1r ciclo Ejercicio sobre tren de Poleas, Trabajo y Energía

[bruno_uy]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

La figura muestra un tren de poleas diseñado para facilitar el levantamiento de una carga L, observa que la carga efectivamente puede levantarse cuando se levantan las poleas 3 y 4).
Supongamos que el rozamiento puede ser despreciado y que las poleas a las cuales está unida la carga (poleas 3 y 4) pesan un total de $P_p$.
La carga de peso $P_L$ va a ser elevada una altura h.

(a) Si no estuvieran las poleas, ¿qué trabajo debe efectuarse contra la gravedad si se desea levantar una carga de peso ([tex]P_p+P_L) una altura $h$?

(b) Pero las poleas están. ¿Cuál es la fuerza mínima F que puede levantar la carga (y las poleas que la acompañan)? Haz un diagrama señalando las fuerzas que ejerce la cuerda sobre las poleas 3 y 4.

(c) ¿A través de qué distancia debe aplicarse F para levantar la carga (y las poleas que la acompañan) una altura h?


Planteo lo siguiente:
$m_{p_3} + m_{p_4} + m_L = (P_p + P_L)/g = m_t$ = masa total a levatar

(a) Calculo el trabajo hecho por la gravedad

Sea $\vec{P}_{t} = \vec{P}_p + \vec{P}_L$

$W^h_{P_t} = \displaystyle\int_{0}^{h} \vec{P}_t .\vec{d}y = \vec{P}_t . \vec{d}_y = -P_{t}h = -m_{t}gh$

Entonces ¿el trabajo que debo efectuar contra la gravedad se refiere a el opuesta que realiza el peso total?
$W_F = P_{t}h$ siendo F la fuerza que ejerzo para levantar la carga total.

(b) Haciendo un diagrama de cuerpo libre que lo hago usando como punto de aplicación la polea 3 (no sé si es correcto esto) ya que considero que es donde se ejerce la fuerza para levantar la carga total, me resulta la siguiente ecuación de movimiento:

$3T - P_t = m_{t}a$

Entonces veo deduzco que para que se levante la carga debe cumplirse que: $3T > P_t$ o sea: $F_{min} = P_{t}/3$

(c) Esta parte no veo como resolverla, hasta ahora no he usando nada de Energía, y estoy en un práctico de ejercicios correspondiente a trabajo y energía..
Considero el cero de energía potencial en el suelo.

Observo que la fuerza $F = P_{t}/3 = m_{t}g/3$ debe realizar un trabajo para generar la energía potencial que la carga tendrá cuando este a esa altura h. Es correcto esto?
O sea debe realizar un trabajo igual a: $W_F = m_{t}gh$

Entonces
$W_F = m_{t}gh = Fh$ por definición de trabajo en una dimensión

He intentado continuar esto pero no me da ningún resultado razonable.

Agradezco cualquier sugerencia.
Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio sobre tren de Poleas, Trabajo y Energía

(b) Haciendo un diagrama de cuerpo libre que lo hago usando como punto de aplicación la polea 3 (no sé si es correcto esto) ya que considero que es donde se ejerce la fuerza para levantar la carga total, me resulta la siguiente ecuación de movimiento:

$3T - P_t = m_{t}a$



Entonces veo deduzco que para que se levante la carga debe cumplirse que: $3T > P_t$ o sea: $F_{min} = P_{t}/3$

creo que estas calculando mal la fuerza para mi es

$4T - P_t= m_{t}a$

la fuerza mínima la tendrás cuando la aceleración a sea nula osea $T-F=0$ entonces $F=\dfrac{P_t}{4}$

He intentado continuar esto pero no me da ningún resultado razonable.

si la masa L se eleva una unidad , el extremo de la soga donde se aplica F debe descender 4 unidades, porque

$W=\int_0^{4h} F dh=\dfrac{m_tg}{4}4h=m_tgh$

es decir haces el mismo trabajo con una menor fuerza.

[bruno_uy]

Re: Ejercicio sobre tren de Poleas, Trabajo y Energía

Gracias por responder.
Me cuesta plantear la 2da ley de newton para llegar al resultado correcto que indicaste, debo plantear las ecuaciones de movimiento de cada polea por separado o la 3 y 4 junto con M la considero como un sistema solo? Tengo dudas con eso, para llegar analíticamente al valor e F.

Respecto a la parte (c) F realiza menos trabajo pero a coste que un mayor desplazamiento en comparanción con la altura que levanta la carga?
Y para hallar cuanto se debe desplazar F, a qué tengo que igualar el trabajo hecho por F?

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio sobre tren de Poleas, Trabajo y Energía

Gracias por responder.
Me cuesta plantear la 2da ley de newton para llegar al resultado correcto que indicaste, debo plantear las ecuaciones de movimiento de cada polea por separado o la 3 y 4 junto con M la considero como un sistema solo? Tengo dudas con eso, para llegar analíticamente al valor e F.

Ok. vamos por partes. hay un sistema de poleas fijo y otro móvil, cada uno de estos sistema tiene su movimiento con respecto a un sistema de referencia.
Las poleas 1 y 2 están fijas y no tienen velocidad ni aceleración con respecto al sistema de referencia, pero si las tiene el sistema compuesto por las poleas 3 y 4 y la carga L.

Si dibujas el diagrama de cuerpo libre de este sistema veras que son 4 las tensiones que tiran hacia arriba y 3 pesos que van hacia abajo. (puedes considerar estos tres como un único peso que es la suma de los pesos de las poleas y la carga L)

En el equilibrio suponemos que no hay aceleración de la carga L, por lo que al aplicar la segunda ley de Newton la sumatoria de fuerzas es nula ,es decir

$$\dst \sum F_y=0=m_ta=T+T+T+T-P_3-P_4-P_L$$

$=4T-(m_3-m_4-m_L)g=4T-m_tg$

y si analizas la polea 2 su equilibrio es

$T-T=0$

pero en la polea 1 el equilibrio se da haciendo

$$F-T=0\quad \mapsto\quad F=T$$

si despejas T de la ecuación 1 y la igualas a la T de la ecuación 2 obtienes el resultado de mi post anterior.

Respecto a la parte (c) F realiza menos trabajo pero a coste que un mayor desplazamiento en comparanción con la altura que levanta la carga?
Y para hallar cuanto se debe desplazar F, a qué tengo que igualar el trabajo hecho por F?

No, el trabajo de subir las poleas y la carga es siempre el mismo,$W=m_tgh$, pero la fuerza F necesaria para realizar ese trabajo es menor dado a que el se aplicó la fuerza por mayor distancia 4 h.
Yo no lo vería como un coste aumentar la distancia desplazada de la soga por el contrario es un beneficio porque puedo elevar un peso mayor a la fuerza aplicada.