Divulgación pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

[inakigarber]

Buenas noches;
A vueltas con la ecuación de Born, quisiera entenderla pero no se muy bien como. Bien; veamos, la ecuación dice;
$QP-PQ=i\frac{h}{2\pi}$ (lo escribo así porque no encuentro el comando LATEX para hacerlo). Bien, Q y P no son valores numéricos sino matrices (conjuntos de valores) y el producto de matrices no es conmutativo, es decir $QP-PQ$ puede ser distinto de 0. ¿Podría transformarse de la siguiente manera?
$<QP-PQ>=<i\frac{h}{2\pi}I>$
$<QP-PQ>=i\frac{h}{2\pi}<I>$, como la esperanza matemática $<I>=1$. Entonces; $\boxed{<QP-PQ>=i\frac{h}{2\pi};<QP>-<PQ>=i\frac{h}{2\pi}}$
¿Seria esto cierto? o ¿es una tontería?
Y si es cierto, ¿Cómo podría esto expresarse en función de las medidas obtenidas por ejemplo en la medida de la posición representada por <Q> y el momento lineal <P> de un electrón por ejemplo? ¿Por qué algo tan aparentemente extraño es cierto?
Si alguien puede decirme algo, saludos y gracias.

[carroza]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Hola.

Las expresiones matemáticas que pones son correctas. Si quieres expresar hache barra pones hbar, $\hbar$.

Poner cosas que no conmutan puede parecer raro, la primera vez que lo ves. No obstante, no es tan raro, ni es la primera vez que lo ves.

Imaginate que consideras las operaciones siguientes:
1) Multiplicar por x
2) derivar con respecto a x: ${d \over dx}$

Es obvio que estas dos operaciones no conmutan. Si primero multiplicas algo por x, y luego lo derivas, el resultado es diferente a que si primero lo derivas, y luego lo multiplicas por x. En concreto,

${d \over dx} x f(x) = f(x) + x f'(x)$

$x {d \over dx} f(x) = x f'(x)$

combinando estas dos expresiones, tienes

$({d \over dx} x - x {d \over dx}) f(x) = f(x)$

Como esto se cumple para cualquier función f(x), puedes decir:

$({d \over dx} x - x {d \over dx}) = 1$.

Pues lo mismo tienes en cuántica.

Saludos

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Hola.

Las expresiones matemáticas que pones son correctas. Si quieres expresar hache barra pones hbar, $\hbar$.

Poner cosas que no conmutan puede parecer raro, la primera vez que lo ves. No obstante, no es tan raro, ni es la primera vez que lo ves.

Yo también creía que eran ciertas, pero prefería asegurarme. En cuanto a lo segundo, ya voy acostumbrándome a las magnitudes que no conmutan. Sigamos mas adelante. Dices;

Hola.
Imaginate que consideras las operaciones siguientes:
1) Multiplicar por x
2) derivar con respecto a x: ${d \over dx}$

Es obvio que estas dos operaciones no conmutan. Si primero multiplicas algo por x, y luego lo derivas, el resultado es diferente a que si primero lo derivas, y luego lo multiplicas por x. En concreto,

${d \over dx} x f(x) = f(x) + x f'(x)$

$x {d \over dx} f(x) = x f'(x)$

combinando estas dos expresiones, tienes

$({d \over dx} x - x {d \over dx}) f(x) = f(x)$

Como esto se cumple para cualquier función f(x), puedes decir:

$({d \over dx} x - x {d \over dx}) = 1$.

Pues lo mismo tienes en cuántica.

Saludos

Aquí me pierdo un poco. Supongamos una expresión (elegida al azar) $Y=5x+3$, la derivada $d(Yx)$ sería $Yx=5X^2+3,d(Yx)=10x+3$.
El producto $xdy=x*5=5x$, por tanto $d(xy)\neq x(dy)$. Por tanto ambas operaciones no conmutan, como ahora me resulta obvio. Ahora bien, si resto $d(xY)-xd(Y)=10x+3-5x=5x+3$ que resulta ser la expresión original. ¿sería este un buen ejemplo?
Saludos y gracias por la respuesta.

