1r ciclo Coordenadas normales.

[alar]

Necesito resolver un ejercicio de osciladores acoplados y me piden usar coordenadas normales, el caso es que no sé que cómo se usan o como "meterlas" (o directamente no sé lo que son). Me gustaría que me dijerais qué son, un ejemplo o algo esclarecedor, no he sido capaz de encontrar nada útil en internet y tampoco he encontrada nada en los libros que he mirado.

Lo único que tengo en los apuntes es: "que en un sistema de osciladores acoplados pueden definirse unas coordenadas tales que cada una depende de un modo de sólo un modo de oscilación" y "que en un sistema de dos osciladores acoplados con k y m iguales las coordenadas normales son $x_{1}+x_{2},x_{1}-x_{2}$ o cualquier múltiplo de ellas".

El ejercicio en cuestión:

Escribid la energía total de dos osciladores acoplado idénticos, en coordenadas x1, x2, y luego en coordenadas normales.Mostrad que en este segundo caso la conservación de la energía nos da directamente las frecuencias normales de vibración

Lo que he hecho es únicamente tener la energía total, pero luego no sé como seguir, porque si definino una coordenada como $x_{2}-x_{1}$, no me libro de los x1,x2 y sus derivadas en la otra parte de la energía.

$E=\frac{1}{2}m \dot{x_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m \dot{x_{1}}^{2}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}+\frac{1}{2}kx_{2}^{2}+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2}$


Gracias.

[arivasm]

Re: Coordenadas normales.

Por la expresión que has puesto para la energía, lo tienes resuelto (al menos parcialmente) aquí: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/os...acoplados.html

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Por cierto, una vez que sabes que las coordenadas normales son $y_a=x_1+x_2$ e $y_b=x_1-x_2$, basta con que hagas la substitución $x_1=(y_a+y_b)/2$, $x_2=(y_a-y_b)/2$ en la expresión de la energía

[alar]

Re: Coordenadas normales.

Por la expresión que has puesto para la energía, lo tienes resuelto (al menos parcialmente) aquí: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/os...acoplados.html

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Por cierto, una vez que sabes que las coordenadas normales son $y_a=x_1+x_2$ e $y_b=x_1-x_2$, basta con que hagas la substitución $x_1=(y_a+y_b)/2$, $x_2=(y_a-y_b)/2$ en la expresión de la energía

$E=\frac{1}{2}m \dot{x_{1}}^{2}+\frac{1}{2}m \dot{x_{1}}^{2}+\frac{1}{2}kx_{1}^{2}+\frac{1}{2}kx_{2}^{2}+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2}$

Usando las expresiones que me has dado llego a:

$E=\frac{1}{2}m\dot{y_{a}}^{2}+\frac{1}{2}m\dot{y_{b}}^{2}+\frac{1}{2}k{y_{a}}^{2}+\frac{3}{2}k{y_{b}}^{2}$
Como la energía se conserva
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Las soluciones serán del tipo $y=Acos(\omega t)$

Y me queda esta ecuación:

$A\omega y_{a}(k-m\omega^{2})+B\omega y_{b}(3k-m\omega^{2})=0$

Donde A, B son constantes, ahora mi problema es que si impongo primero que A=0 tengo que $\omega^{2}=\frac{3k}{m}$ y si B=0 $\omega^{2}=\frac{k}{m}$, pero en las dos me sale como solución $\omega^{2}=0$, las dos primeras son las frecuencias normales de vibración, pero me sale "sobra" $\omega^{2}=0$, no sé porque sale, ni si el procedimiento está bien(supongo que algo bien está porque me da los resultados). ¿La última solución sobra sin más y ha salido porque he derivado o tiene algún significado?¿tengo algún fallo?

[alexpglez]

Re: Coordenadas normales.

Donde A, B son constantes, ahora mi problema es que si impongo primero que A=0 tengo que $\omega^{2}=\frac{3k}{m}$ y si B=0 $\omega^{2}=\frac{k}{m}$, pero en las dos me sale como solución $\omega^{2}=0$, las dos primeras son las frecuencias normales de vibración, pero me sale "sobra" $\omega^{2}=0$, no sé porque sale, ni si el procedimiento está bien(supongo que algo bien está porque me da los resultados). ¿La última solución sobra sin más y ha salido porque he derivado o tiene algún significado?¿tengo algún fallo?

Tiene el significado físico de que el oscilador acoplado se desplaza libremente por el espacio. $w^2=0 \;\;\; \ddot x + w^2 x=0 \;\;\;\; \ddot x=0 \;\;\;\; x=a+bt$
De todas formas, no estoy seguro de tus cálculos. Nunca lo he visto por este método.
Saludos.

[arivasm]

Re: Coordenadas normales.

