Otras carreras Función de taylor de varias variables

[alexpglez]

La serie de taylor en una variable es:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}f^n(a)$$

Para varias variables simplemente sería ir una por una, quiero decir:

$$f(x,y,...)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}\frac{\partial^n f(x,y,...)}{\partial x^n}\vert_{x=a}=$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-a)^n}{n!}\frac{\partial^n }{\partial x^n}\vert_{x=a}(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y-a)^n}{n!}\frac{\partial^n f(x,y,...)}{\partial y^n}\vert_{y=b})$$

Esto es correcto¿?
Pero a la hora de obtener términos relevantes como se simplifica la expresión¿?

Había leído en un libro la expresión:

$$V(q_1,q_2,....,q_n)=V(q_{01},...,q_{0n})+(\frac{\partial V}{\partial q_i})_0 n_i+\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j})_0 n_i n_j ....$$

Y no sé que viene después de los puntos suspensivos ni cuál es el término general, ni cómo se deduce de la expresión que escribí anteriormente.. Eso mismo quiero preguntar.
PD: $n_i=q_i -q_{0i}$, y supongo que está usando el convenio de sumación.

Gracias, un saludo.

[Weip]

Re: Función de taylor de varias variables

La serie de Taylor en varias variables es $Tf_p(x)=\dst\sum_{|\alpha|\geqslant 0}\dst\frac{D^{\alpha}f(p)}{\alpha !}(x-p)^{\alpha}$ donde $\alpha$ es un multiíndice. A la práctica es mortal calcular un polinomio de Taylor por la definición así que se usan otros métodos que reducen el problema al caso de una variable. Aquí tienes un ejemplo de un polinomio de Taylor y aquí un vídeo con un ejemplo. Insisto que a la práctica pocas veces se hace como en el vídeo, pero es para que veas lo largo que es. Toda la información la tienes también en la wikipedia con otras formas generales.

[alexpglez]

Re: Función de taylor de varias variables

Vale, leyendo otra vez lo de wikipedia entendiendo lo de multiíndice lo entiendo mejor. Pero no entiendo del todo la expresión que me encontré en el libro, la última que escribí.
También, en el vídeo que enlazas, por qué para las derivadas primera cruzadas es 2!, no sería 1!1!=1 ¿?

- - - Actualizado - - -

A, creo que entiendo, $f''_{xy}=f''_{yx}=\frac{1}{2}(f''_{xy}+f''_{yx})$

- - - Actualizado - - -

Entonces...

$$V(q_1,q_2,....,q_n)=V(q_{01},...,q_{0n})+\frac{1}{1!}(\frac{\partial V}{\partial q_i})_0 n_i+\frac{1}{2!}(\frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j})_0 n_i n_j +$$

$$\frac{1}{3!}(\frac{\partial^3 V}{\partial q_i \partial q_j \partial q_k})_0 n_i n_j n_k + \frac{1}{4!}(\frac{\partial^4 V}{\partial q_i \partial q_j \partial q_k \partial q_l})_0 n_i n_j n_k n_l+....$$

¿?

[Weip]

Re: Función de taylor de varias variables

A, creo que entiendo, $f''_{xy}=f''_{yx}=\frac{1}{2}(f''_{xy}+f''_{yx})$

En este contexto se sobreentiende pero en general hay que especificar que $f$ ha de ser de clase $C^2$ para que $f_{xy}=f_{yx}$.

Entonces...

$$V(q_1,q_2,....,q_n)=V(q_{01},...,q_{0n})+\frac{1}{1!}(\frac{\partial V}{\partial q_i})_0 n_i+\frac{1}{2!}(\frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j})_0 n_i n_j +$$

$$\frac{1}{3!}(\frac{\partial^3 V}{\partial q_i \partial q_j \partial q_k})_0 n_i n_j n_k + \frac{1}{4!}(\frac{\partial^4 V}{\partial q_i \partial q_j \partial q_k \partial q_l})_0 n_i n_j n_k n_l+....$$

¿?