[Alriga]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Supongamos una expresión (elegida al azar) $Y=5x+3$, la derivada $d(Yx)$ sería $Yx=5X^2+3,d(Yx)=10x+3$.
El producto $xdy=x*5=5x$, por tanto $d(xy)\neq x(dy)$. Por tanto ambas operaciones no conmutan.

Iñaki, lo que te ha explicado carroza:

Imaginate que consideras las operaciones siguientes:
1) Multiplicar por x
2) derivar con respecto a x: ${d \over dx}$
Es obvio que estas dos operaciones no conmutan. Si primero multiplicas algo por x, y luego lo derivas, el resultado es diferente a que si primero lo derivas, y luego lo multiplicas por x.

Te está diciendo exactamente lo mismo que dices tú, que este ejemplo NO es conmutativo. No veo el problema.
Saludos

EDITADO. Ahora intuyo tu duda, si haces en tu ejemplo $Y=5x+3$ lo que te dice carroza aquí:

$({d \over dx} x - x {d \over dx}) = 1$

Obtienes $5x+3$ en vez de "1" Pero eso es porque el "1" de la expresión de carroza no es el número real 1, sino que ese "1" es el OPERADOR IDENTIDAD, es decir el operador que deja a la función original tal como estaba.

Iñaki, mi respuesta se ha iniciado a raíz de que en tu mensaje inicial de las 15:03:39 no salía este párrafo:

... como ahora me resulta obvio. Ahora bien, si resto $d(xY)-xd(Y)=10x+3-5x=5x+3$ que resulta ser la expresión original. ¿sería este un buen ejemplo?
Saludos y gracias por la respuesta.

[alexpglez]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

¿Cómo podría esto expresarse en función de las medidas obtenidas por ejemplo en la medida de la posición representada por <Q> y el momento lineal <P> de un electrón por ejemplo? ¿Por qué algo tan aparentemente extraño es cierto?

Q y P representan la matriz momento y la matriz posición. Y si, lo que escribes es correcto.
Quizás la pregunta que deberías plantearte es otra: ¿por qué aceptábamos sin ninguna objección que las partículas son puntuales y deterministas, y siguen reglas cómo $<xp>-<px>=0$?

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Q y P representan la matriz momento y la matriz posición. Y si, lo que escribes es correcto.
Quizás la pregunta que deberías plantearte es otra: ¿por qué aceptábamos sin ninguna objección que las partículas son puntuales y deterministas, y siguen reglas cómo $<xp>-<px>=0$?

Creo que esta es la cuestión principal del problema, que no veo la forma de como esto es posible (Que $<QP>\neq <PQ>$). No digo que no lo sea, sino que no logro entender porque lo es. Creo que este es uno de los principales escollos que causó la incomprensión de la física cuántica por parte de algunos físicos (Einstein por ejemplo). Esto es lo fundamental por entender.

[Alriga]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Creo que esta es la cuestión principal del problema, que no veo la forma de como esto es posible (Que $<QP>\neq <PQ>$). No digo que no lo sea, sino que no logro entender porque lo es

Es que no se si hay algo que entender... Posiblemente la respuesta sea que el mundo es así. Hay muchas parejas de operaciones que no conmutan y que no nos preguntamos por qué.
Aquí hay un ejemplo, (rotando libros), interesante. (Todo el artículo es interesante, échale una mirada)

Prohibido conmutar I

Saludos.

[carroza]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Creo que esta es la cuestión principal del problema, que no veo la forma de como esto es posible (Que $<QP>\neq <PQ>$). No digo que no lo sea, sino que no logro entender porque lo es.

Hola. Una cuestión previa ¿Entiendes qué significa $<Q>$?

Pista: $<X> = \int \phi^*(x) x \phi(x) dx$.

Saludos

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Hola. Una cuestión previa ¿Entiendes qué significa $<Q>$?

Pista: $<X> = \int \phi^*(x) x \phi(x) dx$.

Saludos

Entiendo que <Q> representa una matriz cuyos autovalores son las distintas posiciones en las que puede encontrarse un objeto (por ejemplo un electrón). Si un electrón se encuentra encerrado en un pozo de potencial infinito de longitud X respecto al origen 0, los autovalores de <Q> representarían (si no me equivoco) las distintas posiciones posibles entre 0 y X en las que podríamos encontrar al electrón. Según la física clásica podría estar en cualquier posición independientemente de su velocidad (cualquier autovalor tendría el mismo numero de posibilidades de aparecer que el resto), según la mecánica cuántica (al menos según la ecuación de De Broglie) no. Ciertos autovalores se repetirían con mas frecuencia (serían más probables) y otros no.
Voy bien, o ¿me estoy equivocando de nuevo?
Saludos y gracias.