Usando las expresiones que me has dado llego a:

$E=\frac{1}{2}m\dot{y_{a}}^{2}+\frac{1}{2}m\dot{y_{b}}^{2}+\frac{1}{2}k{y_{a}}^{2}+\frac{3}{2}k{y_{b}}^{2}$

Fíjate que la energía del sistema puede expresarse como $E=E_a(y_a,\dot y_a)+E_b(y_b,\dot y_b)$, donde cada sumando se corresponde con un modo de vibración. Has derivado mal respecto del tiempo, las ecuación resultante es $m\ddot y_a+ky_a+m\ddot y_b+3k y_b=0$. La frecuencia angular del primer modo de vibración es $\dst\omega_a=\sqrt{\frac{k}{m}}$, mientras que la del segundo es $\dst\omega_b=\sqrt{\frac{3k}{m}}$, que es el objetivo del ejercicio.

Cada modo normal poseerá como ecuación una de la forma $y_i=A_i\cos(\omega_i t +\varphi_i)$. Cualquier combinación lineal de ambas será a su vez solución de la ecuación de movimiento del sistema. Como es de esperar, en el sistema habrá cuatro parámetros que vendrán determinados por las condiciones iniciales: las posiciones y velocidades iniciales de ambas masas, y que se traducen en las amplitudes $A_i$ y fases iniciales $\varphi_i$ de los modos normales.

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Por cierto, en tu primer post preguntabas qué son las coordenadas normales. Como ves son transformaciones de las coordenadas que permiten representar el sistema a través de un conjunto de osciladores independientes. Échale un vistazo a cómo se maneja este ejemplo a partir de las ecuaciones de movimiento de ambas masas: https://es.wikipedia.org/wiki/Modo_normal

[alar]

Re: Coordenadas normales.

Fíjate que la energía del sistema puede expresarse como $E=E_a(y_a,\dot y_a)+E_b(y_b,\dot y_b)$, donde cada sumando se corresponde con un modo de vibración. Has derivado mal respecto del tiempo, las ecuación resultante es $m\ddot y_a+ky_a+m\ddot y_b+3k y_b=0$.

Muchas gracias, ya lo veo todo más claro, mientras iba haciendo el ejercicio ya veía por donde iba esto de las coordenadas normales.
Ahora a lo mejor estoy un poco espeso, pero no veo donde he derivado mal.

Tenemos las posición como función del tiempo, y esta está elevada al cuadrado $f(t)^{2}$ la derivada respecto el tiempo $\frac{\mathrm{d} f(t)^{2}}{\mathrm{d} t}=2f(t) f'(t)$ y lo mismo con la velocidad.

[alexpglez]

Re: Coordenadas normales.

Muchas gracias, ya lo veo todo más claro, mientras iba haciendo el ejercicio ya veía por donde iba esto de las coordenadas normales.
Ahora a lo mejor estoy un poco espeso, pero no veo donde he derivado mal.

Tenemos las posición como función del tiempo, y esta está elevada al cuadrado $f(t)^{2}$ la derivada respecto el tiempo $\frac{\mathrm{d} f(t)^{2}}{\mathrm{d} t}=2f(t) f'(t)$ y lo mismo con la velocidad.

Si, lo tienes bien derivado, Arivasm se debe guiar por las soluciones que aparecen.. Aunque no sé como atajarlo por la conservación de la energía

- - - Actualizado - - -

Tenemos, agrupando los factores: $\dot y_a(m\ddot y_a+ ky_a)+\dot y_b(m \ddot y_b + ky_b)=0$.
Una solución se cumple si cada sumando vale 0, $m \ddot y_a + ky_a=0$. Y por argumentos físicos, como que las coordenadas son independientes, se puede descartas la solución $\dot y_a(m\ddot y_a+ ky_a)=-\dot y_b(m \ddot y_b + ky_b)$

Pero creo que por este método no se puede hallar la solución general, date cuenta que es un sistema de 1 ecuación con 2 funciones dependientes del mismo parámetro, y comparando con el álgebra de ecuaciones algebraicas, ¿habría infinitas soluciones?.

Así que, se puede entender algo así: por la conservación de la energía podemos observar que una solución particular, haciendo cada sumando 0, es que se cumpla la ecuación... pero la solución general no se puede encontrar por este método, aunque por razonamientos físicos entendemos que la solución particular anterior, debe ser la única.

[arivasm]

Re: Coordenadas normales.

Ahora a lo mejor estoy un poco espeso, pero no veo donde he derivado mal.

Por lo que veo, después de mi post has editado el mensaje y reemplazado las m por k.

Si, lo tienes bien derivado, Arivasm se debe guiar por las soluciones que aparecen.. Aunque no sé como atajarlo por la conservación de la energía

El atajo, por supuesto, parte de saber que al emplear coordenadas normales, las ecuaciones de movimiento se desacoplan, de manera que la energía es la suma de las energías de osciladores independientes.