Las derivadas han de estar evaluadas en $q_0$, no en . Y los factoriales están mal colocados. La cosa va así. Si tengo una función de dos variables:

$f(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b) (x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\dst\frac{f_{xx}(a,b)}{2!0!}(x-a)^2+$$\dst\frac{f_{xy}(a,b)}{1!1!}(x-a)(y-b)+\dst\frac{f_{yy}(a,b)}{0!2!}(y-b)^2+...$

Yo lo he interiorizado diciendo que $2!$ viene de que hay un $(x-a)^2$ y $0!$ porque no hay $(y-b)$. $1!$ porque hay un $(x-a)$ y $1!$ porque hay un $(y-b)$. Luego un $0!$ porque no hay $(x-a)$ y un $2!$ porque hay un $(y-b)^2$. No sé si me explico. ¿Ves la lógica? O si no $2!$ cuando derives dos veces respecto $x$, $1!$ si derivas respecto $x$ una sola vez y así.

[alexpglez]

Re: Función de taylor de varias variables

Bueno, perdonad que escriba otra vez. Pero creo que ambas son equivalentes, y quiero saber por qué. Lo estoy comprobando para el caso de dos variables y me arroja lo mismo. Quiero saber si esto es equivalente:

$$f(x_0,x_1...x_n)=\frac{1}{0!}f(x_{01},x_{03}...x_{0n})+\frac{1}{1!}\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(x_i-x_{0i})+$$

$$+\frac{1}{2!}\sum_{i,j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x_i-x_{0i})(x_j-x_{0j})+$$

$$+\frac{1}{3!}\sum_{i,j,k} \frac{\partial^3 f}{\partial x_i \partial x_j \partial x_k}(x_i-x_{0i})(x_j-x_{0j})(x_k-x_{0k})....$$

$$f(x_0,x_1...x_n)=\sum_{n_0=0}^\infty ... \sum_{n_n=0}^\infty \frac{(x_0-x_{00})^{n_0}...(x_n-x_{n0})^{n_n}}{n_0!...n_n!}\frac{\partial^{n_0+...+n_n} f}{\partial x_0^{n_0} ... \partial x_n^{n_n}}$$

Tomando las derivadas parciales en los puntos $x_{j0}$.


Respodiendo al mensaje de Weip de hace unos meses:

- - - Actualizado - - -

$f(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b) (x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\dst\frac{f_{xx}(a,b)}{2!0!}(x-a)^2+$$\dst\frac{f_{xy}(a,b)}{1!1!}(x-a)(y-b)+\dst\frac{f_{yy}(a,b)}{0!2!}(y-b)^2+...$

Me da lo mismo si aplico la anterior fórmula, (repaso sólo las derivadas segundas para no escribir tanto):

$$\frac{1}{2!}\sum_{i,j}\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x_i-x_{0i})(x_j-x_{0j})=\frac{1}{2}(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x-x_0)^2+\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x-x_0)(y-y_0)+$$

$$+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(y-y_0)(x-x_0)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(y-y_0)^2)$$

Que es lo mismo que te ha dado antes. Y así lo he comprobado también con las terceras y cuartas derivadas para la función de dos variables. Coincidiendo la fórmula 2 con la fórmula 1 en esos casos.

¿Cómo se demuestra pues la igualdad entre 1 y 2?

Gracias.

- - - Actualizado - - -

PD: mi interés no es práctico, jaja para nada :P. Es teórico. Ya que he visto la fórmula 1 desarrollada hasta la segunda potencia en un libro de física. Para el estudio de las oscilaciones en torno al equilibrio. Así es interesante como reducir, o mejor dicho aproximar, una ecuación diferencial complicada a una sencilla si se está en ciertas condiciones que hacen posible la aproximación. Así pues me gustaría saber cuál es la expansión completa, si es como 1.

[Weip]

Re: Función de taylor de varias variables

¿Cómo se demuestra pues la igualdad entre 1 y 2?

Si escribes (2) con notación multi-índice te saldrá la fórmula que escribí en el mensaje #2. Luego escribe la serie en forma extendida y obtendrás (1).

[alexpglez]

Re: Función de taylor de varias variables

Hola, me lo podrías detallar, y de paso definir bien el multiíndice¿? en wikipedia lo he estado mirando y no lo entiendo, gracias.

[Weip]

Re: Función de taylor de varias variables

Hola, me lo podrías detallar, y de paso definir bien el multiíndice¿? en wikipedia lo he estado mirando y no lo entiendo, gracias.

