado derecho sobra. Otra cosa, no sé de donde despejas, esto me gustaría que lo detallaras. En todo caso la respuesta a tu pregunta es sí siempre que acabes de darle sentido a tu expresión.
      Sí, perdón, se me ha olvidado ponerla:

      Última edición por The Higgs Particle; 10/12/2015, 17:48:55.
      i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

      \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

      Comentario


      • #4
        Re: Introducción Ec. Diferenciales

        Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
        ¿Qué es una derivada direccional?
        Mejor olvídalo y díme: ¿qué te han dicho que es una derivada parcial? Para así poder responderte en términos de cosas que ya sabes.

        Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
        Lo mismo que te he dicho en el otro hilo. Aunque, por preguntar, ¿tu profesor también hace esos despejes? Otra cosa, el 1 no sería ? Está mal igual, pero es que el uno no me cuadra.

        Edito: La última pregunta da igual, no había visto tu respuesta del otro hilo.
        Última edición por Weip; 10/12/2015, 18:09:14.

        Comentario


        • #5
          Re: Introducción Ec. Diferenciales

          Bueno pues te explico lo de la derivada direccional y si eso ya lo conectaré con lo que te hayan contado en clase. En una variable tienes dos formas de acercarte a un punto: por la izquierda y por la derecha. Por eso hay el límite por la izquierda y el límite por la derecha. Pero en varias variables tienes infinitas formas de aproximarte a un punto (siguiendo una recta, una espiral...). Es por eso que para derivar hace falta especificar un vector que dará la dirección y sentido. Esta construcción da lugar a la derivada direccional. Teniendo en cuenta esto, una derivada parcial es una derivada direccional respecto un vector de la base canónica . Por ejemplo si derivas respecto a el vector es , si es respecto el vector es , etc. Por lo tanto a tu interpretación le falta especificar el vector . Es decir, la derivada parcial respecto a es el ritmo de cambio de la función respecto a en la dirección . Decir que este concepto seguramente lo hayas visto "escondido": si tu función es diferenciable, la derivada direccional de cada componente es el diferencial de cada componente (el diferencial en diversas variables lo has dado ¿no?).

          Comentario


          • #6
            Re: Introducción Ec. Diferenciales

            ¿?

            Tengo en los apuntes que mide cómo varía con respecto a , estando la fijada.
            Eso significa que , tomado respecto al origen, es constante, ¿no?

            Quiero decir, en esta imagen, por ejemplo, los puntos siempre van a ser . El vector de dicho punto será . Y en ese caso, ¿es además, da la pendiente de la recta roja y el vector de la misma ? ¿Y no tienen ninguna componente ? ¿Cómo se especifica entonces si o ?
            Última edición por The Higgs Particle; 13/12/2015, 12:58:23.
            i\hbar \frac{\partial \psi(\vec{r};t) }{\partial t} = H \psi(\vec{r}; t)

            \hat{\rho} = \sum_i p_i \ket{\psi_i} \bra{\psi_i}

            Comentario


            • #7
              Re: Introducción Ec. Diferenciales

              Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
              ¿?
              Sí, es ese.

              Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
              Tengo en los apuntes que mide cómo varía con respecto a , estando la fijada.
              Creo que te refieres a que está en función de y de (al menos el la imagen que has puesto es así). En ese caso lo que dices funciona para funciones más generales en que no esté en función ni de ni de . Lo de fijar la viene de la definición de derivada parcial respecto :



              Como ves la dirección se determina en el término donde estás fijando la . Si quisieras hacer una derivada parcial respecto tendrías que hacer (es decir, dejas la fija). Y si quieres la derivada direccional respecto harías (y en este caso no dejas fija ninguna). No sé si me he explicado. De aquí sale el método que usas para calcular derivadas parciales.

              Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
              Eso significa que , tomado respecto al origen, es constante, ¿no?
              como tal no varía nunca. Lo que digo es que elegir un vector u otro te determinará una derivada u otra. En el caso de derivada parcial respecto el vector no interviene en nada puesto que estás escogiendo como vector y hay un 0 en la segunda componente. Solo es una elección. A los vectores no les haces nada realmente.

              Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
              Y en ese caso, ¿es además, da la pendiente de la recta roja y el vector de la misma ? ¿Y no tienen ninguna componente ?
              Sí, sería la pendiente de la recta. El plano azul es paralelo al eje X así que la dirección es la de .

              Escrito por The Higgs Particle Ver mensaje
              ¿Cómo se especifica entonces si o ?
              Se especifica por el punto. Si derivas en entonces tu fijas . Y en un punto tu fijas . Te propongo que hagas lo siguiente. Fija la en una función, deriva y sustituye la . Verás que te da lo mismo que si primero derivas y luego sustituyes la y la (que es como lo haces normalmente).
              Última edición por Weip; 13/12/2015, 14:21:45.

              Comentario


              • #8
                Re: Introducción Ec. Diferenciales

                Sobre aplicaciones geométricas de la derivada direccional no sé nada, aunque sobre el punto de vista del cálculo ya te respondí en el otro hilo. Sobre la ecuación diferencial, lo que Weip trataba de decirte es que:
                Esto como ya sabrás se puede resolver integrando definidamente o indefinidamente:
                (Aquí es donde te olvidaste escribir dy).
                Donde obviamente .

                Algo que está mal también es escribir:
                [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

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