Avanzado Ondas de probabilidad clásicas

Sabemos que en mecánica cuántica la ecuación de Schrödinger establece la probabilidad de encontrar una partícula que se mueve en el seno de un campo potencial en una determinada región del espacio, ahora bien, olvidémonos por un momento de la mecánica cuántica y tratemos de averiguar cual sería, según la mecánica clásica, esa misma probabilidad. Es decir una partícula sometida a un campo potencial se moverá de acuerdo a una cierta ley y será más fácil encontrarla en unos puntos que en otros y eso debería generar a su vez una distribución espacial de probabilidad. ¿Alguien sabe como podemos calcularla? ¿Cual es la ecuación que debe regir esa distribución?

Salu2, Jabato.

[guibix]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Buenas Jabato.

No sé muy bien si entiendo lo que preguntas pero la probabilidad cuántica y clásica no tienen mucho en común. En el enfoque clásico, los sistemas están perfectamente determinados y su indeterminación solo depende de la información que no tenemos del sistema. Por lo tanto, la distribución de probabilidad de encontrar una partícula en el espacio, tiende a una delta de Dirac cuando la precisión de las medidas tiende a infinito.

Sí que podemos crear funciones de distribución bonitas cuando tenemos precisión limitada o desconocemos detalles del sistema. Seguro que muchos astrónomos hacen distribuciones de probabilidad al calcular la posición futura de los cuerpos celestes (imagina la importancia de esto en, por ejemplo, el estudio de asteroides potencialmente peligrosos para la Tierra).

Por otra parte podemos tener solo una parte de la información, como por ejemplo que solo sabemos la energía del sistema, o el momento angular, o la posición en un momento dado, entonces también tendríamos funciones de distribución de probabilidad de encontrar la partícula en cada posición posible.

Aún así, de todo esto no creo que salgan funciones de onda de probabilidad. Lo único que se me ocurre que puede tener algo de ondas (volviendo al caso de la gravedad) es en la formación de sistemas planetarios. Debido a los distintos períodos de cada órbita, un disco de gas y polvo alrededor de una proto-estrella colapsará en planetas con órbitas que tienen cierta resonancia entre ellas. O sea que existe un proceso de interferencia entre el material del disco que determina las órbitas de los futuros planetas. Quizás exista una especie de función de onda para un disco proto-planetario dado que nos sirva de distribución de la probabilidad para formación de planetas en cada órbita. Y muy seguramente tendría regiones con interferencias constructivas con alta probabilidad de encontrar futuros planetas y destructivas con alta probabilidad de encontrar vacío.

En fin, creo que tu duda no iba por aquí pero esto es lo único que se me ocurre aportar por ahora.

¡Salud!

[visitante20160513]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Bueno, en general la duda no iba por ahí, sino más bien por tratar de buscar una función de onda que satisfaga las mismas reglas que se supone satisfacen las soluciones de la ecuación de Schrödinger, pero sin tener en cuenta la cuantificación, es decir suponer que la energía de una partícula es constante y está moviéndose en un campo de fuerzas potencial, y tratar de buscar la probabilidad de que la partícula se encuentre en un determinado lugar. La idea es tratar de encontrar paralelismos y diferencias entre una y otra ecuación si es que fuéramos capaces de encontrar la segunda. Es decir suponiendo que la energía mecánica de una partícula moviendose en un campo potencial es constante, y que por lo tanto debe cumplirse la:

$\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+U(x,y,z)=W$

En concreto el caso del potencial newtoniano, tipo el potencial gravitatorio:

$U(x,y,z)=-\displaystyle\frac{k}{r}$

sería la forma en que mejor se mostraría mi idea, aunque si fuera posible encontrar una solución más general, para cualquier tipo de potencial, pues mejor que mejor. Admitiendo dicha condición la partícula podrá moverse en una determinada región del espacio pero no podrá ocupar cualquier punto y será más probable encontrarla en unos puntos que en otros, ya que se encuentra atrapada en un pozo de potencial. Por lo tanto debe existir una distribución de probabilidad en dicha región, lo que yo busco son ideas para tratar de encontrarla.