Un multi-índice es un vector $\alpha \in \mathbb{Z}_{\geqslant 0}^n$, es decir, un vector de enteros no negativos. Se define el módulo de un multi-índice $\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$ como $|\alpha|=\alpha_1+...+\alpha_n$. Otras propiedades son $\alpha !=\alpha_1!...\alpha_n!$ y ${\partial x}^{\alpha}={\partial x}^{\alpha_0}...{\partial x}^{\alpha_n}$.

Decir que que todo esto es notación así que no busques ningún parecido con los vectores de $\mathbb{R}^n$.

Ahora pasamos a tu caso concreto. La notación que usas no es muy afortunada así que permíteme llamar $a$ al vector $(x_{00},...,x_{n0})$ y $x$ al vector $(x_0,...,x_n)$. Haciendo uso de la notación multi-índice tenemos las siguientes igualdades:

$(x_0-x_{00})^{n_0} ... (x_n-x_{n0})^{n_n}=(x-a)^n$

$n_0!...n_n!=n!$

$\dst\frac{\partial^{n_0+...+n_n}f}{{\partial x}^{n_0}...{\partial x}^{n_n}}=\dst\frac{\partial^{|n|}f}{\partial x^{n}}=D^{n} f(a)$

$\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty=\dst\sum_{|n|\geqslant 0}$

Ahora sustituye todo esto en (2) y obtienes la fórmula de Taylor que escribí en el mensaje #2. Insisto en que no deja de ser una notación porque varias de las expresiones que he escrito no tienen sentido por sí solas. Así que en conclusión (1) y (2) son la misma fórmula solo que escritas de distintas formas.

[alexpglez]

Re: Función de taylor de varias variables

Sigo sin entender por qué es igual. Entiendo que la nomenclatura del superíndice es sólo nomenclatura.

[Weip]

Re: Función de taylor de varias variables

Sigo sin entender por qué es igual. Entiendo que la nomenclatura del superíndice es sólo nomenclatura.

Pues entonces solo queda sustituir en (2). Lo hago paso a paso. Sabemos que $(x_0-x_{00})^{n_0} ... (x_n-x_{n0})^{n_n}=(x-a)^n$ así que:

$<br /> f(x_0,x_1...x_n)=\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty \frac{(x_0-x_{00})^{n_0}...(x_n-x_{n0})^{n_n}}{n_0!...n_n!}\dst\frac{\partial^{n_0+...+n_n} f}{\partial x_0^{n_0} ... \partial x_n^{n_n}}=$$\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty\frac{(x-a)^{n}}{n_0!...n_n!}\dst\frac{\partial^{n_0+...+n_n} f}{\partial x_0^{n_0} ... \partial x_n^{n_n}}<br />$

Otra de las propiedades del multi-índice es $n_0!...n_n!=n!$:

$\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty\frac{(x-a)^{n}}{n_0!...n_n!}\dst\frac{\partial^{n_0+...+n_n} f}{\partial x_0^{n_0} ... \partial x_n^{n_n}}=<br />$$\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty\frac{(x-a)^{n}}{n!}\dst\frac{\partial^{n_0+...+n_n} f}{\partial x_0^{n_0} ... \partial x_n^{n_n}}<br />$

Siguiendo con lo que puse en el mensaje #8 tenemos que $\dst\frac{\partial^{n_0+...+n_n}f}{{\partial x}^{n_0}...{\partial x}^{n_n}}=\dst\frac{\partial^{|n|}f}{\partial x^{n}}=D^{n} f(a)$:

$\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty\frac{(x-a)^{n}}{n!}\dst\frac{\partial^{n_0+...+n_n} f}{\partial x_0^{n_0} ... \partial x_n^{n_n}}=<br />$$\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty\frac{(x-a)^{n}}{n!}D^{n} f(a)<br />$

Finalmente $\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty=\dst\sum_{|n|\geqslant 0}$:

$\dst\sum_{n_0=0}^\infty ... \dst\sum_{n_n=0}^\infty\frac{(x-a)^{n}}{n!}D^{n} f(a)=<br />$$\dst\sum_{|n|\geqslant 0}\dst\frac{(x-a)^{n}}{n!}D^{n} f(a)<br />$

Y ya está, es la forma más usual de la serie de Taylor . Si pones la serie sumando a sumando te queda (1). Esto último sí que no te lo puedo detallar más, es cuestión de concentrarte y entender cómo es cada término de la serie.