[sater]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Tu describes a la matriz posición. En mecánica cuántica se asocian las magnitudes medibles a operadores, llamados observables, que son lineales y hermíticos (y su conjunto de autovectores forman base del espacio de estados, no te preocupes de esto último). Carroza te está preguntando por lo que tu has escrito durante el hilo, que es el valor esperado (que es un concepto que se usa en probabilidad) del operador, no el operador (la matriz) en sí.

[alexpglez]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Creo que esta es la cuestión principal del problema, que no veo la forma de como esto es posible (Que $<QP>\neq <PQ>$). No digo que no lo sea, sino que no logro entender porque lo es. Creo que este es uno de los principales escollos que causó la incomprensión de la física cuántica por parte de algunos físicos (Einstein por ejemplo). Esto es lo fundamental por entender.

Me refería a que te planteases la pregunta a la inversa, y lo pregunto en general para los demás si quieren planteárselo.
¿Por qué crees que necesariamente $<xp>-<px>=0$, por qué crees que podemos describir el movimiento cómo $F=ma$?


Por cierto, imagino que todavía no has llegado a la mecánica ondulatoria no¿? Lo digo porque Carroza parece que cree que sabes y por tanto escribe esas integrales que supongo que no entiendes. Sólo decir que la mecánica ondulatoria trabaja con espectros contínuos, quiero decir, en mecánica matricial, por ejemplo la matriz momento (imagina diagonalizada), tiene autovalores $P_{1,1} \;\;\;\; P_{2,2} \;\;\;\; P_{3,3}$, etc. pero ¿y $P_{1.5,1.5}$?, matricialmente no tiene ningun sentido, pero en un principio hasta que el problema lo marque, el espectro que puede tomar valores continuos, todos los reales. Por tanto si queremos llevar al proceso al espectro continuo, hay que cambiar los vectores de estado por funciones (de onda) y las matrices por operadores diferenciales.
Históricamente, ya que la luz parecía tener propiedad ondulatoria y corpuscular, ¿ppor qué no todo el tipo de materia, qué lo impide? De ahí que De Broglie propusiera la dualidad onda-partícula y que $p=\frac{h}{\lambda} \;\;\;\; E=h\nu$ fuesen válidas para todas las partículas, y así Schrödinger pudo derivar los operadores momento, energía y posición, ecuación de onda y predecía la ecuación de Born. Después llegó la interpretación de probabilidad y científicos como Einstein o el mismo Schrödinger se opusieron.

Para exponer esto de manera más detallada quizá sería mejor abrir otro hilo. Sólo tenía intención de ilustrarte, por si no te has mirado la mecánica ondulatoria, el por qué Carroza escribe esas fórmulas.

Saludos.

[carroza]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Entiendo que <Q> representa una matriz cuyos autovalores son las distintas posiciones en las que puede encontrarse un objeto (por ejemplo un electrón).

No. Q es un operador, que en ciertos casos puedes representar mediante una matriz. <Q> es un numero, que se obtiene haciendo el valor esperado del operador Q en un cierto estado $|\phi>$.

Si expresas el operador Q en una base de un espacio vectorial determinado, de ciertos estados $|i>$, el operador Q viene descrito por una matriz $Q_{ij}$. En la misma base, el estado $|\phi>$ se puede expresar como $\sum_i c_i |i>$. En ese caso, el valor esperado del operador Q en el estado $|\phi>$ viene dado por

$<Q> = \sum_{ij} c_i^* Q_{ij} c_j$

En otros casos, el operador Q lo puedes representar por un operador diferencial (una combinación arbitraria de potencias de x y derivadas, $Q(x, d/dx)$). En ese caso, el estado $|\phi>$ lo representas por la función de onda normalizada $\phi(x)$, y el valor esperado resulta

$<Q> = \int \phi^*(x) Q(x, d/dx) \phi(x)$

Saludos

[alexpglez]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Por cierto, por las respuestas de Carroza, y Sater, creo que no estáis entendiendo lo que pregunta, (o quizá no lo estoy entendiendo yo). No pregunta lo que significa matemáticamente, si no el por qué el resultado es tan extraño, cuando habitualmente podemos medir las posiciones y momentos de los objetos, es decir, parece que la ecuación está mal, puedo lanzar un dardo a la diana con la velocidad inicial que quiera desde la posición inicial que quiera...