Salu2, Jabato.

[Mossy]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Recuerdo un ejercicio que habíamos hecho en Mecánica Clásica I, que se trataba de obtener la densidad de probabilidad de encontrar a un oscilador armónico en una posición $x$. Jugando con la función se obtenía que era más probable encontrarlo en los extremos, pues su velocidad era nula en estos puntos.

No sé si andas buscando algo así, si es así te lo busco.

[visitante20160513]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Bueno, sí, esa es una idea que tiene relación con mi planteamiento, la probabilidad debería ser función de la velocidad ya que la partícula debería encontrarse más fácilmente en aquellos puntos en que su energía cinética sea menor, aunque obtener la densidad de probabilidad en el caso que yo planteo aquí, de una distribución tridimensional, no parece tan fácil.

[Julián]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Existe una función de distribución de probabilidad, por ejemplo la distribución de boltzman para partículas gaseosas. La posición de una partícula en un campo gravitatorio.

En todo caso puedes seguir la teoría de la información para formular lo que quieres. Siempre que halla un proceso estocástico y no determinista. Como la velocidad inicial de electrónes en un acelerador de partículas, o la velocidad inicial de salida de un proyectil. Si es conocido dicho valor, pues se aplica la mecánica clásica pero si no es conocido debes conocer su distribución.

Que es una distribución de probabilidad? una función, tal que $f(t)<1$ para todo t y ${\int}_{D} f(t) dt =1$. Simplemente trabaja con esta función. Si quieres utilizar el principio de superposición debes encontrar funciones ortonormales tal que su suma en función de cada uno de sus escalares den las diferentes f(t). Esto constituirá un espacio.

Con respecto a las ondas, la función de onda de Schrodinger no es una función de distribución probabilística y si el cuadrado del módulo. El concepto de onda es algo totalmente diferente y implica la solución de la ecuación de schrodinger o más general la solución de la ecuación de onda.

Aún así, toda función tiene una representación en serie de fourrier o transformada en el caso de funciones no periódicas, de manera tal que desde el punto de vista matemático es una combinación lineal de funciones de onda. Pero esas funciones de ondas tienen como módulo el mismo módulo de la función que representan en su sumatoria y si dicho módulo no es probabilidad, pues no serán ondas de probabilidades.

[alexpglez]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Inicié yo un hilo en su momento. Pero no llegué a profundizar demasiado, no te puede decir más, pero estaré pendiente del hilo.
http://forum.lawebdefisica.com/threa...ica-newtoniana

Saludos.

[visitante20160513]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Una visión general de los posibles movimientos de una partícula sometida a un campo de fuerzas se puede visualizar si consideramos fijos algunos de los parámetros del movimiento, por ejemplo si consideramos que la energía total de la partícula es constante entonces el número de trayectorias que pasan por un punto coincide con el numero de direcciones que puede adoptar el vector velocidad, ya que su módulo está definido por la conservación de la energía, eso nos debe conducir a un paquete de soluciones. Pero si además de considerar la energía constante consideramos alguna nueva condición, por ejemplo fijar el momento angular, entonces el número de soluciones disminuye. Mientras más condiciones impongamos a las órbitas menor número de órbitas posibles tendremos, y la probabilidad debe modificarse, aunque la diferencia con la mecánica cuántica estriba en que los valores posibles de la energía y del momento en principio no están cuantificados, es decir que pueden tomar cualquier valor dentro de ciertos límites. Mientras más delimitemos las condiciones menor número de órbitas posibles habrá. Podemos llegar a establecer las condiciones para que la órbita sea única pero eso tan solo es una caso especial.

Salu2, Jabato.

[Julián]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

No, la restricción de parámetros implica el desarrollo de coordenadas generalizas. En física clásica la trayectoria de la partícula siempre será determinista y depende exclusivamente del langrangiano dando la trayectoria de mínima acción.
El anexo de variables estadísticas implica incerteza en un evento, parámetro. Y esa incerteza surge de procesos estocásticos exclusivamente.