[alexpglez]

Re: Función de taylor de varias variables

Sigo sin ver la notación, ya que los números 1, 2, 3, etc. de la fórmula (1), no son índices ni vectores de índices, si no números naturales.

El problema, yo lo veo de tipo combinatoria, ya que la expresión (1), usa derivadas cruzadas, saliendo en la suma todas las posibilidades, mientras que en (2) salen las derivadas ordenadas en x^n1 y^n2.. etc. Es gracias a la propiedad de las derivadas cruzadas que se puede reescribir la suma para dar 1. La ventaja de (2) frente a (1), radica precisamente en que (2) tiene las derivadas ordenada de tal forma que aparezcan primero los términos de primer orden, segundo, tercero, etc. Es decir, mientras 1 ordena la sumatoria con respecto a las variables, 2 ordena con respecto al orden.

[Weip]

Re: Función de taylor de varias variables

Pues la verdad es que no me sé explicar mejor y no se me ocurre otra forma de decirlo. Este tipo de cosas son muy personales en el sentido de que solo tú sabes cómo has interiorizado las series así que no te puedo ayudar más. A ver si otro usuario puede arrojar luz al asunto.

[alexpglez]

Re: Función de taylor de varias variables

Pues la verdad es que no me sé explicar mejor y no se me ocurre otra forma de decirlo. Este tipo de cosas son muy personales en el sentido de que solo tú sabes cómo has interiorizado las series así que no te puedo ayudar más. A ver si otro usuario puede arrojar luz al asunto.

Quería comentarte que al final entendí la demostración, por dejar cerrada la discusión, dejo aquí la solución:

Inicialmente, calculaba Taylor haciendo una expansión variable a variable. Consideremos una función $f(x)=g(x,y) \in C^n(A\subset R)$, que tiene [TEX] n+1 [TEX] derivadas $\forall x \in (x_0+h,x_0) \subset A$, entonces [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] :

$$f(x_0+h)=\sum_{k=0}^n \frac{h^k f^{(k)}(x_0)}{k!}+\frac{h^{n+1} f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$$

$$g(x_0+h,y)=\sum_{k=0}^n \frac{h^k(x_0)}{k!}\frac{\partial^k g}{\partial x^k}(x_0,y)+\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}\frac{\partial^{n+1} g}{\partial x^{n+1}}(x_0,y)$$

Suponiendo condiciones parecidas para la familia de funciones $f^*(y)_k=\frac{\partial^k g}{\partial x^k}(x_0,y)$, podemos desarrollar otra vez por Taylor.
Pero esto no es útil pues si queremos aproximaciones de orden $n$ de nuestra función, tendríamos que ir eliminando términos y dejarlos en el resto... reordenando muchos términos.

Sin embargo fijémonos en que $f(x_0+h)=f(x_0+th)\vert_{t=1}=g(1)$, llamando $g(t)=f(x_0+th)$. Tenemos así un problema de una variable. Si imponemos que $f \in C^N(U\subset R^n)$ y que se puede diferenciar una vez más en $U$, entonces $g \in C^N(A \subset R)$ y existe la siguiente derivada en $A$.
Por una simple inducción llegamos a que:

$$g^{(k)}(0)=\sum_{i_1...i_k=1}^n \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1}...\partial x_{i_k}}(x_0)h_{i_1}...h_{i_k}$$

Y, con $0<t^*<1$ y $c=x_0+t^*h$:

$$g(1)=\sum_{k=0}^N \frac{g^{(k)}(0)}{k!}+\frac{g^{(N+1)}(t^*)}{(N+1)!}$$

$$f(x_0+h)=\sum_{k=0}^N \frac{1}{k!}\sum_{i_1...i_k=1}^n \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1}...\partial x_{i_k}}(x_0)h_{i_1}...h_{i_k}+R_{N,x_0,f}$$

Con:

$$R_{N,x_0,f}=\frac{1}{(N+1)!}\sum_{i_1...i_{N+1}=1}^n \frac{\partial^{N+1} f}{\partial x_{i_1}...\partial x_{i_{N+1}}}(c)h_{i_1}...h_{i_{N+1}}$$

Supongo que los superíndices de los que hablábamos hace unos meses serían para simplificar esta última fórmula.

Gracias y saludos