[inakigarber]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

No. Q es un operador, que en ciertos casos puedes representar mediante una matriz. <Q> es un numero, que se obtiene haciendo el valor esperado del operador Q en un cierto estado $|\phi>$.

Si expresas el operador Q en una base de un espacio vectorial determinado, de ciertos estados $|i>$, el operador Q viene descrito por una matriz $Q_{ij}$. En la misma base, el estado $|\phi>$ se puede expresar como $\sum_i c_i |i>$. En ese caso, el valor esperado del operador Q en el estado $|\phi>$ viene dado por

$<Q> = \sum_{ij} c_i^* Q_{ij} c_j$

En otros casos, el operador Q lo puedes representar por un operador diferencial (una combinación arbitraria de potencias de x y derivadas, $Q(x, d/dx)$). En ese caso, el estado $|\phi>$ lo representas por la función de onda normalizada $\phi(x)$, y el valor esperado resulta

$<Q> = \int \phi^*(x) Q(x, d/dx) \phi(x)$

Saludos

Creo que me he expresado mal en mi anterior post.A ver si ahora estoy mas acertado. Donde escribia <Q> y <P> debiera haber escrito Q y P. Q y P representan matrices cuyos autovalores representan las medidas de posición (Q) y de momento (P) ¿Es así? El producto de dos matrices no es conmutativo (por mucho que me empeñe en lo contrario) en tanto que <Q> y <P> representan valores numéricos (si no estoy equivocado representarían las medias aritméticas de los autovalores respectivos de Q y P). En este segundo caso el producto <Q><P> sí es conmutativo. Volviendo al ejemplo anterior si tuviera un electrón encerrado en un pozo de potencial infinito de tamaño muy pequeño . Tendría una pequeña desviación standard respecto a la medida de la posición (una gran certidumbre en cuanto a su posición) y los autovalores de la matriz Q serían todos muy parecidos. ¿es esto así?
Saludos.

[carroza]

Re: pregunta sobre la ecuación de Born y su extraño significado

Creo que me he expresado mal en mi anterior post.A ver si ahora estoy mas acertado. Donde escribia <Q> y <P> debiera haber escrito Q y P. Q y P representan matrices cuyos autovalores representan las medidas de posición (Q) y de momento (P) ¿Es así? El producto de dos matrices no es conmutativo (por mucho que me empeñe en lo contrario) en tanto que <Q> y <P> representan valores numéricos (si no estoy equivocado representarían las medias aritméticas de los autovalores respectivos de Q y P). En este segundo caso el producto <Q><P> sí es conmutativo. Volviendo al ejemplo anterior si tuviera un electrón encerrado en un pozo de potencial infinito de tamaño muy pequeño . Tendría una pequeña desviación standard respecto a la medida de la posición (una gran certidumbre en cuanto a su posición) y los autovalores de la matriz Q serían todos muy parecidos. ¿es esto así?
Saludos.

Ok, salvo una cosa importante:

<Q> no es la media aritmética de los autovalores de Q. En todo caso, lo podemos ver como una media ponderada de los autovalores de Q, pesada con la probabilidad de que el estado $|\phi>$ esté en el autoestado correspondiente de Q. Particularizando la formula general de <Q>, para una base de autoestados de Q, tienes:

$<Q> = \sum_i |c_i|^2 Q_i$

La notación <Q> puede ser engañosa en este caso. Realmente, uno se refiere al valor esperado $<\phi|Q|\phi>$, que depende del estado concreto $|\phi>$ que querramos considerar.

Incluso en el caso del electrón encerrado en un pozo infinito muy estrecho, no hay un único estado. Hay infinitos estados, para cada uno de los cuales Q y P tienen sus correspondientes valores esperados y desviaciones estandar. En todos ellos, como mencionas, la desviación estándar de Q es muy pequeña, pero la de P es muy grande, y se cumple el principio de incertidumbre.

Saludos