Tirar un dado es probabilístico? depende, si conoces el punto de aplicación de la fuerza, el módulo de la fuerza sobre el dado y la localización de las caras , conocerás la trayectoria y que valor saldrá. Generalmente esto no se conoce (ya que no tendría sentido el juego) y se usa probabilidad. En cambio en cuántica nunca podrás conocer todos los parámetros exactamente, por naturaleza. Es decir, si el dado fuera cuántico, si conocieras la localización de las caras eso tiene consecuencias en que desconoces la aplicación de la fuerza y queda indudablemente el numero que saldrá indeterminado con certeza.

Por lo tanto hay una relación entre la probabilidad de un estado y el estado propio, que es el cuadrado del módulo del estado. La verdad que no me acuerdo cual es la demostración que la sumatoria de todos estos cuadrados de los módulos que representan una función den uno. A ver si alguien me lo puede hacer acordar, es decir, si:

$\dst \Phi (x) = {\sum}_{i} {\Phi}_{i} {e}^{i k x}$

cual era la demostración que ${\left\vert{} {\Phi}_{i} \right\vert{}}^{2}<0$ y ${\sum}_{i}{\left\vert{} {\Phi}_{i} \right\vert{}}^{2}=1$

Es decir ¿por qué para cada cuadrado del módulo del un estado es menor a uno? sino tendría que volver a ver los apuntes.

[Richard R Richard]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

${\left\vert{} {\Phi}_{i} \right\vert{}}^{2}<0$

supongo que es un pequeño error de tipeo y debe ser


$0<{\left\vert{} {\Phi}_{i} \right\vert{}}^{2}<1$

aunque la demostración no la se, el tema si me interesa

[visitante20160513]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Bueno, no se si es que no me he explicado bien, mi punto es solo matemático, no tiene nada que ver con el determinismo. Es simplemente buscar la función que da la distribución de probabilidad una vez se han fijado algunos parámetros de su movimiento, como por ejemplo su energía, su momento angular, etc.

Intentaré explicarlo con más detalle, si yo fijo la energía mecánica de la partícula, el número de trayectorias posibles será uno dado, y la distribución de probabilidad se corresponderá con el número de estados posibles, pero si yo fijo además el momento angular, el número de trayectorias posibles disminuirá y la distribución cambiará en función del numero de estados posibles. La idea es obtener esa función de densidad. El problema es independiente del comportamiento determinista del sistema, lo que busco es una función matemática que necesariamente debe existir. El problema es como calcularla.

Salu2, Jabato.

[carroza]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Hola.

La ecuacion que rige cómo evolucionan las distribuciones de probabilidad clásicas es la ecuación de Liuville: https://en.wikipedia.org/wiki/Liouvi..._(Hamiltonian).

Incidentalmente, esta ecuación, expresada en términos de los corchetes de poisson
$<br /> {\partial \rho \over \partial t } = \{H ,\rho \}<br />$

es muy parecida a la ecuación que determina la evolución del operador densidad cuántico.

$<br /> {\partial \rho \over \partial t } = {1\over i \hbar} [H, \rho]<br />$
Un saludo

[alexpglez]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Y a partir de la función $p$, como calculo la media aritmética de cada variable física, por ejemplo.

[carroza]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Hola.
$\rho$ (la letra griega rho, no p), es una función de distribución de las coordenadas y momentos, y posiblemente del tiempo. Para una dimensión, $\rho(x, p, t)$.

Está normalizada a 1, para cada instante de tiempo:

$\int dx \int dp \quad \rho(x,p,t) = 1$

El valor medio de la coordenada x es

$<x(t)> =\int dx \int dp \quad x \quad \rho(x,p,t)$


Saludos

[alexpglez]

Re: Ondas de probabilidad clásicas

Ahora tengo otra duda, cómo se determina $\rho(x,p,t)$¿?. Quiero decir, tiene que cumplir tal ecuación de continuidad que indicas, pero cómo se pueden determinar las condiciones que la determinan¿?

Gracias, saludos.